Остаточные напряжения
..pdfК числу недостатков метода следует отнести ограниченное число* точек измерения по радиусу и невозможность использования тензо метров вследствие малых деформаций (а не перемещений) в кольце.
Метод полного освобождения позволяет определить остаточные напряжения в данной точке диска и не требует проведения специаль ных расчетов. Он может быть применен и при отсутствии осевой симметрии остаточных напряжений. Метод непригоден для опреде ления остаточных напряжений при значительном изменении напря жений вдоль радиуса. Число измеряемых точек по радиусу ограни чено, особенно для дисков малых размеров, что снижает точность.
Условие контроля правильности полученных значений остаточ
ных напряжений |
состоит |
в проверке |
выполнения условий |
равно |
||
весия. |
|
|
половины |
диска следует |
|
|
Из условия равновесия |
|
|||||
|
|
|
На |
|
|
|
|
|
|
J a0dr = O. |
|
(80> |
|
|
|
|
Ki |
|
|
|
В диске постоянной толщины суммарная площадь эпюры окруж |
||||||
ных остаточных напряжений обращается в нуль. |
|
что на. |
||||
Далее |
полезно |
отметить на основании уравнения (7), |
||||
радиусе, |
где сгг имеет максимальное значение |
= oj , величина |
||||
(Уг = а0. Следующая возможная проверка имеет более сложный вид. Из условия равновесия [см. уравнение (70)] радиальные и окруж
ные остаточные напряжения связаны следующим соотношением:
От(Г) =4"{ J МЙГ1+ °т * |
(81)' |
|
Hi
Обычно достаточно использовать лишь условие (80). Следует иметь в виду, что в большинстве методов (исключение составляет метод полного освобождения) при выводе расчетных зависимостей использовалось условие равновесия. Поэтому условие контроля проверяет только правильность математического расчета и не дает возможность судить о погрешностях, допущенных при измерении.
23. ДИСКИ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ
Рассмотрим определение остаточных напряжений в дисках пере
менной |
толщины (см. фиг. 121). |
|
|
Условие равновесия элемента диска относительно остаточных |
|||
усилий |
(на единицу длины) |
имеет следующий вид |
(фиг. 134): |
|
-^Г + |
4 - ( Х г - Щ = 0 , |
(82). |
где Nr = Н — радиальное усилие; NB — неН — окружное усилие.
Радиальное усилие изменяется непрерывно по радиусу диска, тогда как (средние) радиальные напряжения могут претерпевать резкие изменения в местах резкого изменения толщины диска. Соотношения упругости для дисков переменной толщины будут такими:
8Г — |
(Nг — [AiVo) J |
(83) |
ев = |
-Ей ( М - | * М ) ; |
(84) |
в этих уравнениях ег и ео представляют собой деформации |
при дей |
|
ствии усилий (внешних) Nr и No. |
|
|
Изложенные ранее методы определения остаточных напряжений могут быть применены и для дисков переменной толщины. Так как сущность методов уже подробпо разобрана, остановимся лишь на некоторых отличиях расчетных зависимостей.
А. Для метода растачивания расчетные уравнения существенно усложняются, так как для диска переменной толщины отсутствует решение в замкнутой форме. При получении расчетных зависимостей
приходится использовать какой-либо из методов расчета диска |
[10]. |
||||||||
|
Ввиру сложности |
расчетных зависимостей |
|||||||
|
в настоящей |
работе они |
не |
приводятся. |
|||||
|
Б. В методе колец |
основное уравнение |
|||||||
|
для деформаций [уравнение (41)] будет |
||||||||
|
таким: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ее(г) = |
- ^ |
[ В |
Д |
- ^ |
г(г)Ь |
|
(85) |
|
|
где ео (г) = |
|
-----замеренная |
окружная |
|||||
|
деформация после вырезки кольца. Так |
||||||||
|
как система уравнений (85) и (82) почти |
||||||||
|
полностью |
соответствует |
уравнениям |
(41) |
|||||
|
и (42), то расчетные зависимости можно |
||||||||
|
получить из соотношений (45) и (46). |
||||||||
|
Будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л ,(г) = - |
1 |
- |
ЕЯ (г,) е9 (г,) |
|
|
(86) |
||
|
_ |
-------- JL-------- drv |
|||||||
|
Nо (г) = yLNr (г) - |
ЕН (г) ее (г). |
(87) |
||||||
Фиг. 134. Условия равнове |
Остаются |
в силе краевые |
условия: |
||||||
сия элемента диска перемен |
на внешнем радиусе |
iV'r (i?2) = |
0; |
(88) |
|||||
ной толщины. |
|||||||||
на внутреннем радиусе Nr (Rx) = 0. |
|
|
|
(89) |
|||||
Для сплошного диска |
на некотором малом радиусе R1 ^ |
(0,1 -f- |
|||||||
Ч- 0,2) Д2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nr (R1) = No{r1). |
|
|
|
|
|
(90) |
||
В. Основные уравнения в методе разрезки колец остаются почти
без изменений. |
Предполагается, что |
окружное усилие |
iVe (г) |
распределяется линейно по толщине кольца: |
|
||
|
Nl| ( r ) « f t ( r - r 0). |
(91) |
|
Величина к подбирается из условия равенства изгибающего мо |
|||
мента |
ь2 |
ь2 |
|
М = |
J (Те (г) Я (г) (г — r0) dr, = |
к I (г — г0)2 dr. |
|
|
bi |
b'l |
|
Принимая приближенно
ь2
|
/ |
Н (г) (г — r tf dr |
|
|
Я (г о ) ~ - * Ч ;------------------- . |
(92) |
|
|
|
J ( r - r 0)*dr |
|
|
bi |
|
|
получим |
вместо соотношения |
(64) следующее: |
|
|
^ / , w |
2 Я Я (г0)б |
(93) |
|
|
о |
|
Если |
обозначить |
|
|
|
|
||
|
|
|
(94) |
то расчетные уравнения приобретают следующий вид (диск с отвер стием):
|
я2 |
|
т (г) = Я(г) - |
J уг (Г1) dr,: |
(95) |
(г)="И/ ^ (г,) dr, - |
- ^ = ^ - J F (г,) dr,} |
(96) |
г |
Д2 |
|
1*1 |
Rl |
|
Отличие от формул (73) и (74) состоит в том, что функция F (г} имеет другое значение, так как содержит величину Н (г).
Подобные равенства справедливы для диска без центрального отверстия.
Г. Расчетные уравнения в методе кубиков [формулы (78) и (79)1 остаются без изменения для дисков переменной толщины.
(ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ПОЛЫХ И СПЛОШНЫХ ЦИЛИНДРАХ
Во многих случаях при определении остаточных напряжений детали машин (или их отдельные части) могут рассматриваться как полые или сплошные цилиндры (валы, роторы, прокатные валки
аи т. п.). Основная особенность |
цилиндрических деталей |
состоит |
в том, что, кроме окружных и радиаль |
||
ных |
остаточных напряжений, |
в них |
могут существовать осевые остаточные напряжения (фиг. 135). Окружные и радиальные напряжения в цилиндре
<Фиг. 135. |
Элемент цилипдра: |
Фиг. 136. Напряжения и деформации в ци- |
XJQ — окружные напряжения; аг — |
линдре. |
|
радиальные |
напряжения; oz — осе |
|
вые |
напряжения. |
|
(фиг. 136) под действием постоянных нагрузок на цилиндрических поверхностях (напряжений аг1 и а г 2) определяются такими же соот ношениям, как и для диска.
При действии осевой силы N возникают еще осевые напряжения
Ог |
N |
(1) |
|
-это равенство является точным, |
когда усилие N прикладывается |
в виде равномерно распределенных по торцам напряжений. В общем
J56
случае, когда N представляет собой равнодействующую неравно мерно распределенных напряжений, равенство (1) оказывается спра ведливым на некотором удалении от торцов (в условиях плоской деформации).
22.МЕТОД ЗАКСА
А.Для определения остаточных напряжений из детали выре зается цилиндрический образец длиной L (фиг. 137). В результате
вырезки осевые напряжения на торцах цилиндра обращаются в нуль, по на некотором расстоянии 1К они сохраняют прежнее значение. Это соответствует известному принципу Сен-Венана. Расстояния 1к зависят от характера распределения осевых напряжений. При определении оста-
Фиг. 137. |
Распределение осевых остаточ- |
Фиг. 138. |
Касательные напряже- |
ных напряжений в даином цилиндрическом |
ния на |
концевых участках, |
|
о |
образце. |
|
|
точных напряжений (эпюра осевых напряжений самоуравновешена) в большинстве случаев можно считать
1к &&
В пределах концевых участков на цилиндрических поверхностях действуют касательные напряжения, параллельные оси цилиндра.
Если рассмотреть часть цилиндра с наружных радиусом г (фиг. 133), то из условия равновесия вытекает, что равнодействую
щая касательных напряжений |
равна |
|
|
|
|
г |
|
|
|
N (г) = |
2я I* azтi |
d |
r |
(2) |
|
Hi |
|
|
|
Б. В соответствии с методом Закса проводится последовательная расточка цилиндра с измерением окружной и осевой деформации на внешнем радиусе.
Для этого |
делаются замеры изменения |
наружного диаметра |
|
d2= |
2R2и длины I с помощью оптических приборов. Более эффектив |
||
ным |
является |
использование проволочных |
тензометров. Пусть |
в данный момент проведена расточка до радиуса г (фиг. 139). Обна жение поверхности среза эквивалентно приложению к этой поверх ности обратных остаточных напряжений. В результате этого в цилин дре возникнут дополнительные напряжения и деформации. Допол нительное окружное напряжение в наружном слое при действии
напряжений |
на |
внутренней |
поверхности |
радиуса г |
могут |
быть |
|||||
|
|
-L --------------- Н |
|
найдены по |
формуле (14) |
||||||
|
|
|
вгл. 7, если положить в ней |
||||||||
|
|
|
|
|
|
о г 2 = |
о , Or i = |
— Or ( г ) : |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(Jo д ( R z ) = Or (г ) |
2 r2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
R —г2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дополнительное |
ради |
|||
|
|
|
|
|
|
альное напряжение, естест |
|||||
|
|
|
|
|
|
венно, |
|
|
|
||
|
|
|
|
N(r) |
|
|
Ord(R2) = 0. |
(4) |
|||
Силовые |
факторы при |
расточке. |
|
Дополнительное |
осевое |
||||||
напряжение |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
N (г) |
|
R2 — г2 - |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Oz д (R2) — я (д ;-г2 ) |
J Oz {Гг) rxdrlt |
|
(5) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R\ |
|
|
|
|
где гг (R±< |
гг< |
|
г) — переменная |
интегрирования. |
|
|
|
||||
Дополнительные деформации (т. е. деформации, возникшие в ре |
|||||||||||
зультате расточки) |
определяются следующими равенствами: |
|
|||||||||
ее 2 {г) = |
-д- {ere а (Я2) — \i [огд (# 2) + |
ога (Я2)]} ; |
|
(6) |
|||||||
е2 2 {г) = |
- i - (сг2 а (Я2) — [i [ао 0 (В2) + |
ог д (Д2)]} |
|
||||||||
|
|
||||||||||
В этих равенствах ее2 (г) |
и eZ 2 |
(г) — деформации |
в |
окружном |
|||||||
и осевом направлениях на внешнем радиусе, возникшие в резуль тате расточки до цилиндрической поверхности радиуса г. Учитывая равенство (4), получим из соотношений (6)
овд(В2) = |
f ~ - 2leo2(r) + це* 2 (г)]: |
(7) |
|
Огд (Д2) = |
Е |
(Г)Ь |
(8) |
j __ [е22 (г) Ч~ № 0 2 |
|||
Внося сюда соотношения (3) и (5), находим
|
°Г(г) = |
|
l> 2 (г) + Ц8* 2 (г)]; |
|
|
г |
аг (г,) rldr1 = |
е |
R2 — г2 |
[ег2 (г) + цео 2 (г)]. |
(Ю) |
I |
|
----- |
|||
я\
Дифференцируя последнее равенство по г, получим
— е22(г) — И-ее 2 (г) . |
(И ) |
Окружное остаточное напряжение может быть определено из условия равновесия
= -^Г [Г СГг (Г)1,
что дает
— ~ ~^Г (ее 2 (г) + це2 2 (г)) j . |
(12) |
Формулы (9), (11) и (12) (с несущественными отличиями) были впервые установлены Г. Заксом 1157]. Они справедливы и для полых, и для сплошных цилиндров.
В. Рассмотрим частный случай, когда длина цилиндра мала и дополнительные осевые напряжения отсутствуют (случай диска).
Из условия (8) при az (7?2) = 0 находим
еггМ = — Цео2( г ) .
Внося это значение в равенства (9), (И) и (12), получим
ov (г) = |
Е |
ео 2 (г) э |
|
|
ае (г) = |
Е |
d4 2 |
R22+r2 |
(13) |
~1г~ (Г) |
2г2 |
ее 2 (г) ; |
||
а2 (г) = |
0; |
|
|
|
эти формулы совпадают с соответствующими равенствами, выведен ными для дисков в разделе 19.
Г. Как уже отмечалось, при рассмотрении аналогичного метода для дисков, остаточные напряжения по формулам (9), (11) и (12) определяются в сточенных слоях. Если требуется найти (рассматри ваемым методом) остаточные напряжения во внешних областях, то необходимо вести обточку с наружного диаметра и измерение дефор маций на внутреннем.
В этом случае на внутренней поверхности наклеиваются прово лочные тензометры. Для наклейки тензометров иногда используется специальное приспособление, содержащее резиновый шланг, который после наполнения воздухом прижимает тензометр к поверхности.
Отметим, что обычные линейные измерения на внутренней поверх ности затруднены и не обеспечивают необходимой точности.
Для определения остаточных напряжений необходимо составить расчетные формулы при измерении деформаций на внутреннем ра
диусе |
(фиг. 140). |
|
|
|
|
|
Дополнительные напряжения для точек внутренней поверхности |
||||||
будут |
такими: |
|
|
|
Ог2 |
|
|
воa (#i) = |
— Or (г) |
|
|
||
|
г2 — вл |
|||||
|
От д (Ri) — 0 ‘, |
|
Д2 |
(14) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
° г д |
= |
r * - R 2 ' / |
° z ^ |
ridr' |
|
Используя равенства |
1 |
г |
|
|||
|
|
|
|
|||
|
Ood(Ri) = |
[ео 1(г) + |
pez t (г)]; |
|||
|
|
|
Е |
|
|
(15) |
|
Ог в ( i? i) |
= |
Y Z T fi Iе* 1 |
(г ) + |
иео 1 (г)]. |
|
получим следующие расчетные формулы при наружной обточке цилиндра и измерении деформации на внутреннем радиусе:
°r (г) = |
|
- |
Г |
ЙГ,Д* |
(во 1 (г) + |
|лех t (г)); |
(16) |
|||
|
|
|
|
2 г2 |
|
|
|
|
|
|
аг (г) = |
1 —p2 |
г2 — R2 |
* * Ч > + |
1* |
* |
L (r)) + |
|
|||
2Г |
|
|
||||||||
|
|
dr |
|
|
dr |
|
||||
|
|
+ 8z i (г) + Ц60 i (r) |
|
|
|
(17) |
||||
Из уравнения |
равновесия |
находим |
|
|
|
|
||||
<*>W = - |
|
|
|
(■т |
- |
W + |
и- |
|
(г>) + |
|
|
|
r*+R\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2г2 |
(ев i (г) + |
pez j (г)) |
|
|
(18) |
|||
Формулы (16), (17) и (18) служат для расчета остаточных напряжений в наружных слоях полого цилиндра.
Для сплошного цилиндра (Вх = 0) измерения на внутреннем радиусе невозможны1, и предварительно проводится расточка. Определение остаточных напряжений в этом случае рассматривается ниже.
1 Измерение деформации при |
= 0 возможно только с помощью прово |
лочного тензометра на торце цилиндра, что вносит погрешности вследствие крае вого эффекта.
Д. В том случае, когда наибольший интерес представляют оста точные напряжения во внешних и внутренних слоях, расточку и обточку следует проводить на одном и том же цилиндре (образце). Этот способ, предложенный Л. А. Гликманом и А. Н. Бабаевым [27], позволяет также более точно построить полную эпюру остаточ ных напряжений по сечению.
Сначала проводится расточка (фиг. 141) до радиуса Д3, и остаточ ные напряжения вычисляются по формулам (9), (И) и (12). В резуль тате расточки в оставшейся части цилиндра возникают дополни тельные напряжения. Они определяются, как напряжения, созда-
6г |
// |
0 |
|
|
|
|
< |
|
|
||
|
|
о б т о ч к а |
/ |
|
|
|
' / / / / / S S J S S / / / / / / / / / / / / Л |
|
|
||
|
ътттгщ |
t |
|
||
|
|
о ч к а |
6 г * |
1 f |
|
|
1 / / / / 1/ /р /а /с /т / / / / / / / / / / у / / // |
|
|||
|
N 3 |
|
|
\н» |
|
|
J _ |
|
|
|
|
Фиг. 140. Силовые факторы при об |
Фиг. 141. |
Определение |
остаточных |
на |
|
точке. |
пряжений |
с помощью |
расточки и |
об |
|
|
|
точки. |
|
|
|
ваемые приложением на поверхности радиуса R3 обратных остаточ ных напряжений —сх,3 и обратного осевого усилия N3.
В соответствии с равенствами (9) и (10)
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Ог3 = Ог(Д3) = |
1 |
г |
’ —2 |
п2 3 |
[£о 2 (Дз) 4“ М'е2 2 (Дз)1 > |
|
||
*3 |
|
П\з |
|
^2 _ ^2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
(19) |
||
А3 = 2я j* oz(гг) гxdr! = 2я |
• 2 2 3- X |
|
||||||
Ri |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
[ег2 (Дз) + |
|^Б0 2 (Я3)]. |
|
|||||
Дополнительные напряжения я оставшейся части цилиндра |
||||||||
будут равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
Огд — Or3 |
К |
|
I ■ |
R- |
|
|||
2 |
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
i?2 |
/ |
i?2 |
|
||
|
|
|
|
|
(20) |
|||
ам = агз |
2 |
|
3 |
' |
+ |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
N
О z д ---- |
а |
Если учесть соотношения (19), то получим
Е |
R2 — г2 |
2 (Л3)1» |
|
°гд = — YZTJT2 •—^ ----[£0 2 (#з) + |
|
||
°0д = |
---2г^-----f6°2 (-^з) + № |
2 (Дз)]; |
(22) |
^ д = ^ |
f6z 2 (Лз) "Ь (Х80 2 (Л3)]. |
(23) |
|
На втором этапе цилиндр обтачивается (фиг. 141). Измерение деформаций проводится на внутренней поверхности радиуса R3 (например, вновь наклеенными тензометрами). Остаточные напря
жения |
при наружной обточке |
вычисляются по формулам (16), (17) |
и (18), |
в которых величина 7?1 заменена на /?з. |
|
Вычисленные напряжения |
представляют собой суммы истинных |
|
идополнительных напряжений.
Всоответствии с этим получим окончательные формулы для
остаточных (истинных) напряжений в области R3 ^ г ^ Rz
Or (') = — |
|
---2^2 3 le°3 (г) + |
Ц£г з(г)] + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
+ |
Е |
|
--2г2 - [ |
- е2 |
- е( |
-7 |
|
-? |
2з |
)( |
Л |
+ |
3 |
) |
] |
Ц |
; |
в |
|
1 — и-2 — |
|
|
||||||||||||||||
|
|
Е^ |
|
г2 — В2 |
|
^03 |
,\ |
| |
|
^®2 3 |
/ \ |
+ |
|
|
|
|
|
||
* i r) = - T = F { — и г * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г 2 |
f |
п * |
{г) + |
ц |
е |
|
г |
3 |
|
|
( |
r |
) |
] |
[ |
j |
е |
е - |
|
+ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
X |
[ее 2 (Л3) + |
f^ez 2 (Л3)]; |
dеf). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
с? е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
: ^ |
|
1 — |Х 2 } |
2 г |
|
^ ( г ) + ^ ( г ) |
+ |
|
|
|
|
|
||||||||
е* з (0 |
+ Цео з (г) |
|
[®2 2 (Дз) + |
|
2 (Я.)]. |
|
|
|
|
|
|||||||||
В этих равенствах, как и раньше, |
ее 2 (7?3) |
и |
ег2 (# 3) — окруж |
|
|||||||||||||||
ные и осевые деформации, замеренные на внешнем |
радиусе |
|
R2 |
|
|||||||||||||||
при радиусе (наибольшем) расточки R3\ ео3 (г) и |
ег3 (г) — окруж |
|
|||||||||||||||||
ные и осевые деформации, замеренные на внутреннем радиусе R3 |
|
||||||||||||||||||
при обточке до радиуса |
г (отсчет этих деформаций начинается с мо |
|
|||||||||||||||||
мента начала |
обточки). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В некоторых случаях возникает необходимость определять оста |
|
||||||||||||||||||
точные напряжения в тонких поверхностных слоях. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Тогда можно провести расточку по методу Закса до радиуса i?3, |
|
||||||||||||||||||
близкого к наружному радиусу 7?2, а дальнейшее исследование |
|
||||||||||||||||||
тонкостенной |
трубы (с толщиной |
стенки |
h = |
R2 — Rz) выполнить |
|
||||||||||||||
по методам исследования |
тонкостенных |
труб |
|
(см. гл. 6). |
|
|
|
|
|
||||||||||