Остаточные напряжения
..pdfотсутствовать остаточные напряжения, и дальнейшее |
снятие слоев |
не приведет к деформации кольца. |
в результате |
Г. Дополнительное напряжение OQ3 (а) возникает |
снятия кольцевого слоя толщиной а {третье дополнительное напря жение).
Пусть в данный момент уже снят слой толщиной £ (фиг. 109) и проводится снятие слоя d £.
При удалении этого слоя на плоскость Т будет действовать уси
лие, численно равное |
oe (£)d £ (где |
<7е (£) — окружное напряже |
|
ние в слое £ непосредственно перед |
d6?R) |
||
удалением этого слоя). Неизвест |
|||
ное напряжение ое (£) предпола |
|
||
гается |
положительным |
(растяги |
|
вающим), направление усилия на |
|
||
торец |
соответствует приложению |
|
|
обратных напряжений. |
|
|
|
Особенность снятия кольцевого слоя состоит в том, что к поверхно
сти среза радиуса R (£ )+ y (А— I)
должно быть приложено радиаль! ное напряжение d о* (£). Из усло
вия равновесия элемента снимае мой полоски следует
(t)dt |
(12) |
|
do'r {Q = |
|
|
Д(Е)+-^-(л-Е) |
Фиг. 109. Определение дополнитель |
|
|
ных напряжений в слое а при снятии |
|
Справедливость этого равенства |
наружных слоев. |
|
можно установить другим |
путем, |
d £ (0 ^ 0 ^ л). Изгибаю |
проводя срез половины кольцевого слоя |
||
щий момент в сечении 0 относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения, будет равен (положительный момент уменьшает кривизну стержня)
Ш = - а? (Е)ЙЕ 6 [Я + -|- ( h - I) - R cosOj +
+ j d o ' r (£) ь|й + |
i)ji?sin (0 - q>)d<p = |
|
|
о |
|
|
|
= — oe (6 )d E 6 [fl+ -| -(A -6 )-flcoseJ + |
|
||
+d o' ш |
+- f [h - |
a ] •R (1 - cos 9), |
|
в этом равенстве Ъ— ширина кольца. В силу соотношения (12) |
|
||
dM = |
- oe (I) 4 - (Л - 1) bd |
(13) |
|
Изгибающий момент, создаваемый системой сил на поверхности среза, оказывается одинаковым во всех сечениях кольца. Увели чение диаметра, вызванное действием этого момента, будет равно
где |
2EJ(%)dM> |
(14) |
|
D (Е) = 2R (Е) = 2R« + Л — Е = 2RH— Л — Е |
(15) |
||
|
|||
— диаметр |
окружности центров тяжести сечений кольца |
(после |
|
снятия слоя |
£); |
|
У (1 )_
—момент инерции сечения кольца.
Сучетом соотношения (13) получим
<*5= - + |
|
|
(l)bd l. |
|
Отсюда следует |
|
4g/(E) |
db |
|
о ‘о (Е) = |
— |
|||
£ 3(l)(ft-!)6 |
d|I |
|||
или |
|
|
db |
|
09 (Е) = |
— |
• D* (I) |
||
’ dt • |
(16)
(17)
(18)
(19)
Эта важная формула |
будет использована в дальнейшем. Перей |
дем к непосредственному |
определению дополнительных напряжений |
в слое на расстоянии а от наружной поверхности, возникших в ре |
|
зультате снятия слоя d £. В сечении 0 |
будет действовать |
момент |
|||||
dM [формула |
(13)] |
и |
растягивающее |
усилие |
|
||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
dN = |
0Q te)d£bcose + |
fda'r ( Z) bx |
|
|||
|
|
|
|
|
о |
|
|
х [i? + + |
[ h - |
E)]sin(0 — q>)d cp = d a r’ |
(E) b |д + - i - ( h - |
E)]. |
|||
Если учесть зависимость (12), |
то |
|
|
|
|||
|
|
|
dN = ol |
(£) bd g. |
|
(20) |
|
Растягивающие усилия dN, как и момент dM, оказываются оди наковыми во всех сечениях кольца.
Формулы (13) и (20) использовались во всех прежних исследо ваниях, начиная с работы Н. Н. Давиденкова [32], но они не были обоснованы с помощью метода сечений (в частности, существенные для вывода радиальные напряжения не рассматривались). Напря жения в слое а при действии момента dM и усилия dN будут равны
j / \ |
dM Л+1 — 2а |
dN |
doa3(a) = |
— T ( | j ' “ 2 |
|
Принимая во внимание зависимости (13) и (20), получим
dae3(a) = -j- |
• (* ~ |
6)? |
(s)g~- - |
(6)<*6 + ц |
= Т |
(E )d |
|||
Внося значение |
<те(£) |
из |
равенства (18), найдем |
|
|
|
|||
d a , /я* _ |
Г 1 Д * + Е — 2а] . |
4 g /( E ) |
1 |
^6 |
g |
|
|||
d 0 e 3 ( a ) - |
|
Д2{|) |
+ |
Д*(й(Л -6)*б] |
d l |
|
|
||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d ае з (а) = - |
3^ |
|
(2fc - |
За + g) 4 | |
d g. |
|
|
||
Дополнительное напряжение в слое а в результате снятия всех предыдущих слоев
/ \ |
2 # |
2h |
d 6 |
/ о о \ |
<тез(а) = - |
— |
J — |
WT&)-----~did ^ |
<22> |
|
|
о |
|
|
Д. Формула (22) неудобна для вычислений, так как содержит производную изменения диаметра по толщине слоя. Установим при ближенную формулу, основываясь на следующих соображениях.
По известпой теореме о среднем можно записать
а
<* 3 (а) = - з2* У (2Л - За + ^ |
d g, |
(23) |
*0
где Ei — некоторое среднее значение величины Е,
0 ^ Ei ^ а.
Вычисление интеграла, входящего в равенство (23), уже прово дилось ранее:
а |
|
|
|
а |
|
|
j(2 fc _ 3 a + |
|
£ ) - ^ d g |
= 2 ( f t - a ) 6 ( a ) - J |
6 (g)dg. |
|
|
о |
|
|
|
о |
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
О» 3 (а) = |
- |
|
[2 (А — а) б (а) - |
/ б |
(g) d g]. |
(24) |
Для практических расчетов можно принять одну из следующих |
||||||
формул: |
|
|
|
|
|
|
<*> 3 («) = |
- -2 L - [2 (h - а) б (а) - |
} б (g) d g] |
(25) |
|||
ИЛИ |
|
6Lfcp |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<*>з И = |
- |
3j f (a) |
[2 (ft ^ а) 6 (в) - |
/ в (6) d g], |
(26) |
|
в Заказ 288. |
113 |
где Dcp и D (а) — диаметры осевой линии кольца |
полного сечения |
|
и кольца с удаленным слоем толщиной а: |
|
|
Dcp = De + h = DH— h; |
D(a) = De + h — a = DH— h — a, |
|
где D, и DH— внутренний и наружный диаметры. |
|
|
б — увеличение |
диаметра, вызванное |
снятием слоен |
(т е. из полного увеличения диаметра следует вы честь бр).
Равенство (25) дает абсолютную величину аез (а) несколько ниже истинной, тогда как равенство (26) — выше истинной. Обычно значение
сто з (а) невелико и указанные |
различия несущественны. Формулы |
||||
|
|
(25) и (26) позволяют оценить воз |
|||
|
|
можную погрешность, и при зна |
|||
|
|
чительной ее величине необходимо |
|||
|
|
воспользоваться точной |
форму |
||
|
|
лой (22). |
|
|
|
|
|
Укажем еще один способ вычи |
|||
|
|
сления ооз (а) |
по |
формуле (22). |
|
|
|
Для этого примем в качестве |
|||
|
|
основной переменной величину б |
|||
|
|
(фиг. 110). |
|
|
|
|
|
Если построить график зависи |
|||
|
|
мости прогиба б от толщины сня |
|||
|
|
того слоя а б = |
ср (а), то |
можно |
|
а = |
|
выразить и обратную зависимость |
|||
(рг (б). Эти зависимости, разумеется, остаются такими же и для |
|||||
какого-либо промежуточного |
значения толщины слоя £ (б = ф (£); |
||||
ъ = |
ч>1 (б))- |
|
|
|
|
|
Формулу (22) можно представить теперь в таком виде: |
|
|||
|
сто з (а) = — Щ - J -2Л -За + £(6) |
db. |
|
|
|
|
|
Д 2 (6) |
|
|
|
При вычислении интеграла величины £ и D рассматриваются как функции текущего значения увеличения диаметра б. Такой метод |ь™ сления ооз (а) был использован в работе Н. Н. Давиденкова
Е. Теперь, когда определены все дополнительные напряжения, можно записать основное уравнение (1) в развернутой форме. Пред
варительно приведем |
формулу |
для |
определения оо (а) — Напря |
|||
жения, существующего |
в слое |
а после |
вырезки и разрезки кольца |
|||
и снятия предыдущих слоев. |
|
|
|
|
||
Подобная формула была выведена ранее для слоя £ [равенство |
||||||
(19)], и в ней теперь следует считать £ = |
а. Тогда получим |
|
||||
сг0 (а) = ----- L |
Е (h— а)2 и d 6 |
(27) |
||||
Р 2 (a) |
da |
|||||
|
|
|
||||
Внося значения |
напряжений |
ств^а); сге2 (о)\ |
ае з (а) и а0 (а) |
|||||||
в равенство |
(1), |
находим |
|
|
|
|
Д6Р |
|||
|
|
3 |
Z>2~ (а) |
' ‘ ~da |
~ |
~ |
^ ~~ 2 |
|
||
|
|
|
D2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ср |
|
|
|
|
|
|
|
2Л -За + | |
<й |
|
(28) |
|
|
|
|
|
|
|
Д 2 (I) |
H b 'dl |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ае (а) — ца2 (а) = |
2 — ? |
2 |
|
|
|
i |
||||
|
____ 1_ |
|
|
Дс2„UcV I |
|
|
|
|||
|
Е (h — а)2 |
с?а |
+ |
|
|
|
|
|||
|
3 |
* |
JD2 (а) |
|
|
|
|
|||
+ |
2Е а? 2^— За + £ |
db |
^ |
(29) |
|
|
|
|||
|
3 J |
D41) |
‘ |
dl ' а& |
|
|
|
|
||
о
Если сделать предположения, что остаточные напряжения в окружном и осевом направлениях одинаковы:
од (а) = аг (а), |
(30) |
то получаем следующую зависимость для определения окружного напря жения:
Фиг. 111. Определение допол нительных напряжений при снятии внутренних слоев.
Е (h — а)2 |
db . |
Л* W |
da “Г" |
2h— За-f-£ |
db л?. |
(31) |
|
D* (6) |
S i dl |
||
|
эта формула, как будет ясно из дальнейшего, отличается от расчет ной формулы в методе Н. Н. Давиденкова множителем 1 + р. Не которые авторы, применяя метод колец, отождествляют его с мето дом Н. Н. Давиденкова (устраняя в расчетных формулах Н. Н. Да-
виденкова множитель ------g, см., например, [4]). Такое отождествле- 1 р
ние приводит к погрешности (в сторону занижения истинных напря жений) на 30—40%.
Ж. Выше были получены расчетные зависимости при снятии наружных слоев.
Рассмотрим случай (фиг. 111), когда последовательно удаляются внутренние слои. Проследив за сделанным выводом, можно устано вить, что, сохраняя прежнее правило для величины изменения диа
метра (6 > 0 |
при увеличении |
диаметра), |
расчетная зависимость |
(31) должна |
получить другой |
знак. При |
этом величина а пред- |
получим следующую зависимость для изменения кривизны стержня:
|
|
f |
у GBdF |
|
|
|
_[*_ |
F________ |
(37) |
||
R* |
е |
' |
J |
||
|
|||||
JH соответствующий прогиб |
|
|
|
|
|
|
|
ц I2 f у or0 dF |
|
||
/гв — |
|
|
F _________ |
(38) |
|
|
|
SEJ |
|||
Суммарный прогиб полоски после вырезки
|
|
|
h |
h |
|
|
Л |
- и |
2 |
|
|
fe — |
/ Ozybdy + |
(39) |
|||
8EJ |
I |
||||
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
2 |
|
Эта величина измеряется и в дальнейшем считается известной. Перейдем к определению дополнительных напряжений в попереч ном сечении полоски, возникающих в результате вырезки. Момент обратных, осевых, остаточных напряжений создает дополнительные напряжения
2
Ozei = y J^js- = — 7 " J yOzbdy. |
(40) |
__h_
2
Дополнительные напряжения в поперечном сечении в результате действия напряжений — <те но боковым граням
JL
2
[х Г |
а0 bdy |
|
_ А |
Ь Ц - |
} |
Oze2 = ---------------------- |
J У,Ооbdy — ц<тв. |
|
|
|
_ h _ |
Так как |
|
2 |
|
|
|
|
h_ |
|
|
2 |
0 |
|
f воbdy = |
|
|
-1А |
|
|
2 |
|
в силу общих условий равновесия и симметрии, то
J2 у 0*0 My — [Ше . (41)
— А
2
Дополнительное напряжение, возникающее в полоске после вы-
резки, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
v |
сг*« = сггв1 + <тгв2 = |
- ^ { — |
/ |
y o zbdy + \i f |
yaebdyj — yae |
|||
Учитывая |
равенство |
(39), |
найдем |
|
|
||
|
|
|
|
8Я |
feV |
Iлете. |
|
|
|
Oz в — |
I2 |
|
|||
Определяя |
напряжение |
на |
рас |
|
|
||
стоянии а от наружной |
поверхности |
|
|
||||
окончательно |
получим |
|
|
|
|
|
|
о = |
---- aj — ц,<хв. |
(42) |
|
|
|||
Б. Дальнейший этап исследова- |
Фиг.« \14. Определение остаточных |
||||||
напряжений в полоске, |
|||||||
ния заключается в определении оста точных напряжений в самой полоске, сохранившихся там после вырезки (фиг. 114).
Обозначая эти напряжения а\л запишем |
|
|||||
|
|
а* = <тг + |
02„ |
|
(43> |
|
где о2 — осевые остаточные напряжения |
в тонкостенном |
цилиндре |
||||
(в полоске |
до вырезки); |
|
|
полоске |
||
огш— дополнительные напряжения, образовавшиеся в |
||||||
в результате вырезки. |
|
|
|
|||
Учитывая соотношение (42), находим |
|
|
||||
|
o*z = Oz— Ц<хе + |
fe |
---- aj ; |
(44) |
||
напряжения |
а* определяются обычным способом — с помощью после- |
|||||
довательного |
снятия слоев. |
|
|
|
|
|
Используя общую формулу для остаточных напряжений в стерж |
||||||
не прямоугольного |
сечения (см. § 3), |
будем иметь |
|
|||
** («) = |
- g - [(* ■~ |
«)* -g - (а) - |
4 (Л - a) / (а) + |
|
||
|
|
+ |
2 j n t ) d i ] ; |
|
(45) |
|
оJ
в этом |
равенстве / (а) |
— прогиб полоски, возникший |
в результате |
||||
снятия |
слоя |
толщиной |
а. |
|
|
|
|
На основании равенств (44) и (45) находим |
|
|
|||||
аг (а) - |
(«х,, (о) = |
/« (-f“ ~ |
а) + |
~Щг [(Л ~ аУ ЧГ (а) ~ |
|||
|
|
- i { h - a ) f ( a ) + |
2 j |
f ( l ) d l ] |
|
(46) |
|
|
|
|
|
О |
J |
|
|
При выводе этой формулы предполагалось, что снимаются слои |
|||||||
с наружной |
поверхности и расстояние а отсчитывается от наруж |
||||||
|
|
|
|
|
ного слоя. |
|
преж |
|
|
|
|
|
Если сохранить |
||
|
|
|
|
|
нее правило |
знаков — по |
|
|
|
|
|
|
ложительный прогиб / на |
||
|
|
|
|
|
правлен в сторону внешней |
||
|
|
|
|
|
поверхности трубы, то при |
||
|
|
|
|
|
снятии внутренних слоев и |
||
|
|
|
|
|
отсчете а от |
внутренней |
|
|
|
|
|
|
поверхности |
следует изме |
|
|
|
|
|
|
нить знаки в правой части |
||
«Фиг. 115. Два |
различных |
способа вырезки |
формулы (46). |
|
|||
полоски из тонкостенного цйлиндра. |
|
Запишем |
эту формулу |
||||
|
|
|
|
|
в таком виде: |
|
|
|
|
|
сг2 (а) — ра0 (а) = |
Fz(а), |
|
(47) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
Fz (а) — ± | |
“) + т £ - [ < * - « > * - я - ю - |
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
— 4 (Л — а) / (а) + |
2 / / (£) d\ ]} . |
|
(48) |
||
В последнем равенстве знак плюс применяется при снятии на |
|||||||
ружных слоев и знак минус — при снятии внутренних. |
Можно |
||||||
«было бы не вводить разные знаки и условиться считать прогиб f положительным, если он направлен в сторону снимаемых слоев. Так было принято при расчете остаточных напряжений в стержнях. Однако для лучшего соотношения с расчетом остаточных напряже ний в кольце положительное направление прогиба принято одина ковым при снятии внешних или внутренних слоев.
В. Рассмотренная силовая схема (приложение обратных оста точных напряжений по торцам полоски и боковым граням) пред усматривала непосредственную вырезку полоски из тонкостенного цилиндра (фиг. 115, а).
Расчет остаточных напряжений не зависит от порядка проведе ния срезов, и те же результаты должны получиться и для случая, когда сначала вырезается участок трубы, а затем полоска (фиг. 115,6).
Расчетная схема, однако, получается значительно сложнее. Сначала рассматривается цилиндрическая оболочка при действии распре деленных моментов по торцам, затем изгиб полоски вследствие дей ствия обратных окружных напряжений. Во втором этапе следует учесть наличие угла Д0 (см. фиг. 112), вследствие которого равнодействующие окружных напряжений влияют на изгиб по лоски.
В предыдущем рассмотрении это обстоятельство было несущест венно, так как равнодействующие окружных напряжений обра щались в нуль.
Г. Приведем расчетные формулы для определения остаточных напряжений по методу колец и полосок.
На основании исследования узких колец определяется функ ция FB(а), причем
ае (а) — ца2 (а)'= FB(а),
где а — расстояние рассматриваемого слоя от наружной или вну тренней поверхности.
Значение FB(а) вычисляется по формуле (33).
На основании исследования полосок становится известной вели чина Fz (а) [формула (48)], причем
а2 (а) — цсте (а) = Fz (а).
Из последних двух уравнений вытекают основные расчетные зависимости
(°) = |
(f 9(fl) + |
9 ^ («))’• |
(49) |
<Jz (а) = 1 |
Р {Fz(а) + |
ц Fa (а)); |
(50) |
эти формулы и служат для полного определения остаточных напря жений в тонкостенных цилиндрах (трубах).
Если требуется определить остаточные напряжения только в по верхностных слоях, то расчетные формулы упрощаются.
Пренебрегая изменением |
величины среднего диаметра кольца |
в Процессе Удаления слоев, |
можно считать |
D (а) = / ) ср.
Из формулы (33), используя преобразование соотношения (22), получим
Л « = ± - i f j - { 6 ( - r - “) «»-<'•-'*>*-£(<■) +
+ 4(fo — а)б(а) — 2 / 6 d | } . |
(51) |
|
0 |
> |
|
Равенство (48) представим в подобной форме: |
|
||
F г(а) = ± -| g - { - 6 ( - f - |
а) /. + (k - |
a f -4L (а) _ |
|
- 4 ( f c - a ) / ( e ) |
+ 2 / / d g J . |
(52) |
|
В приведенных равенствах знак плюс применяется при |
снятии |
||
наружных слоев и знак минус — при снятии внутренних. |
|
||
h |
|
формулах для |
Fe (а) и |
При — >> 15 последними слагаемыми в |
|||
Fz (а) можно пренебречь.
Д. Рассмотрим в качестве примера определение остаточных на пряжений в плунжере топливного насоса.
Плунжер представляет собой полый цилиндр с наружным диа-
лютром Du = 15,02 мм и толщиной стенки h = |
hK= 1,71 мм. |
Плунжер выполнен из’стали ХВГ, модуль упругости Е = 2,31 X |
|
Х104 кГ1мм2, коэффициент Пуассона ц = 0,3. |
|
Исследование проводилось с целью определения остаточных на |
|
пряжений в поверхностных слоях, возникших |
после термической |
и механической обработок. |
|
Из плунжера было вырезано кольцо шириной 5,75 мм. После шлифовки и полировки торцов и нанесения перекрестий на средней окружности кольцо было разрезано по радиусу. Изменение диаметра в результате разрезки составило бр = —0,006 мм (диаметр кольца уменьшился).
Далее проводилось стравливание цилиндрических слоев с наруж ной поверхностью, толщина снимаемого слоя определялась взвеши ванием.
Изменение диаметра измерялось на универсальном микроскопе. В табл. 4 даны значения толщин снимаемых слоев Д*, общей толщины снятого слоя ах, увеличение диаметра кольца б (а^ после
снятия слоя а Производная |
(at) вычислялась по формулам пара |
болической интерполяции (см. |
стр. 78), ее значения указаны в |
столбце 8. Расчет проводится по формуле (51). В столбце 14 дается окончательное значение функции FQ(a).
Далее определяются остаточные напряжения в полоске. Полоска вырезалась шириной 4 мм, нижняя грань полоски сошлифовалась для образования плоскости \ в результате толщина полоски была hn = 1,43 мм (вместо 1,71 мм).
После полировки боковой грани на ней намечались три пере крестия для измерения на универсальном микроскопе, расчетная
база (расстояние между крайними перекрестиями) |
составляла I = |
= 40 мм. Прогиб полоски после вырезки / в = 0. |
Далее проводи- |
.лось стравливание наружных слоев, взвешивание и измерения. Для расчета используется формула (52).
1 Эта операция не обязательна.