Краткий курс общей физики

Примеры решения задач

№ 1. В U-образную трубку налита ртуть. Сверху в одно колено заливают 68 г воды. Площадь сечения трубки 1 см2, плотность ртути 13,6·103 кг/м3. Определите, насколько уровень жидкости в одном

колене выше, чем в другом.

Д а н о: m = 0,068 кг, S = 10–4 м2, ρрт = 13,6·103 кг/м3, ρв = = 103 кг/м3. На рисунке: H0 – первоначальный уровень ртути, h1 –

уровень ртути в левом колене, h2 – уровень ртути в правом колене, hв – высота столба воды. Необходимо найти h.

Р е ш е н и е. Из рисунка разность уровней h = hв + h1 – h2 =

= hв – 2h.

Давление жидкости в левом колене

р1 = ρвghв + ρртgh1 = ρвghв + ρртg(H0 – h).

Давление жидкости в правом колене

р2 = ρртgh2 = ρртg(H0 + h).

Условие равновесия жидкости – равенство давлений: р1 = р2. Отсюда

ρвghв + ρртgH0 – ρртgh = ρртgH0 + ρртgh

ρвghв – ρртgh = ρртgh

ρвghв = 2ρртgh 2h ρρртв hв .

Разность уровней

h hв ρρртв hв hв 1 ρρртв .

Поскольку масса воды m = ρвVв = ρвShв, то высота столба воды hв ρmвS .

Наконец,

№ 2. Льдина равномерной толщины плавает, выступая над уровнем воды на высоту 2 см. Плотность льда 900 кг/м3. Найдите массу льдины, если площадь ее основания 200 см2.

81

Д а н о: h = 2 см = 0,02 м, ρл = 900 кг/м3, ρв = 1000 кг/м3, S = 200 см2 = 0,02 м2.

Р е ш е н и е. По условию равновесия:

№ 3. Какой максимальной подъемной силой обладает плот, сделанный из 10 бревен объемом по 0,6 м3 каждое, если плотность

дерева 700 кг/м3?

Д а н о: Vплота = 10·0,6 = 6 м3, ρд = 700 кг/м3, ρв = 1000 кг/м3.

Р е ш е н и е. Согласно третьему закону Ньютона, подъемная сила плота равна по моду-лю и противоположна по направлению силе

веса Р, действующей на плот со стороны груза при полном погру-

жении плота. По рисунку Р + mg = FАрх, где m – масса плота. Тогда подъемная сила плота

Fпод = Р = FАрx ‒ mg = ρвgVплота ‒ ρдgVплота = (ρв ‒ ρд) gVплота,

Fпод = (1000 ‒ 700)·10·6 = 18000 = 18 кН.

82

2.МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

2.1.Молекулярно-кинетическая теория

2.1.1.Основные положения молекулярно-кинетической теории

Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) – учение, которое объясняет строение и свойства вещества движением и взаимодействием частиц, из которых оно состоит.

МКТ основана на следующих положениях:

1)все вещества состоят из частиц (атомов и молекул);

2)эти частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (такое движение молекул называют также тепловым движением, поскольку скорости движения частиц зависят от степени нагретости тел);

3)между частицами существуют силы притяжения и отталки-

вания.

Эти положения подтверждаются явлениями диффузии, броуновского движения, особенностями строения и свойствами жидкостей и твердых тел.

Основные понятия МКТ

Атом – наименьшая частица химического элемента. Молекула – наименьшая устойчивая частица данного вещества,

обладающая его основными химическими свойствами. Молекула состоит из атомов.

Отдельные атомы и молекулы визуально невозможно наблюдать даже в самый мощный оптический микроскоп ввиду их малости. Линейные размеры атомов составляют порядка одного ангст-

рема: 1A 10 10 м. Наблюдение атомов и молекул стало возможным с изобретением электронного микроскопа.

Диффузия – процесс выравнивания плотностей (или концентраций) контактирующих или самопроизвольно смешивающихся веществ.

Броуновское движение – непрерывное беспорядочное движение малых, взвешенных в жидкости или газе макроскопических твердых частиц. Это движение не зависит от внешних причин и обусловлено молекулярным движением в веществе.

83

Макроскопическое тело – тело, состоящее из очень большого числа частиц – атомов и молекул.

Измерять массы атомов и молекул удобнее в атомных единицах массы. Атомная единица массы mu численно равна 1/12 массы

атома углерода (точнее, его изотопа 126 С):

отношение массы атома этого элемента к атомной единице массы:

Из определений относительных атомной и молекулярной масс следует, что они безразмерные.

Количество вещества – физическая величина, определяемая числом структурных элементов (атомов или молекул), из которых состоит вещество. Единицей количества вещества является моль, [ ] = моль; 1 моль – количество вещества, в котором содержится число частиц, равное числу атомов в 0,012 кг углерода (изотопа 126 C ). Число частиц в одном моле называется постоянной Авогадро:

84

Отсюда можно установить связь молярной и относительной молекулярной масс (кг/моль):

Агрегатные состояния вещества

От интенсивности теплового движения молекул и интенсивности их взаимодействия зависит агрегатное состояние вещества

(твердое, жидкое, газообразное, плазменное). По мере увеличения интенсивности теплового движения среднее расстояние между молекулами возрастает, а силы притяжения уменьшаются, и тело переходит из твердого состояния в жидкое, из жидкого в газообразное и т.д.

Любая реальная макроскопическая система – очень сложный объект, так как состоит из большого числа взаимодействующих частиц. Закономерности макросистем рассмотрим на самой простой из них – идеальном газе.

Идеальный газ – это модель газа, молекулы которого не взаимодействуют между собой на расстоянии, и их размерами можно пренебречь. Реальные газы по свойствам близки к идеальному при обычных условиях.

Основное уравнение МКТ (уравнение Клаузиуса)

При своем движении молекулы газа ударяются о стенку сосуда, в котором заключен газ, создавая тем самым давление на стенку. Это давление можно найти, исходя из молекулярно-кинетических представлений, предполагая следующее:

а) давление газа не зависит от формы сосуда; б) столкновение молекул идеального газа со стенками сосуда

подчиняется законам абсолютно упругого столкновения; в) если газ находится в равновесии, то все направления движе-

ния молекул равновероятны.

Применив законы механики, с учетом этих предположений можно рассчитать давление газа на стенку сосуда:

где n – концентрация (число молекул в единице объема), n N / V ,

85

vср.кв v2 .

Выражение (2.7) называется основным уравнением молекуляр- но-кинетической теории идеальных газов или уравнением Клаузиуса.

Внеся массу молекулы в уравнении (2.7) под знак осреднения, можно прийти к соотношению

где εк. пост. мол – средняя кинетическая энергия поступательного

движения молекулы.

Умножив уравнение (2.8) на объем V сосуда, в котором находится газ, получим:

где Wк. пост – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул в объеме V.

2.1.2. Уравнение состояния идеального газа. Изопроцессы

Физические величины, характеризующие то или иное состояние вещества, называются параметрами состояния.

Уравнение состояния – уравнение, связывающее между собой параметры состояния. Основными параметрами газообразного состояния являются объем V, давление р, плотность , концентрация n и температура.

Температура – это скалярная физическая величина, характеризующая интенсивность хаотического движения частиц системы. Температура измеряется в градусах соответствующей шкалы (Цельсия t, C; Кельвина T, К) и характеризует степень нагретости тела.

Температура по шкале Кельвина Т называется абсолютной или термодинамической. За начало отсчета абсолютной температуры –

86

абсолютный нуль – принята такая температура, при которой прекращается хаотическое поступательное движение частиц системы. Абсолютная температура связана с температурой по шкале Цельсия соотношением: Т = t + 273,16, деления же шкал одинаковы: 1 К = 1 C.

Опытным путем установлено, что при обычных условиях параметры состояния таких газов, как кислород и азот, при неизменной массе газа хорошо подчиняются уравнению

причем чем разреженней газ, тем точнее выполняется соотношение. Следовательно, соотношение (2.10) является уравнением состояния идеального газа.

Закон Авогадро: при одинаковых давлениях и температуре в равных объемах различных газов содержится одинаковое число

Отсюда следует, что в случае, когда количество газа равно одному молю, константа в (2.10) будет одинаковой для всех газов. Ее обозначают буквой R и называют универсальной газовой постоянной:

Тогда уравнение (2.10) для одного моля можно записать в виде

Учитывая, что молей газа будет занимать пропорционально больший объем V = Vм, можно прийти к уравнению состояния для произвольной массы или количества вещества газа, умножив (2.11)

на количество молей m :

где m – масса газа; µ – молярная масса газа.

87

Уравнение (2.12) называется уравнением Менделеева – Клапей-

рона для произвольной массы газа.

Учитывая, что плотность газа Vm , уравнению состояния можно придать вид

Поделим уравнение (2.12) на объем и выразим количество ве-

щества через число молекул (2.4): p N R T. Отношение констант

NA V

Уравнение (2.14) показывает, что давление идеального газа при заданной температуре определяется только числом молекул в единице объема и не зависит от рода молекул.

Из формулы (2.14) вытекает еще один справедливый для идеального газа закон – закон Дальтона для смеси газов.

Пусть имеется смесь нескольких, не взаимодействующих друг с другом идеальных газов. Допустим, что в единичном объеме смеси содержится n1 молекул первого газа, n2 молекул второго газа и т.д. Тогда общее число молекул в единичном объеме n = n1 + n2 + … Согласно (2.14) давление газа определяется так:

p = n k T = (n1 + n2 + …) k T = n1 k T + n2 k T + … = p1 + p2 + …,

где р1, р2, … – давления, которые оказывали бы газы этой смеси, если бы они заполняли объем по отдельности. Эти давления называются парциальными. В итоге закон Дальтона гласит: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений газов, входящих в смесь:

88

Изопроцессами называются процессы, при которых один из параметров состояния не изменяется.

Графическое изображение изопроцессов в координатах (p, V), (p, T) и (V, T) соответственно представлено на рис. 2.1, а, б, в.

Различают изотермический (Т = const), изобарный (p = const), изохорный (V = const) и другие процессы. Сформулируем законы для изопроцессов в идеальном газе, предполагая, что количество

3. Изохорный процесс. При V = const получаем закон Шарля:

2.1.3. Средняя энергия молекул

Из соотношений (2.7), (2.8) и (2.14) следует:

p 13 n mмолvср2 .кв 23 n к. пост. мол n k T.

89

Отсюда видно, что средняя кинетическая энергия поступательногодвижениямолекулыпропорциональнаабсолютнойтемпературе:

Только поступательно движутся лишь одноатомные молекулы. Двух- и многоатомные молекулы, кроме поступательного, могут совершать также вращательное и колебательное движения. Эти виды движения связаны с некоторым запасом энергии, вычислить который позволяет закон о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы молекулы.

При любом числе степеней свободы (см. подразд. 1.1.1) молекулы три – поступательные, причем ни одна из них не имеет преимущества перед другими. На три поступательные степени свободы

приходится энергия, равная 32 kT, следовательно, на каждую посту-

пательную степень свободы приходится в среднем одинаковая энергия, равная 12 kT.

В соответствии с законом о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы на каждую степень свободы молекулы приходится в среднем одинаковая ки-

нетическая энергия, равная 12 kT.

Если между атомами в молекуле действует квазиупругая сила, то следует учесть, что при колебательном движении среднее значение кинетической энергии равно среднему значению потенциальной, поэтому колебательная степень свободы обладает удвоенной энергетической емкостью.

Таким образом, для средней кинетической энергии молекулы

90