Остаточные напряжения
..pdf
|
|
± |
12 |
|
л |
X* |
2 |
|
|
12A/Q |
* ---- V |
Егл (19). |
||
a*=~h |
— z -ПГ + l - [ i T J £ e odz + |
|||
—JL
2
Следует иметь в виду, что эти формулы являются приближенными и они справедливы на некотором удалении от краев пластинки (на
цилиндрических поверхностях |
|
= |
(I и |
г = о напряжения отсут- |
|||||||||
ствуют). Обычно это удаление не |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
превышает толщины пластинки. |
|
|
|
|
1>7 |
|
|||||||
Б. Рассмотрим |
в |
качестве |
|
|
|
|
|
|
Со. |
||||
примера пластинку |
(фиг. 183), |
|
)Т |
|
|
|
|
||||||
на торцовой поверхности |
кото |
|
|
V//////S77/A 777777777777,С Г |
|||||||||
рой |
имеется |
первоначальная |
|
г| |
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
остаточная деформация ео. Эта |
|
|
|
|
- |
-------- tj--------- |
|||||||
деформация постоянна в преде |
|
Фнг. 183. Круглая пластинка с перво |
|||||||||||
лах слоя толщиной |
6. |
|
на |
||||||||||
Из |
равенств |
(10)—(17) |
начальными деформациями в поверх |
||||||||||
ходим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ностном |
слое. |
|
|
|
|
|
|
|
|
h_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
Е е 0б |
|
|
|
|
Т(г) = |
|
|
Ee0dz = |
|
|
||||||
|
|
1 -ц |
I |
1 - ц ; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
4 r ) |
= |
j r j r 1E e0dr1 = |
|
|
[ = |
{ Д е 06; |
||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
Е вод (Л—д) . |
|||
|
S(r) = |
|
Е |
е0 zdz |
|||||||||
|
|
|
|
2 (1 -Ц ) |
|
’ |
|||||||
|
|
|
|
1 —И- |
/h |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(Г) |
= |
Де°62^ ~ 6) / |
r,dr, = { |
|
е е0б (А - |
6). |
||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Из соотношений |
(14) и (17) вытекает |
|
|
|
|
||||||||
|
|
7Vr = |
0; |
|
= 0; |
Afr = 0 и Л/е = |
0. |
|
|||||
С помощью формул (18) и (19) получаем: |
|
|
|||||||||||
для слоя толщиной |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
сто = |
1 |
Г Е в06 |
.. |
6я£е06(Л— б) |
|
(20) |
|||||
|
|
|
Г ” |
+ |
---------^ --------- |
|
|||||||
для остальной пластинки |
|
|
|
1 f Ее(06 |
, |
б7.Яе06 (h — д) |
(21) |
®г«=вв = Т Г ]Г [— |
|
Лз |
|
При малой толщине поверхностного |
слоя (б < h) в |
нем] возни |
|
кают напряжения |
Е 6Q |
|
|
Or = Со ^ — |
|
||
1-fX ’ |
|
||
а в остальной пластинке
Or = ае^О .
Сравнивая результаты с решением для стержней, отмечаем, что
при одной и той же величине первоначальной пластической деформа-
А
ций во напряжения в пластине в |
^ раз больше, чем в стержне. |
В.Формулы (18) и (19) установлены для остаточных напряжений
вупругой области.
Если интенсивность остаточных напряжений
(3i= Y ^ r + ol — OrOg > (Tmt
то первоначальная остаточная деформация вызовет вторичную пла стическую деформацию. Для приближенного определения остаточ ных напряжений в этом случае в формулах (18) и (19) величину Е во следует заменить на / (во) (см. фиг. 176).
35.РАСЧЕТ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ЦИЛИНДРАХ
А.Рассмотрим определение остаточных напряжений в цилиндре (фиг. 184), возникших в результате первоначальной остаточной деформации. Эту деформацию будем считать осесимметричной и по стоянной по длине цилиндра.
Длина цилиндра предполагается настолько большой, что усло вия на его торцах не влияют на напряженное состояние в средней части.
В пределах упругих деформаций будем иметь следующие урав нения упругости:
er = -j^r[(Jr — (CTQ-f- Оz)] -j- EorJ |
(22) |
1 |
(23) |
Во = г~г [Об — [I {ог + ог)] + в0 е; |
|
ег=-^г[Oz —М*(Ф+сто)] +60z, |
(24) |
где аг, сге и oz — радиальные, окружные и осевые остаточные напряжения;
Во г» е09 и в0г — радиальные, окружные и осевые первоначаль ные остаточные деформации.
Осесимметричное распределение первоначальных остаточных де формаций вызывает осесимметричное распределение остаточных напряжении и деформаций в цилиндре.
Если и (г) — радиальное перемещение точки цилиндра, то де формации
/ч |
du |
(25) |
ь М = |
и = ; |
|
|
dr |
|
е9(г) = |
f . |
(26) |
Так как величины е0г, е0е и е0г постоянны по длине цилиндра, то можно удовлетворить всем уравнениям теории упругости, пред
полагая постоянство осевой дефор |
|
||||||
мации для |
всех точек |
цилиндра |
|
||||
|
|
|
в* (г) = |
в. |
|
(27) |
|
|
Из уравнений (22)—(24) следует |
|
|||||
Or— |
V-E |
( * L + 0 . 4 . е) 4 . |
|
||||
(О (1 — 2ц) V dr ^ |
г ^ |
^ |
|
||||
. |
(1+1*) ' |
(1-Ц) Д |
|
|
|||
Е |
du |
Бог — |
|
||||
* |
А |
* йУ |
(l + |
(i)(l-2 (i). |
|
||
|
l + fi |
dr |
|
|
|||
|
|
|
(e0e + |
e0z); |
(28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Фиг. 184. |
Остаточные напряжения |
СГ0= |
|
Syf=2iT)(l7 + |
f + |
e) + |
в цилиндре. |
||
|
(1+rt |
|
d -rt д |
|
|||
|
■ |
E |
|
(29) |
|||
|
|
i+ix |
r |
(l+n) (1-2(1) eO0 ‘- |
|||
\L E |
I |
du |
7 + е) + |
Е |
е — |
Gz — (1 + (0 (1— 2|i) |
\ |
dr |
1+J* |
||
d - r t д |
|
|
р, Е_____ |
(е0г + е0 о). |
|
( l + ( i ) ( l - 2 ( i ) 'e° z |
(l+ ii) (1-2Ц) |
||||
Внося значения оу и сге в уравнение равновесия
d(г Or)
GO= О,
dr
получим
(30)
(31)
d*u , |
1 du |
ru |
l — 2(i 1 /n |
о л I |
•*т + |
7• W - |
7* = |
- 7 (е° г “ |
601') + |
+ 4г [е°г + |
Т^]Г (еоо + |
6°^] * |
|
|
или в другой форме |
|
|
|
|
7 [ г г Н в 1 И |
, ^ ' - М |
+ |
||
+ 4 F [е° г + |
Т = + |
^е° в + |
е° *i\ • |
(32) |
! Г |
||||
Интегрируя обе части уравнения от а до г (где а ^ внутренний радиус полого цилиндра; для сплошного цилиндра # = 0), полу чаем
|
|
|
(ги) = |
|
Гф {г) + |
гI (г) + Clr, |
|
|
|
(33) |
|||||
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф {г) = |
J“ |
(в0 Г — е0 о) dri: |
|
|
|
|
(34) |
|||||
У |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f{r) = e 0 r + |
|
|
(ео о + |
е0г). |
|
|
|
(33) |
|||
Еще раз |
интегрируя в тех же |
пределах, |
нахоДим |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
и = |
"TqSr 'Т |
/ W |
(ri)dri + |
T J |
(ri) dri + |
ci - f + T - |
(36) |
||||||||
|
|||||||||||||||
где cx и ca — постоянные |
интегрирования. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Из уравнения (36) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
£ |
- |
-w |
|
[ » <r> - |
т ? / |
|
' . * <'■> *■] + |
' « |
- |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
r |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f r 1f(r1)drl + |
^ - - ^ - . |
|
|
|
(37) |
|||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Внося значения и и du |
в уравнения (28)—(30), получим |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
г |
|
|
|
т |
<* = т £ |
г |
[ » |
М - |
т |
ЕЗг 4 |
J г ,'ф (г,) ■*, - |
± j |
r j |
(г,) * , J + |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
c ; — i c ; ; |
|
|
|
|
|
|
|
(38) |
||
01 - |
i f ? |
[ т ^ г |
* <r> + |
- T ^ - |
4 |
J r . » fri)'*1 ■ |
- 1 м |
+ |
|
||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
7Г J ri / (ri) ^ri + |
eo г — |
ео oj + |
|
Сг ; |
|
|
(39) |
||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
®* = |
- щ г [ т ^ Г |
VCr) — /(»■) + |
«о r — e0x] + 2ц c ’ + |
|
(40) |
||||||||||
где C[ n C*2 — новые произвольные постоянные, которые опреде ляются из краевых условий при г = а и г = й; величина в может быть установлена из условий равновесия всего цилиндра.
, Б. Сплошной цилиндр. Так как напряжения в центре диска не могут равняться бесконечности* то следует положить С2 = 0.
Величина С\ находится |
из |
условия |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ог{Ъ) = О, |
|
|
|
||
где Ъ— наружный |
|
радиус |
цилиндра. |
|
|
|
|
|||||||
Внося |
значение |
|
С* |
в равенства (38)—(40), найдем |
|
|||||||||
= |
- j f j r |
[F (Ь) - |
F (г) + |
|
|
(ф (Ь) - |
Ф (г)) + |
ф(г) - <р (6)]; |
(42) |
|||||
|
08 = |
i f i T |
[F ^ |
+ |
F W |
|
№ + |
T |
l f - (ф (*) + ф (г)) + |
|
||||
|
|
|
|
+ |
7 = ^ <Р(г) |
- |
<Р(Ь) + |
ео г - е 0в]; |
|
(43) |
||||
|
|
^ |
= |
т г у г [2^ F W “ |
/ W + |
|
|
ф (*) + |
|
|||||
|
|
|
+ |
Y q r Ф (г) — 21*Ф(&) + еог — е0г] + |
Де. |
(44) |
||||||||
В |
этих |
равенствах |
|
|
|
г |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( r ) = ± f r 1f(r1)dr1; |
|
(45) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф (г) = |
т г | ' I VOIM'V |
|
(46) |
|||||
Для оси |
цилиндра |
(г = |
0) |
г |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ^ |
= |
4 " / |
Г1/ (ri) dri = T f |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф ^ |
|
= Vmo ^ J Г1<Р ^ |
dri = Т ф t°)- |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
Постоянная |
е определяется из условия равновесия |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2я |
J |
ь |
|
0. |
|
|
(47) |
|
|
|
|
|
|
|
<jz г^г! = |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Внося значение е в соотношение (44), находим |
|
|||||||||||||
|
о. (Г) = |
^ |
|
[2F (6) - |
/ (г) - |
|
(2Ф (6) - Ф(г)) + |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь |
|
|
|
|
+ е0г— 6()2---- gr|,^l(e0r воz) ^lj*
Формулы |
(42), (43) и |
(48) определяют остаточные напряжения |
в сплошном |
цилиндре, |
возникшие в результате первоначальной |
деформации. |
|
(объемная |
остаточная деформа |
Если эта деформация изотропна |
|||
ция) |
|
|
|
Бог = |
6О0 = |
z == е0» |
(49) |
то, я силу равенств (34) и |
(35), |
|
|
(50)
Ф (г) = о,
и тогда получаем следующие формулы для напряжений:
|
|
* = |
^ [ * ■ ( 6 ) - |
т |
; |
|
(51) |
||
|
o e - j ^ |
l F W |
+ |
F W - f i r ) ] ; |
|
(52) |
|||
|
|
oz = j ^ [ 2 F ( b ) - f ( r ) l |
|
(53) |
|||||
На внешнем радиусе цилиндра |
г = |
Ъ |
|
|
|
||||
|
о, (6) = 0; |
сто (ъ) = at (6) = |
|
|
[2F (Ъ) - |
/ (Ъ)]. |
|
||
В центре цилиндра (г = 0) |
|
|
|
|
|
|
|||
От ( 0 ) = |
(ТО ( 0 ) = |
F { b ) - \ 1 ( 0) |
|
ог(0) = |
2аг (0) = |
2а0 (0). |
|||
В. Полый цилиндр (труба). Постоянные С\ и С\ определяются |
|||||||||
из краевых условий |
огг (а) = 0; |
Or (Ъ) = |
0, |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
где а и Ь — внутренний и внешний радиусы трубы. |
найдем |
||||||||
Внося |
значения |
постоянных |
в |
равенства |
(38)—(40), |
||||
* = |
T F j T [ т а |
( ‘ |
- |
<*> + |
T |
R T ф |
<6 > - * <‘ >) - |
||
« |
- |
т |
~ |
[ т а г (‘ |
+ |
£ |
) |
(г <»> + |
^ |
«■(») ■- ч> (»)) |
+ |
+ |
г |
м |
+ |
ф м |
+ |
т |
а |
f (г) |
< г |
) : |
<55) |
|
|
“ |
TTiT[ т а |
(<*■ <»>■+ |
«>(»>- Ф<»)) - |
|
|||||
—/('•)+тагл Ч>(Г)+еог |
+jBe, |
(56) |
где |
|
^ (г) = |
т г / rif (ri) drx; |
|
(57) |
||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
ф(r) = |
|
r |
|
|
|
|
|
-~rJrx <P (r,) drv |
|
(58) |
|||
|
|
|
|
a |
|
|
|
Внося в |
соотношение (56) |
значение е, определяемое из условия |
|||||
|
|
|
ъ |
|
|
|
|
|
|
2я J |
(Т2 ^х ^ 1 = |
О, |
|
|
|
получим |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ь |
|
|
|
|
|
— |
62= ^ - f r (e 0 r — е02) dr — f (г) + |
ф (г) + |
e0r — e0zj . |
(59) |
|||
|
|
а |
|
|
|
|
|
Формулы |
(54), (55) и (59) выражают остаточные напряжения |
||||||
е полом цилиндре при заданной величине первоначальной |
дефор |
||||||
мации. |
|
|
|
|
|
|
|
Для изотропной остаточной деформации, в соответствии с равен |
|||||||
ствами |
(50), |
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
« ' - - г £ г [ р = * ( ‘ |
- ■ £ ) * < » > - ' С |
) ] : |
(60) |
|||
|
« = - г ^ [ * ё п ( 1 + |
-5-)^<‘ > + ^ г> |
- И : |
<м > |
|||
|
|
|
|
|
|
|
<62) |
На |
внешнем радиусе цилиндра (г = |
Ь) |
|
|
|||
<тг = 0; <Te(i) = <rz(b) = T^ r [ ^ j ^ r /;’ ( b ) - / ( b ) ] .
На внутреннем радиусе (г = а)
стг = 0;
щ (а) = ст* (а) = |
F ( b ) - f (а )]. |
Г. Рассмотрим в качестве примера сплошной цилиндр с перво начальной объемной остаточной деформацией в поверхностном слое
(фиг. 185).
Пусть в кольцевом слое (с ^ г ^ Ь) имеется остаточная дефор мация
£от == £о0== е о z= ^Q,
постоянная по величине, а в остальном цилиндре она отсутствует:
fO |
г < с |
|
еп |
с; |
ь, |
В соответствии с равенством (45)
(О |
|
|
Г < |
С |
|
F ( r ) = |
1+Р |
_ |
<±) |
c ^ r |
s^b. |
|
2(1-Ц) ° [ 1 |
|
г*) |
||
|
|
|
|
||
Ее0 Сг |
Есв |
, |
с2 I |
|
|
ы J* |
/ г бвШ |
) ^ |
|
|
|
Фиг. 185. Распределение остаточных напряжений в сплошном цилиндре при объемной первоначальной деформации в поверх ностном слое.
Значение функции F (г) на внешнем радиусе
' М - - Я Й 5 - ' . ( * - * ) •
Из формул (51)—(53) находим остаточные напряжения в ци линдре. При О г < с
В пределах внутренней области (г |
|
с) напряжения постоянны. |
||
В поверхностном слое |
(с ^ г |
Ь) |
|
|
_ |
Е е0 с2 |
( I |
|
1 \ |
Г |
2 (1 — (х) |
[гг |
|
Ьг)< |
OQ = — |
Ее0С2 |
( - |
+ |
- V |
|
||||
|
Z ( l - p ) \Г2 |
“ |
62 J ' |
|
_ |
Е е о |
с2 |
||
— |
А ГГ • Та- |
Эпюры распределения остаточных напряжений показаны на фиг. 173.
Д. Рассмотрим другой пример, когда первоначальная объемная остаточная деформация в поверхностном слое постепенно нарастает.
Пусть прц г < с
го =
а в кольцевой |
области (с ^ г ^ Ь) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
( r |
- c f |
• |
|
|
|
|
|
е 0 |
е 0 шах ( jTZT"} |
|
|
|||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(О |
|
|
г < с |
|
|
|
|
|
е0 = | |
/ г—с ? |
|
|
|
|
||
|
|
|
eom ax^^jj |
|
|
|
|
||
Функция |
f |
(г) |
определяется следующим равенством: |
|
|||||
|
(О |
|
|
|
|
|
|
г < с |
|
F(r) = |
1 |
Д+ |
в Со шах |
Г |
(г— с)5 |
с (г — с)4 |
|
||
|
1 — р |
гг (6 — с)3 |
L |
5 |
‘ |
4 |
•] |
Ъ. |
|
Значение |
функции F (г) на |
внешнем |
радиусе: |
|
|||||
|
|
|
|
|
1_тХт+ ' Я Г т ) - |
|
|||
Остаточные напряжения определяются по формулам (51)—(53) для внутренней области (0 ^ г ^ с):
_______ |
Е 8о шах |
( 4 |
с \ ( i , |
1 с \ |
|
0r - |
afl - |
~ i ^ T |
[ 1 " |
Т) (т + |
20“Т ) ’ |
|
|
oz = |
2Or = |
2ста; |
|
для наружного |
слоя |
г = 6 |
|
|
|
|
|
(Гг = 0; |
|
|
|
Е. Рассмотрим остаточные напряжения после наклепа поверх ностного слоя. Если этот наклеп создавался в результате пластиче ской деформации радиально направленной силой, то можно считать
6(3г — ®о> еое — $oz — 2 £о> |
(63) |
где ео — абсолютная величина остаточной деформации. Предполагается, что первоначальная пластическая деформация
протекала без изменения объема 1\л = -y - j.
Примем, что первоначальная деформация (63), постоянная по величине, содержится в кольцевом слое с ^ г < Ь.
Из формул (34) и (36) находим
Ф(Г) = |
О |
|
г < с |
|
|
Зе0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
с |
|
|
|
|
О |
|
Г < С |
|
|
|
1 — 2ц |
8П |
С ^ |
Г ^ |
Ь. |
|
1 —fx |
°° |
|
|
|
В соответствии с равенствами |
(45) |
и |
(46) |
получим |
|
С помощью равенств (42), (43) и (48) могут быть найдены формулы для напряжений.