Остаточные напряжения
..pdfбыть измерена проволочными тензометрами или вычислена по (заг). меренному значению радиального перемещения оси кольца и
Так как возможные погрешности связаны с отношением — , то
с уменьшением радиуса кольца следует уменьшать и его толщину. Отметим, что если используются проволочные тензометры и высота кольца h достаточна для размещения их в радиальном напра
влении, то целесообразно измерить изменение радиальной деформации:
е(г)=—~ [<т(г)—(шо(г)];
в этом случае метод колец превращается в метод полного освобожде ния (см. метод кубиков, § 22).
Если же проводится измерение диаметров или кольца имеют небольшую высоту, то с помощью излагаемого ниже метода можно определить остаточные напряжения аналитическим путем, зная только величины ее (г).
Второе уравнение между неизвестными величинами остаточных
напряжений в диске вытекает из условия равновесия |
|
|
— |
== -jr [°о (г) — °г (г)1- |
(42) |
Б. На основании уравнений (41) и (42) можно определить оста точные напряжения в диске*.
Обычно для этого проводят расчет по участкам, начиная с наруж ного или внутреннего кольца (см. например, [131]). С математической точки зрения этот метод представляет собой метод конечных раз ностей.
Однако можно сразу установить расчетные формулы для остаточ ных напряжений в диске, если величина ее (г) известна. Из уравне ний (41) и (42) получается следующее дифференциальное уравнение:
|
J% -(r) + |
± ? L °г (Г) = |
- |
. |
(43) |
||
Решение этого уравнения, удовлетворяющее краевому условию |
|||||||
будет таким: |
|
<УГ(^2) — О, |
|
|
(44) |
||
|
|
Й2 |
|
|
|
||
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
Г ДЕ е61Ц (г 1) |
|
(45) |
|||
|
<ТГ (Г ) = |
г*” *1 |
) |
drv |
|
||
|
|
|
г? |
|
|
||
где |
г± — переменная |
интегрирования** (г ^ гг ^ Ь). |
|
||||
В справедливости равенства (45) можно убедиться простой под |
|||||||
становкой в исходное уравнение (43). |
|
|
|
||||
* Считается, что функция eg (г) с помощью вырезки |
колец определена в до |
||||||
статочно большом числе |
точек. |
переменной интегрирования и |
перемен |
||||
** |
Слелует избегать |
обозначения |
|||||
ного предела интеграла одной буквой, как это часто применяется в технической литературе.
Окружное остаточное напряжение находится из соотношения (41):
|
а0 (г) = |хаг (г) — Е е о(г); |
|
(46) |
||
это равенство вытекает также из уравнения (21) или (42). |
|
||||
В. Для диска с отверстием радиуса |
должно выполняться |
||||
условие |
Or (Иг) = 0. |
|
|
(47) |
|
|
|
|
|||
Тогда из равенства (46) вытекает |
|
|
|
||
|
a0(Ri) = -7?ee(/?i); |
|
|
(48) |
|
Снимаемый |
подобное соотношение, учитывая |
||||
зависимость |
(44), |
справедливо и для |
|||
|
|||||
|
наружного радиуса |
|
|||
|
а0(Д2) = |
_ £ ео(Д2). |
(49) |
||
Фиг. 129. Определение остаточных напряжений в наружных слоях с помощью разрезки и снятия слоев.
При вычислениях по формуле (45) условие (47) может служить в каче стве контрольного.
Для диска без отверстия остаточ ные напряжения в центре должны быть одинаковыми
0г (О) = ао(О), |
(50) |
при предположении об осевой сим метрии остаточных напряжений. С достаточной точностью можно счи тать, что равенство (50) остается справедливым и при малом радиусе [приблизительно Яг ^ (0,1 — 0,2) i?2]:
ar {R1) = a,(R1). |
(51) |
Для сплошного диска из условия (46) вытекает |
|
Е efl (Л,) |
(52) |
0Г (/?,) = (Те (Дх) = ---------------------------------------------------- |
На наружном радиусе остается в силе зависимость (49). Расчет по формуле (45) для сплошного диска следует доводить только до
некоторого малого |
радиуса |
[# i ^ |
(0,1 |
-г 0,2) /?2] и |
пользоваться |
условием (52) как |
контрольным1. |
считать |
|
||
Для радиусов 0 < г < |
следует |
|
|||
огг (г) = 0е (г) = const = |
— Е18е [1 |
(53) |
|||
1 При малых радиусах расчет по формуле (45) требует раскрытия неопре деленностей из-за наличия г в знаменателе.
Г. Иногда требуется более точно определить остаточные напряже ния в поверхностных слоях.
Для определенности рассмотрим наружные слои диска (г «=?R2). Для исследования из диска вырезается кольцо, примыкающее к на ружной поверхности. В результате вырезки в кольце снимается окружное напряжение (на осевой линии кольца)
ао (i?2*) = —Е ео (Я.*), |
(54) |
где /?2* — радиус осевой линии кольца.
Далее производится разрезка кольца (фиг. 129) и снятие цилин дрических слоев с замером изменения диаметра кольца (определение остаточных напряжений в кольце было рассмотрено в главе 4).
Для вычисления полных остаточных напряжений следует к оста точным напряжениям в кольце добавить напряжения, определяемые по формуле (54).
Д. Разрезка кольца и замер изменения диаметра после разрезки позволяют, как это будет показано в следующем разделе, определять величину
что дает другой независимый способ определения напряжений в диске. Таким образом, вырезка колец из диска позволяет опреде лить остаточные напряжения двумя независимыми способами и при необходимости, с помощью стравливания слоев, определить остаточ ные напряжения в области их резкого изменения вдоль радиуса.
21.МЕТОД РАЗРЕЗКИ КОЛЕЦ
А.Этот метод предложен Н. Н. Давиденковым [34]. Он заклю чается в вырезке кольца, разрезке вдоль образующей и в замере
изменения диаметра в результате разрезки.
После вырезки коль ца, как уже отмечалось, в нем исчезают средние
Фиг. 130. |
Распределение |
Фиг. 131. Определение среднего значения по |
окружных |
остаточных на |
методу разрезки колец. |
пряжений.
окружные напряжения со а = — сто Ср (фиг. 130). Если |
сгс— истинные |
|
остаточные напряжения, то |
|
|
Со = СОср+ |
со | |
(55) |
где оо — остаточные напряжения в |
кольце после |
его вырезки. |
Последующая разрезка кольца по образующей (фиг. 131) эквива лентна приложению к поверхности разреза обратных остаточных
напряжений оЦ. Эти |
напряжения |
создают |
изгибающий |
момент |
||||
М = |
Н |
J2 со (г) (г — r0) drv |
|
(56) |
||||
|
|
bl |
|
|
|
|
|
|
причем направление момента показано на фиг. 131; |
|
|||||||
Здесь Н — толщина |
диска; |
г0 — средний |
радиус кольца. |
|||||
Увеличение диаметра |
кольца |
в |
результате действия |
момента |
||||
(см. главу 4) |
|
Md* |
|
2Mr |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
(57) |
|||
|
б = -----= |
--------- |
|
|||||
|
|
2 |
EJ |
|
EJ |
|
|
|
где EJ — жесткость сечения кольца на изгиб; d0 = 2г0 — диаметр осевой окружности кольца. Основное допущение в методе разрезки
колец заключается в том, что напряжения оо (г) заменяются ли нейно-распределенными по толщине кольца
al (г) ^ к (г — гоу, |
(58) |
коэффициент к выбирается таким образом, чтобы величина изгибаю щего момента осталась без изменения.
Внося значение оЦ (г) в равенство (56), |
получим |
|
||
|
ь2 |
(г— г0)2dr = А/, |
(59) |
|
|
М = кН / |
|||
|
bi |
|
|
|
где J — момент инерции сечения кольца. |
|
|
||
Теперь из соотношения (57) |
следует |
|
|
|
|
к = |
2ЕЪ |
|
(60) |
|
|
|
||
Дифференцируя приближенное равенство (58), получим |
||||
|
dodr о (r)~ k . |
|
(61) |
|
На основании |
зависимости |
(60) |
|
|
|
dOfi (Г) |
2Е6 |
|
(62) |
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
это соотношение |
носит приближенный |
характер и |
определяет |
|
некоторое среднее |
значение производной. |
|
|
|
Точность равенства (62) повышается, если действительное распре деление напряжений мало отличается от линейного.
Как всякая линейная аппроксимация, она становится более точной при уменьшении участка интерполяции, т. е. при уменьшении толщины кольца. Из условия (55) следует
tfcr0 |
(Г) |
dOQ |
( 0 > |
(63) |
d r |
d r |
|||
и, следовательно, |
|
2Е6 |
ЕЬ |
|
d o B |
|
(64) |
||
|
|
|
||
~чг (Г) |
|
о |
2 г:о |
|
|
|
|
В рассматриваемом методе это приближенное равенство (64) считается точным. Так как правая часть соотношения (64) известна,
то |
|
|
|
~ar(r) = f(r), |
(65) |
где / (г) == |
----- известная функция (для значений |
радиусов, |
го
соответствующих средним радиусам вырезанных колец).
Б.Равенство (65) позволяет определить остаточные напряжения
вдиске. Интегрируя обе части в пределах от R1 до г (Rt — радиус
внутреннего |
контура), найдем |
|
|
||
|
|
|
г |
|
|
|
|
ов (г) = |
/ / (гх) drx + 0е (/?!>, |
(66) |
|
где |
{Rx < |
|
Rl |
интегрирования. |
|
гх < г) — переменная |
|
||||
|
Это равенство представим так: |
|
|
||
где |
|
не (г) ^ ( г Н |
- а е ^ ) , |
(67) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
» = SHrJdr,. |
(68) |
|
|
|
|
Hi |
|
контуре OQ (Ri) |
|
Окружное остаточное напряжение на внутреннем |
||||
будет определено в дальнейшем. Теперь следует учесть условие равновесия элемента диска, которому должны удовлетворять оста точные напряжения. Запишем это условие [равенство (8)] в форме
^ _ [ г а г(г)] = ств(г). |
(69) |
Интегрируя обе части равенства в пределах от |
до г, находим |
г |
|
°т(г) = -J- { J Сто (rx) drx+ ВлOr (Rx)} , |
(70) |
Rl |
|
где сгг (Ri) — радиальное напряжение на внутреннем контуре г = Rv Внося значение ае (г) из соотношения (67), получим
г
Для диска с центральным отверстием
М Л Л -О .
Используя равенство нулю радиальных напряжений на внешнем
контуре, найдем
Й2
/
" ( Я , ) - |
------ |
Р2> |
Таким образом, получаем следующие расчетные формулы для диска с центральным отверстием:
|
|
я2 |
|
|
о0<>(r) = F (Г) - |
|
— / |
F {г,)dr,; |
(73) |
Г |
2 |
1 Й1 |
Й2 |
|
М О = -у- { J F {r,)d r,~ |
j{~_ \ |
J F (r,) dr, j . |
(74) |
|
Rl |
|
|
Kl |
|
Для диска без центрального отверстия расчет проводится начиная с некоторого малого радиуса
Нхъ*(0,1 4-0,2)Л 2. |
(75) |
Принимая на малом радиусе
an(R,) = Or(Ri),
найдем из условия (71) при г = R2
|
я2 |
09(R,) = |
Л* j F (rl)drV |
Расчетные формулы для сплошного диска вполне аналогичны равенствам (73) и (74):
|
|
я2 |
|
|
Ов (г) = |
F (г) — |
J |
F (г,) dr,; |
(76) |
|
г |
fii |
Н2 |
|
|
Rl |
(77) |
||
<Mr) = 4 { |
[ F (г,) d |
r , |
- J V W M } |
|
В.Как уже указывалось, метод разрезки колец был предложен
Н.Н. Давиденковым. В работе [33] Н. Н. Давиденков считает целесообразным дополнить метод колец Н. В. Калакуцкого после дующей разрезкой, что позволяет проконтролировать опору его (г),
так как с помощью разрезки колец можно определить значения doQ
. Метод разрезки колец, как самостоятельный метод определе
ния остаточных напряжений в дисках, был предложен Н. Н. Дави
денковым в 1950 г. [34]. Равенство (60) он получает из других со-
с
ображений, связывая величину — в процессе изгиба кольца с изме-
Определение остаточных напряжений в диске
|
|
|
|
|
ю |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (г)= |
F (г)= |
т |
|
|
|
|
г |
Лг |
б (г) |
|
(N |
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
Е 6 (г) |
•г* |
|
[ Fdr |
|||||
i |
в мм |
в мм |
в мм |
т |
-f/d r |
|
|||
2га |
1Г> |
|
|
Ri |
|||||
|
|
|
|
|
Й1 |
X |
|
||
|
|
|
|
|
X |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ч » |
|
■г» |
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
со |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
1 |
38,5 |
0 |
-0,398 |
-2,69 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
45 |
6.5 |
-0,454 |
—2,24 |
—16,02 |
-16,02 |
—52,08 |
—52,08 |
|
3 |
55 |
10 |
-0,433 |
-1,432 |
-18,36 |
-34,38 |
—252,0 |
-304,08 |
|
4 |
65 |
10 |
—0,325 |
—0,769 |
—11,0 |
-45,38 |
—398,8 |
—702,88 |
|
5 |
75 |
10 |
-0,143 |
—0,255 |
—5,12 |
-50,5 |
-479,4 |
—1182,28 |
|
6 |
85 |
10 |
0,110 |
0,1532 |
—0,51 |
-51,01 |
-507,5 |
—1689,78 |
|
7 |
95 |
10 |
0,383 |
0,425 |
2,89 |
-48,12 |
—495,65 |
—2185,43 |
|
8 |
105 |
10 |
0,634 |
0,575 |
5.0 |
—43,12 |
-456,2 |
—2641,63 |
|
9 |
115 |
10 |
0,826 |
0,625 |
6.0 |
—37,12 |
-401,2 |
—3042,83 |
|
10 |
125 |
10 |
0,984 |
0,630 |
6,27 |
—30,85 |
-339,85 |
-3382,68 |
|
И |
135 |
10 |
1,253 |
0,688 |
6,59 |
-24,26 |
-275,55 |
-3658,23 |
|
12 |
145 |
10 |
1,72 |
0,819 |
7,53 |
—16,73 |
—204,95 |
—3863,18 |
|
13 |
155 |
10 |
2,375 |
0,989 |
9,04 |
—7,69 |
—122,1 |
-3985,28 |
|
14 |
165 |
10 |
3,475 |
1,276 |
11,33 |
3,64 |
—20,25 |
—4005,53 |
|
15 |
175 |
10 |
4,33 |
1,414 |
13.45 |
17,09 |
103,65 |
—3901,88 |
|
16 |
185 |
10 |
4,365 |
1,275 |
13.45 |
30,54 |
238,15 |
—3663,73 |
|
17 |
195 |
10 |
4,0 |
1,052 |
11,63 |
42,17 |
363,55 |
—3300,18 |
|
18 |
205 |
10 |
3,326 |
0,792 |
9,22 |
51,39 |
467,8 |
—2832,38 |
|
19 |
215 |
10 |
2,2 |
0,476 |
6,34 |
57,73 |
545,6 |
—2286,78 |
|
20 |
222,5 |
7.5 |
1,192. |
0,2406 |
2,69 |
60,42 |
443,0 |
—1843,78 |
|
(г— Hi) X |
Г Ог (г) |
ог (Г ) |
ое(г) |
в кГ/мм* |
в кГ1мм* |
||
X OQ (Hi) |
(9) + (10) |
(11) : (2) |
(7 Ж 1 0 ) |
|
|||
10 |
11 |
12 |
13 |
0 |
0 |
0 |
10,02 |
65,13 |
13,05 |
0,29 |
-6,0 |
165.33 |
—138,75 |
—2,52 |
-24,36 |
265.53 |
—437,35 |
-6,73 |
-35,36 |
365.73 |
—816,55 |
—10,90 |
-40,48 |
465.93 |
—1223,85 |
-14,40 |
-40,99 |
566,13 |
—1619,3 |
—17,05 |
-38,1 |
666.33 |
—1975,3 |
—18,80 |
-33,1 |
766.53 |
—2276,3 |
—19,80 |
-27,1 |
866.73 |
—2515,95 |
—20,10 |
—20,83 |
966.93 |
—2691,3 |
—19,95 |
-14,24 |
1067.13 |
—2796,05 |
—19,28 |
-6,71 |
1167.33 |
—2817,95 |
-18,18 |
2,33 |
1267.53 |
—2738,0 |
—16,58 |
13,66' |
1367,73 |
-2534,15 |
-14,48 |
27,11 |
1467,93 |
—2195,8 |
—11,87 |
40,56 |
1568.13 |
—1732,05 |
-8,88 |
52,19 |
1668.33 |
—1164,05 |
—5,54 |
61,41 |
1768.53 |
—518,25 |
-2,41 |
67,75 |
1845,0 |
1,22 |
0,005 |
70,44 |
149*
нением деформации по высоте сечения. В работе [34] не приводятся
расчетные формулы |
для |
остаточных |
напряжений; величину стг (г) |
||||
предлагается |
определять |
методом |
конечных |
разностей, |
начиная |
||
с |
наружного |
или |
внутреннего контура. В |
дальнейших |
работах |
||
Н |
Н. Давиденкова [35], |
[36] приведены расчетные формулы и при |
|||||
меры их использования. |
Однако в этих исследованиях содержится |
||||||
6 б
Фиг. 132. Распределение остаточных напряжений в диске.
произвольное допущение, что изменение деформаций в кольце в результате разрезки совпадает с изменением окружных деформа ций, возникающих в материале при полном освобождении. В дей ствительности же связь между исходным состоянием и состоянием после разрезки возникает только вследствие действия обратных остаточных напряжений.
Вместо условия (64) в работе [35] используется равенство
d a Q — ц d O r
~ d rr~ |
d r |
Естественно, что расчетные формулы в работах [35], [36] будут давать правильный результат только при ц = 0. В этом случае формулы Н. Н. Давиденкова после ряда преобразований могут быть приведены к более простым формулам (73) — (77).
Приведем пример определения остаточных напряжений в диске по методу разрезки колец. Исходные данные для расчета взяты из статьи Н. Н. Давиденкова [36]. Диск имеет центральное отверстие радиуса R± = 37 мм, наружный радиус диска i?2 = 225 мм.
Расчет приведен в табл. 7. В основе расчета лежат формулы
(73)и (74).
Встолбце 2 занесены средние радиусы колец. При расчете можно* препебречь отличием внутреннего радиуса Rx —- 37 мм от среднего радиуса первого кольца гх = 38,5 мм, полагая Rx = 38,5 мм.
Модуль упругости принят Е = 2 • 106 кГ1см2. Интегрирование
проводится по правилу трапеций. Интеграл в столбце 7 содержит сумму значений в столбце 6, взятую с нарастающим итогом.
На фиг. 132 даны эпюры остаточных напряжений, а также зна чения напряжения сгб, вычисленные в работе Н. Н. Давиденкова (линия
скрестиками). В данном случае расхождение вычислений невелико.
Д.Остановимся на одном обстоятельстве, которое может встре титься при исследовании дисков без центрального отверстия (сплош ных дисков).
Возможно, что радиус первого кольца не будет достаточно малым
и функция / (г) станет известной с некоторого радиуса Rx > 0 ,2 R2
[см. условие |
(75)]. Тогда можно провести расчет, начиная с этого |
|
радиуса Rx, |
положив для центральной |
частп диска 0 ^ г ^ Rx |
|
ое (г) = аг(г) = ое (i?i) = |
Or (i?i); |
это, конечно, приближенные соотношения, которые являются точ ными только для центра диска.
Более точные результаты можно получить, если расчет по форму лам (76) и (77) начать с некоторого малого радиуса Rx по усло
вию (75).
Неизвестные значения функции / (г) на малых радиусах сле дует определить с помощью экстраполяции экспериментальных зна чений / (г). При экстраполяции необходимо учесть, что в центре диска
dOa
/( ° ) ---- 5F- (°) “ °-
22.МЕТОД КУБИКОВ И СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ
А.В соответствии с этим методом из диска вырезаются кубики.. На торцах кубиков предварительно наклеиваются проволочные тензометры и снимается показание тензометров (их сопротивление)
до и после вырезки (фиг. 133).
Если тензометр, наклеенный в окружном направлении, обнару жил после вырезки кубика деформацию ее, а тензометр радиального направления еп то остаточные напряжения будут равны
°г = ----Г—lx2' (6г |
1Аев)5 |
(78) |
Оо= — Е (ев + |
|А8Г); |
(79) |
.эти равенства определяют средние напряжения, действующие по
.вырезанным граням.
В точности они справедливы только для бесконечно малого элемента. Метод кубиков представляет собой, в сущности, метод полного освобождения материала от действия остаточных напряже ний. Так как обычная база проволочных тензометров составляет 5—10 мм, то трудно применить кубики со стороной меньшей 15 мм. Это ограничивает использование метода для малых размеров диска. «Однако во многих случаях метод кубиков представляет собой один из наиболее эффективных методов.
Б. Проведем сравнение различных методов. Выбор метода опре деления остаточных напряжений во многом зависит от задач исследо вания, имеющихся средств измерения, размеров диска и других обстоятельств. Метод растачивания позволяет провести измерения в большом числе точек по радиусу и построить точные эпюры оста точных напряжений. Недостатком метода являются небольшие ве
|
|
личины измеряемых перемещений, |
|||
|
|
что |
требует весьма точных опти |
||
|
|
ческих измерений. Рекомендуется |
|||
|
|
использование проволочных тензо |
|||
|
|
метров. |
|
|
|
|
|
|
Метод колец обеспечивает боль |
||
|
|
шую точность измерения по срав |
|||
|
|
нению с методом растачивания, но |
|||
|
|
число точек по радиусу ограни |
|||
|
|
чено из-за радиальной толщины |
|||
|
|
колец и канавок. |
|
||
|
|
|
Метод позволяет построить пол |
||
|
|
ную эпюру остаточных напряже |
|||
Фиг. 133. Вырезка кубиков: |
ний в диске. При измерении де |
||||
а — вырезка кубиков; б — одна из воз |
формаций |
целесообразно |
исполь |
||
можных схем расположения проволочных |
зование проволочных тензометров. |
||||
тензометров. |
|
В методе разрезки колец изме |
|||
|
|
ряемые |
перемещения |
обычно |
|
больше, чем в двух предыдущих методах. С помощью этого |
метода, |
||||
дополнив его |
стравливанием слоев, |
можно |
определить остаточные |
||
напряжения с |
большим градиентом изменения: |
|
|||
А а
30-г-80 кГ/ммъ,
Дг