Остаточные напряжения

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку 0 %

делялась по формулам параболической интерполяции, приведенным в предыдущем примере.

На фиг. 85 дано распределение остаточных напряжений по тол­ щине образца.

В. Если происходит снятие неплоских слоев, то предыдущие расчетные зависимости оказываются неприменимыми и следуем видоизменить расчетные формулы.

Пусть, например, требуется определить остаточные напряжения в поверхностных слоях цилиндрического стержня (фиг. 86) при сня­ тии путем травления полуцилиндрической поверхности. Остаточные напряжения предпола­ гаются одинаковыми во всем поверхностном

слое.

Изгибающий момент относительно главной оси сечения, возни­ кающий после снятия поверхностного слоя толщиной da,

или

_ AEJ df __ л Ed* df щ ° Z2r2 * da “ ■ 4 * Z2 * da ,J

Этой формулой можно воспользоваться для определения остаточ­ ных напряжений в поверхностных слоях. При измерении деформаций в нижнем волокне проволочным тензометром величина деформации

аг = ~ - щ - = - - Ё Т ~

Из последнего соотношения вытекает

это равенство также справедливо только для поверхностных слоев.

Стержни с переменным модулем упругости

А. В практических задачах встречается необходимость опреде­ ления остаточных напряжений в биметаллических стержнях. Рас­ смотрим более общий случай, когда модуль упругости изменяется в различных точках сечения, но остается постоянным по длине стерж-

вэтом случае удовлетворяется условие (68).

1Рассмотрение общего случая возможно на основе теории стержней с переменным модулем упругости [9].

Напряжение изгиба в стержне с переменным модулем упругости

$E (y )y * d F

F

Величина

h— a— e (а)

представляет собой жесткость сечения стержня на изгиб после сня­ тия слоя а.

Фиг. 88. Сечение биметаллического стержня.

Прогиб середины стержня под действием концевых изгибающих моментов будет равен

Если стержень с переменными параметрами упругости растяги­ вается силой N, проходящей через приведенный центр тяжести, то напряжения растяжения

F—e(a)

—жесткость стержня на растяжение.

Для расчета остаточных напряжений будем использовать ре­ зультаты предыдущего параграфа.

При измерении прогибов расчетная формула для определения напряжений имеет следующий вид:

<Ф) = -7Г В(а) • ^ ( а) — Е (а)/ь—а—е(£)+

(h— e (а)— а) Ъ(а)

В(|)_____ }J J L d l \

- l - e (D) d l d l \ -

В частном случае Е = const равенство (75) совпадает с равен­ ством (57).

Б. Вопрос об остаточных напряжениях в биметаллических стерж­ нях прямоугольного сечения был впервые рассмотрен М. А. Баби­ чевым [4] в связи с исследованием вкладышей подшипников сколь­ жения. Однако при выводе расчетных зависимостей в работе допущены неточности.

Биметаллический стержень прямоугольного сечения (фиг. 88) автор отождествляет с однородным стержнем таврового сечения с одинаковой жесткостью на изгиб.

В действительности такая замена возможна только при определе­ нии жесткости. Усилие, эквивалентное снятию слоя da, будет равно

о bda, а не o' 6 Е da, как это считается в работе [4].

Из этих зависимостей вытекает, что напряжения от внешних нагрузок распределяются по толщине пластинки по линейному закону. Изгибающие моменты на единицу длины сечения

Последние равенства позволяют выразить радиусы кривизны черев изгибающие моменты

Если пластинка загружена распределенными моментами по краям (чистый изгиб пластинки, см. фиг. 89), то величины Мх и Му по­ стоянны и соответственно равны приложенным моментам. В этом случае, как следует из формул (11) и (12), радиусы кривизны одина­ ковы во всех точках пластинки (срединная поверхность пластинки становится сферической).

Прогиб пластинки в результате кривизны в сечении, параллель­

Общий наибольший прогиб пластинки (превышение над плоско­ стью z = 0)

Б. Перейдем к характеристике остаточного напряженного со­ стояния. Остаточные напряжения в пластинке сгх и ау параллельны срединной плоскости пластинки.

Напряжение az, отсутствующее на внешних поверхностях пластинки, считается малым для всех внутренних точек. Предполагается, что остаточ­ ные напряжения в данном слое мате­ риала (z = const) одинаковы для всех точек пластинки. Это допущение, очевидно, нарушается возле краев пластинки, но в соответствии с принципом Сен-Венана краевые зоны имеют небольшую протяжен­ ность.

Подобное допущение использовалось и при определении остаточ­ ных напряжений в стержнях (см. § 3). Принимается, что главные

направления соответствуют направлениям жиг/, и потому на гранях выделенного элемента (фиг. 93) касательные напряжения отсутствуют. Перейдем к изложению методов определения остаточных напряжен ний в пластинках.

14.МЕТОД ПОЛОСОК

А.В соответствии с этим методом из пластинки вырезаются по­ лоски вдоль главных направлений (фиг. 94). Ширина полоски Ъ должна быть небольшой, с тем, чтобы напряженное состояние в по­ лоске после вырезки было одноосным.

Далее проводится последовательное снятие слоев по высоте сечения полоски h и определяются изложенными ранее способами

остаточные напряжения в полоске. Результаты измерения в двух полосках позволяют провести расчет остаточных напряжений в пла­ стинках ох и Оу. Предполагается, что разрезка полосок осуществляется таким образом, что дополнительные остаточные напряжения не вносятся. Перейдем к изложению теории метода.

Б. Рассмотрим сначала полоску, ось которой параллельна оси х. Вырезание полоски эквивалентно приложению на боковых гранях остаточных напряжений оу с обратным знаком (обратных остаточ­ ных напряжений) (фиг. 95).

В результате приложения этой нагрузки в поперечных сечениях полоски возникнут дополнительные напряжения оХд и дополнитель­ ные деформации гхд. Первая часть задачи состоит, таким образом, в определении напряжений и деформаций в узкой полоске, загру­