Остаточные напряжения
..pdfВ действительности на свободном торце стержня остаточные на пряжения отсутствуют. Формулы (10) и (11) дают правильный резуль тат на некотором удалении от торцов стержня (обычно на расстоянии, приблизительно равном размеру поперечного сечения в плоскости изгиба).
Отметим, что равенства (10) и (11) совпадают с формулами для температурных напряжений 19] при температурной деформации at = ео.
Б. Полученное решение позволяет определить прогибы |
оси стер |
||||
жня в результате остаточных деформаций. |
|
||||
Пусть и и v — смещения центра тяжести сечения вдоль осей х |
|||||
и у соответственно. |
|
|
|
|
|
Углы поворота сечения |
|
|
|
|
|
dv |
|
ф = |
du |
|
|
Ф = — dz |
|
dz |
|
||
С помощью равенств (9) находим составляющие кривизны упру |
|||||
гой линии стержня |
J Ex e0 dF |
|
|||
d2u |
|
||||
F___________ |
(12) |
||||
~dz* |
J |
E x4F |
|||
|
|
||||
|
F |
Ey e0 dF |
|
||
d2v |
/ |
|
|||
F____________ |
(13) |
||||
dz'2 |
j |
E y4F |
|||
|
|||||
|
|
||||
|
F |
|
|
|
|
Интегрируя эти соотношения, можно определить величины и (z) |
|||||
и v (z). |
z — 0 |
заделанным (или |
определяя |
||
Например, считая сечение |
|||||
прогиб относительно прямой, проходящей через центр тяжести
сечения z = 0 нормально к плоскости сечения), |
|
будем иметь |
|
||
.уf |
j |
f |
|
|
(14) |
0 |
0 |
|
|
|
|
( z ) |
|
iS=- dzidz- |
J |
J |
(15) |
00
В.Рассмотрим в качестве примера расчет остаточных напря жений в гальванических покрытиях (фиг. 174).
Пусть в результате кристаллизации в слое покрытия возникает остаточное изменение линейных размеров, характеризуемое остаточ
ной деформацией ео. В рассматриваемый момент времени на катоде осажден слой покрытия толщиной йг. Расстояние приведенного центра тяжести от нижней стороны определяется из условия
jEydF = 0.
F
Заменяя величину |
у из |
равенства |
|
|
|
|||
находим |
|
|
V = |
Vi — e, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
EVldF |
|
^ |
(Л2 _ Л. } + |
| |
^ |
At |
|
е = |
|
~~ |
|
Eiht + EJis |
|
(16) |
|
|
J EdF |
|
|
|
||||
где Ei и |
/ц — модуль упругости |
и толщина |
материала катода; Еа |
|||||
и |
йа — соответствующие |
|
значения |
для |
слоя покрытия. |
|||
Фиг. 174. К определению остаточных напряжений при гальванических покрытиях.
При Ei = Ег получаем вполне очевидный результат
е = |-(hi + h) = Y h-
Для величин, входящих в формулу (10), будем иметь следующие равенства:
|
/ EdF = |
Ефф + E2h2b; |
(17) |
||
F |
|
|
|
|
|
|
f Е е0 dF = ЕгЬъ е0 Ь; |
(18) |
|||
|
F |
|
|
|
|
f E y e 0d F = E 2h2e0b(hl — e + Y h2 j ’ |
(19) |
||||
/ EyHF = |
Е2 |
/ |
°y4dij + |
Е ,h)' * y2bdy = |
|
F |
|
hi —e |
|
— e |
|
.= ± Е ф [(h - |
e f - |
{К |
- ё)*] + } |
Еф [(h, - e f + e3]. |
(20) |
При выводе этих соотношений учитывалось, что первоначальная остаточная деформация е0 возникает только в слое покрытия. Из
204
формулы (10) получаем значение остаточных напряжений в слое
покрытия (Ai— |
h—e) |
|
|
|
|
|
о = Е2 |
E*h2ер |
I |
|
|
|
Eih\ -f- h 2h2 |
|
|
|
|
+ У' |
Еоh26Q I hi— e — — A3) |
|
— еЛ |
(21) |
|
|
|
|
|||
■JE2 [(h - ef - (bx-«)*] + i Et l(ht - |
e)* +«•] |
|
|||
и в материале детали (катода) (—е < т/< Ai—е)
a = £ i |
E2ho8ц |
|
E2h2е |
0 |
2" |
— |
с |
+ |
" |
|
AJAJ-f-h2n2 |
- Е г [{h-ef-{K-eY\ +-1 Я, [(fei—e)3 + «3J |
(22) |
|
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||
Рассмотрим частный случай, когда толщина слоя покрытия Лг |
|
|||||||||
мала по сравнению с толщиной стержня катода |
Ai, а величины Ei |
|
||||||||
и Еч имеют один порядок. |
(21) |
и |
(22) |
величиной Аг и учитывая, |
|
|||||
Пренебрегая в формулах |
|
|||||||||
что в рассматриваемом случае е |
= |
\ |
Ai, находим для слоя покры- |
|
||||||
|
|
|||||||||
тия (у = ~ Y fel) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и для самой детали |
о ^ |
£*2 ео |
|
|
|
(23) |
|
|||
|
а ^ |
0. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Полученный результат легко объясняется, так как в условиях |
|
|||||||||
полного стеснения очень тонкий слой покрытия получает остаточ |
|
|||||||||
ную деформацию ео; силы, возникающие в слое покрытия, малы и |
|
|||||||||
не могут вызвать заметных напряжений в самом стержне. |
|
|
|
|||||||
Найдем связь между упругой деформацией катода и величиной |
|
|||||||||
остаточной деформации ео. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из формул (13) и (15) находим значение наибольшего прогиба |
|
|||||||||
при z = I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(l) = |
E 21I 2&Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
- |
(24) |
|
|
|
- i Е2ЦА— e)3 — |
— в)»] + J Е, |
+ |
|
|
|
||||
Знак минус означает, что прогиб направлен в отрицательном направлении оси у (для положительных значений ео, т. е. при уве личении линейных размеров при кристаллизации). Зная v(l) и А2, можно найти е0 и по формулам (21) и (22) определить остаточ
ные напряжения. Остаточные напряжения при гальванических по крытиях рассматриваются в работах [74], [104].
В |
качестве второго примера рассмотрим однородный стержень |
(Е = |
const) с первоначальной остаточной деформацией покеРхност" |
ного |
слоя толщиной б. |
Фиг. 175. Распределение остаточных напряжений в стержне с перво начальной остаточной деформацией верхнего поверхностного сдоя на глубине 6.
Пусть, например, в результате наклепа этот слой получил пер воначальную остаточную деформацию (в осевом направлении), рав
ную ео. Величина ео предполагается |
одинаковой для всего поверх |
|||||||||
|
|
|
|
ностного |
слоя. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Из формулы (11) находим сле |
|||||
|
|
|
|
дующие |
значения для остаточных |
|||||
|
|
|
|
напряжений. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
В |
наклепанном слое, если при |
||||
|
|
|
|
нять |
толщину слоя |
малой (у *** |
||||
|
|
|
|
^ |
/г/2), |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<г = |
-в ( ¥ - + |
т г — '•) = |
|
||
|
|
|
|
|
|
= |
- £ > „ ( |
1 - 4 | ) - |
(25) |
|
Фиг. |
176. |
К определению |
остаточ |
В остальном |
стержне |
|
||||
ных |
напряжений с учетом |
пласти |
|
|||||||
|
ческих деформаций. |
|
|
|
а = |
Е ( ^ - + 6 г 0у ^ - ) . |
(26) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
Эпюра |
распределения |
остаточных |
напряжений |
показана |
на |
|||||
фиг. |
175. Приведенное решение справедливо в том случае, если оста |
|||||||||
точные напряжения меньше |
предела |
текучести материала ат . При |
||||||||
значении |
Огр |
|
|
|
слое возникает пластическая |
|||||
ео > -g — в поверхностном |
||||||||||
деформация противоположного направления (по сравнению с перво начальной).
Если известна кривая деформирования а = / (е) (фиг. 176), которая предполагается одинаковой для растяжения и сжатия, и
не учитывать эффекта Баушингера, то остаточные напряжения при ближенно могут быть определены по формулам (25) и (26) после замены £ ео на / (ео).
В поверхностном слое |
|
о = - / ( e 0) ( l - 4 y ) |
(27) |
Из фиг. 176 видно, что пластичность материала снижает вели чину остаточных напряжении. Если упрочнение материала неве лико (Ef < Е), то остаточные напряжения (при первоначальной остаточной деформации растяжения)
а ^ — ат. |
(28) |
гГ. Рассмотрим еще случай, когда первоначальная остаточная деформация ео имеется в верхнем и нижнем поверхностных слоях стержня (фиг. 177).
Фиг. 177. Распределение остаточных напряжений в стержне с первоначальной остаточной деформацией в верхнем и ниж нем поверхностных слоях.
Из формулы ( И ) . получаем: для поверхностных слоев
< 7 = - i ? e 0( l — Х - ); |
(29) |
для остального стержня
а = Е г0^ - . |
(30) |
Эпюра распределения рстаточных напряжений в стержне пока зана на фиг. 175.
При больших первоначальных остаточных деформациях ^е0 >
равепствг (29) и (30) заменяются следующими:
для поверхностных слоев
а = |
/ (е0) 11 |
j- j 5 |
для остального стержня |
26 |
X, v |
|
в — J (е0) |
• |
Отметим, что для рассмотренных примеров ИРй малой величине б остаточные напряжения практически создаются только в поверх ностном слое.
33.РАСЧЕТ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В КОЛЬЦАХ
А.Рассмотрим определение остаточных Напряжений в кольцах
по заданной величине первоначальных остаточных деформаций.
Врезультате возникновения этих деформаций кольцо получит
смещение в радиальном направле |
|||
нии но и угол поворота ф (фиг. 178). |
|||
(в |
Общая деформация в |
кольце |
|
окружном |
Исправлении) |
||
|
s = |
СУ , |
(31) |
|
+ е 01 |
||
где |
ео — первоначальная |
(оста- |
|
точная) деформация. |
|
||
Так как |
|
|
|
Фиг. 178. Расчет остаточных напря |
в ^ - т ' + У - f , |
(32) |
|
жений в |
кольцах. |
||
то напряжения |
в кольце (остаточные |
напряжения) |
|
о - Е |
^ + |
у ^ - г , ) . |
(33) |
Из условий равновесия |
|
|
|
f o d F = 0; |
f a ydF = 0. |
|
|
F |
|
F |
|
Внося в эти соотношения зависимость (33), получим |
|
||
u0jl-^dF + |
^ j E M rd F - j E B 0dF = 0; |
(34) |
|
F |
F |
F |
|
Uo^ E ^ d F + |
E ^ - d F ~ j E 4 ydF^O. |
(35) |
|
F |
F |
F |
|
Размеры поперечного сечения кольца будем считать малыми по
сравнению с |
радиусом, и |
тогда |
|
|
|
|
г |
г„. |
(36) |
Определим |
положение |
оси х |
таким образом, |
чтобы |
|
|
f EydF = 0. |
(37) |
|
F
Расстояние оси х от верхней точки сечения (фиг. 179) в соответ ствии с этим равенством будет равно
|
|
|
f |
E y ldF |
|
|
|
|
|
|
|
|
_Р______ |
|
|
|
|
(38) |
|
|
|
|
|
j E d F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
Для кольца из однородного материала (Е = |
const) ось х |
прохо |
|||||||
дит через центр тяжести сечения. |
найдем |
из |
уравнений (34) |
||||||
Учитывая соотношения (36) |
и (37), |
||||||||
и (35) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цо |
/ |
E e 0 dF |
|
|
|
|
|
|
|
£________ |
|
|
|
|
|
|
|||
го |
|
/ EdF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
Ф_ |
j |
E EQydF |
|
|
|
|
|
|
|
_F________ |
|
|
|
|
|
|
|||
Го |
/ |
E y 4 F |
|
Фпг. |
179. |
Определение |
|||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
приведенного |
центра |
|||
Теперь из равенства |
(33) вытекает |
|
тяжести |
сечения. |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
/ |
E e 0 dF |
f Е e0 ydF |
|
|
|
|
|
|
а = Е |
/ EdF |
f |
E y 4 F |
— ef |
|
|
(40) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отметим, что выбор значения го не отражается на величине напря жений, но для более точного соблюдения условия (36) его следует принять равным радиусу окружности центров тяжести сечений.
Для однородного кольца (Е = const)
|
/ e0 dF |
i |
f |
So ydF |
|
и |
F |
F |
|
(41) |
|
---- ?-----+ У ----- 71----- |
|||||
где F = $ d F iiJ x = |
§ yzdF — площадь |
сечения кольца |
и момент |
||
F |
F |
|
|
|
|
инерции сечения относительно оси х.
Формулы (40) и (41) позволяют определить остаточные напряже ния в кольце, если заданы первоначальные остаточные деформации.
14 Заказ 288*
РАСЧЕТ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В КРУГЛЫХ ПЛАСТИНКАХ И ЦИЛИНДРА#
ПО ПЕРВОНАЧАЛЬНЫМ ДЕФОРМАЦИЯМ
В этой главе рассматривается определение остаточные напряже ний в круглой пластинке и в цилиндре при заданных первоначаль ных деформациях. Постановка задачи остается такой же, как и в предыдущей главе: в материале детали возникли изменения линей ных размеров, связанные со структурными или иными превраще ниями; требуется определить возникающие при этом остаточные на пряжения.
34. РАСЧЕТ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В КРУГЛЫХ ПЛАСТИНКАХ (ДИСКАХ)
А. В общем случае первоначальная остаточная деформация в радиальном, окружном и осевом направлениях eor, е0д и е02 мо жет быть произвольной в каждой точке пластинки. В дальнейшем рассматривается более простой случай, когда распределение остаточ ных деформаций является осесимметричным. Таким образом, ве личины еог, е0о и E0Z зависят только от радиуса точки г и коорди наты z (фиг. 180).
Наибольшее практическое значение имеет случай, когда перво начальные остаточные деформации в радиальном и окружном напра влениях одинаковы *: еог = е0 е = е0. Это имеет место при дробе струйном наклепе, при объемных остаточных изменениях и т. д.
Пусть в результате возникновения первоначальных остаточных деформаций точки срединной плоскости получат радиальное сме щение и0 (г); угол поворота нормали в результате деформации обо значен ср (г) (фиг. 181).
Применяя гипотезу Кирхгофа о «жесткой нормали», получим следующее выражение для радиального смещения в произвольной
точке диска: |
|
и (г, z) = u0(r) + zq>(r). |
(1)1 |
1 Остаточная деформация в направлении оси z не вызывает в тонком диск© осевых остаточных напряжении.
Относительные деформации в радиальном и окружном напра влениях
d ф |
(2) |
|
dr |
||
|
||
ео = ^L + Z± . |
(3) |
|
г 1 г |
|
Предполагая, что деформации пластинки (диска), вызванные первоначальной остаточной деформацией, являются упругими, можно
возникновения первона чальных деформаций.
где ог и ае — радиальное и окружное нормальные напряжения. Силовые факторы на единицу длины сечения показаны на фиг. 182.
Воспользовавшись аналогией между определением температурных напряжений в пластинке и напряжений от первоначальной остаточ ной деформации, будем иметь следующие выражения для силовых факторов [10]:
для круглой пластинки (диска) с центральным отверстием |
|
||
Nr (г) = е (ь) ^ |
(1- |
- 0(r); |
(6J- |
M (r) = e p ) * i £ s r ( i + |
-S-) |
|
(7) |
M r ( Г ) = - г|> (Ь ) |
(1 — £ ) + 1 (Г); |
(8) |
В этих формулах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в(г) = |
|
а h_ |
|
|
(10) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
E e 0dz-, |
|
(11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■2 |
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
h_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ( г) = Т = й ; |
/ |
ERozdz- (13) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
_ А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В равенствах (10) и (12) пере |
||||
|
|
|
|
|
|
менная |
интегрирования обозна |
||||
|
|
|
|
|
|
чена |
гг. |
|
|
||
Фиг. 182. Силовые факторы на |
еди |
|
Для |
круглой |
пластинки |
||||||
ницу длины сечения. |
|
|
(диска) без центрального отверстия |
||||||||
|
|
|
Nr(r) = |
Q(h)-Q(r); |
|
(14) |
|||||
|
iVe(r) = |
0(i) |
+ |
e ( r ) - ( l - n ) T ( r ) ; |
|
(15) |
|||||
|
М г (г) = |
-х И /,) + |
гИг); |
|
|
(16) |
|||||
|
А/е (г) = |
- |
у (Ь) - |
ф (г) + |
(1 - Ц)S (г), |
(17) |
|||||
где функции |
0 (г), |
Т (г), |
ф (г) и |
S (г) |
определяются |
равенствами |
|||||
(10)—(13) при а = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 (0) = lim 0 (г) =^ l _ i i r ( 0 ) ; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
г—0 |
|
= |
|
5(0), |
|
|
|
|
iKO) = limг- 0 |
|
л |
|
|
||||||
Остаточные напряжения в круглой пластинке выражаются сле |
|||||||||||
дующими формулами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h_ |
|
|
|
Nr_ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
От |
|
12Mr |
, |
1 |
|
J E e0 dz + |
|
||||
h |
|
Л® |
|
1—pi |
h |
|
|||||
|
|
|
|
|
h_ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
f |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
E e0 zdz |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
JL |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ z |
|
2______ |
|
E\ |
|
(18) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||