Краткий курс общей физики

A12 / q A12кул / q A12ст / q.

При этом A12кул / q 1 2 (см. формулу (3.17)).

Электродвижущей силой õ12 (ЭДС), дейст-

вующей на участке 1–2 цепи, называется физическая величина, численно равная работе, которую совершают сторонние силы при перемеще-

нии на участке 1–2 единичного положительного Рис. 3.16 заряда (от минуса к плюсу внутри источника тока):

точника тока.

На рис. 3.16 также показано схематичное изображение источника тока; его характеристикой является ЭДС.

Напряжением U12 на участке цепи 1–2 называется физическая величина, численно равная полной работе, которая совершается кулоновскими и сторонними силами при перемещении вдоль участка цепи единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2:

Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы, назы-

вается однородным, иначе – неоднородным.

3.2.2. Закон Ома

Экспериментально установлено, что сила тока на участке цепи пропорциональна напряжению:

Коэффициент пропорциональности 1/R, где R электрическое сопротивление проводника, [R] = Ом.

Выражение (3.66) определяет закон Ома (для произвольного участка цепи).

151

Сопротивление проводника зависит от материала проводника, его геометрической формы, размеров и температуры. Для однородного цилиндрического проводника длиной и площадью поперечного сечения S сопротивление можно представить в виде

= 1/ . На рис. 3.17 показано схематичное изображение электрического сопротивления в цепи.

Следствия:

гдеr – внутреннеесопротивлениеисточникатока. Напряжениевовнешнейцепи(см. рис. 3.18)

Рис. 3.18 U AB õ – Ir. (3.70)

Если полная электрическая цепь содержит несколько последовательно соединенных источников тока, то ЭДС, действующая в цепи, равнаалгебраическойсуммеЭДСотдельныхисточниковтока:

N

õ õi. (3.71)

i 1

3. Закон Ома в дифференциальной (локальной) форме для каж-

дой точки проводника:

3.2.3.Правила Кирхгофа

Воснове расчета разветвленных электрических цепей лежат два правила Кирхгофа, которые позволяют рассчитать токи на участках цепи. Разветвленная цепь – цепь, содержащая узлы. Узлами

152

называются точки, в которых сходятся более чем два проводника. Участок цепи – цепь между двумя узлами. Контур – любая замкнутая цепь в разветвленной цепи. Перед применением правил Кирхгофа на участках цепи произвольным образом указываются направления токов.

Первое правило Кирхгофа (правило узлов): алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

При этом току, текущему к узлу, приписывается один знак, а току, текущему от узла, – другой знак. Уравнение (3.73) можно написать для всех N узлов. Однако независимыми будут только (N – 1) уравнение.

Второе правило Кирхгофа (правило контуров): для произ-

вольного, мысленно выделенного в разветвленной цепи, замкнутого контура алгебраическая сумма произведений токов на участках цепи на их сопротивление равна алгебраической сумме ЭДС источников тока в этом же контуре:

При этом предварительно выбирается положительное направление обхода по контуру (например, по часовой стрелке), токам и ЭДС приписываются знаки в соответствии с выбранным направлением обхода. Если для какого-либо тока будет получено отрицательное значение, это будет означать, что в действительности он течет в противоположном направлении.

Уравнение (3.74) можно составить для всех замкнутых контуров, которые можно выделить в данной цепи. Однако независимыми будут уравнения только для тех контуров, которые нельзя получить наложением на них других контуров.

Число независимых уравнений, составленных по первому и второму правилам Кирхгофа, равно количеству токов, текущих на разных участках цепи. Поэтому если заданы ЭДС и сопротивления, то могут быть вычислены все токи.

3.2.4. Закон Джоуля – Ленца

Проводник при прохождении по нему тока нагревается. Дж. Джоуль и независимо от него Э.Х. Ленц установили эксперимен-

153

тально, что количество выделившейся в проводнике теплоты пропорциональноегосопротивлению, квадратусилытокаивремени:

Q I 2 R t.

Если сила тока изменяется со временем, то

Тепловая мощность P – количество теплоты, выделяющееся в проводнике в единицу времени:

С помощью закона Ома последнее соотношение можно переписать:

P I 2 R I U U 2 .

R

Последнее соотношение верно, если считать, что вся энергия преобразуется в тепло.

Мощность всей цепи (для замкнутой цепи вместо U нужно взять õ):

Примеры решения задач

№ 1. Каковавеличиназаряда, прошедшего через поперечное сечение проводника за время от t1 = 0 с до t2 = 8 с, если сила тока изменяется современемтак, какпоказанонарисунке?

Р е ш е н и е. По определению

154

Геометрический смысл интеграла ‒ площадь фигуры, лежащей под графиком интегрируемой функции, в нашем случае I(t). График функции I(t) и ось t образуют треугольник, площадь которого

q 12 I1t2 . Поскольку I1 = 4 А, t2 = 8 с, то

q12 4 8 16 Кл.

№2. Медная и железная проволоки одинаковой длины включены параллельно в цепь, причем железная проволока имеет вдвое больший диаметр. Сила тока в медной проволоке 60 мА. Какова сила тока в железной проволоке?

Д а н о : dж = 2dм; ρм = 17 нОм·м,

Ома для участка цепи:

Iм Uм ; Iж Uж Uм = IмRм; Uж = IжRж,

Rм Rж

тогда

IмRм = IжRж Iж Iм Rм .

Rж

Находим площади сечения проволок: Sм πd4м2 ; Sж πd4ж2 .

Подставляем их в формулы для сопротивления проволок:

60 10 3 17 10 9 4 41,6 10 3 А. 98 10 9

№ 3. Замкнутая цепь включает в себя элемент, три резистора и амперметр.

155

Напряжение на зажимах элемента в замкнутой цепи U = 2,1 В, сопротивления резисторов R1 = 5 Ом, R2 = 6 Ом и R3 = 3 Ом. КакойтокI показываетамперметр?

Р е ш е н и е. Амперметр будет показывать ток через резистор R3, который включен параллельно резистору R2. Сначала найдем их общее сопротивление:

Теперь цепь можно представить в следующем виде:

Далее найдем общее сопротивление цепи и общий ток:

R = R1 + R2,3 = 2 + 5 = 7 Ом I UR 2,17 0,3 A.

Учитывая, чтоI = I1 = I2,3, получимнапряжениенарезистореR2,3:

U2,3 = I R2,3 = 0,3·2 = 0,6 В.

Для напряжений на R2 и R3 (см. исходную цепь) можем напи-

сать: U2,3 = U2 = U3. Тогда амперметр показывает ток I3 U3

R3

0,63 0,2 A.

№4. Источник тока питает 100 ламп, рассчитанных на напряжение 220 В и соединенных параллельно. Сопротивление каждой лампы 1,2 кОм, сопротивление подводящих проводов 4 Ом, внутреннее сопротивление источника 0,8 Ом. Найдите ЭДС источника.

Да но: Uл = 220 В, R1 = … = R100 = 1,2 кОм, Rп = 4 Ом, r = 0,8 Ом.

Ре ш е н и е. Поскольку лампы имеют

одинаковое сопротивление, находим их общее сопротивление:

Rл 100R1 1200100 12 Ом.

156

Тогдаможнонайти ток, текущийчерезлампы(онже общийток):

I Uл 220 55 А.

Rл 12 3

По закону Ома для полной цепи:

R1 = 2 Ом и R2 = R3 = 4 Ом. Сопротивлениями источников тока пренебречь.

Р е ш е н и е. На втором рисунке показаны произвольно выбранные направления токов и направления обхода контуров (по часовой стрелке).

Для узла А напишем первое правило Кирхгофа:

Решаем данную систему методом подстановки. Для упрощения выкладок подставим в нее значения известных величин:

157

Из второго и третьего уравнений выразим I1 и I3 через I2:

I1 = 3 – 2I2 ; I3 = ‒1 – I2,

и подставим в первое уравнение:

I2 – 3 + 2I2 + 1 + I2 = 0 или 4I2 = 2.

Отсюда находим силы токов:

I2 = 0,5 А; I1 = 3 – 2·0,5 = 2 А; I3 = –1 – 0,5 = –1,5 А.

Знак «‒» у тока I3 говорит о том, что направление этого тока противоположно выбранному изначально.

№ 6. Предохранитель из проволоки площадью сечения 0,1 мм2 и длиной 2 см плавится за 3 мс при напряжении 10 В. Начальная температура предохранителя 27 °С, температура плавления 327 °С. Удельное электросопротивление материала проволоки 0,22 мкОм·м, удельная теплота плавления 2,5·104 Дж/кг, удельная теплоемкость

126Дж/(кг·К). Определите массу проволоки в предохранителе.

Да н о: S = 10‒7 м2, = 2·10‒2 м, t = 3·10‒3 с, U = 10 B, T1 = 27 °С; T2 = 327 °С, ρ = 0,22·10‒6 Ом·м, λ = 2,5·104 Дж/кг, c = 126 Дж/(кг·К).

Р е ш е н и е. При коротком замыкании количество теплоты,

выделившееся на предохранителе, Q U 2 t. Сопротивление предо-

R

хранителя R ρS . Тепло, выделившееся в предохранителе, идет на

его нагрев и плавление:

Q Qн Qп, где Qн cm(T2 T1 ); Qп λm.

В итоге получаем уравнение:

158

3.3.Магнетизм

3.3.1.Основные свойства магнитного поля

Магнитное поле

Экспериментально установлено, что электрические токи взаимодействуют между собой. Это взаимодействие осуществляется через поле, называемое магнитным. Название происходит от того, что, как обнаружил в 1920 г. Х.К. Эрстед, поле, возбуждаемое током, оказывает ориентирующее действие на магнитную стрелку. Вопыте Эрстеда проволока, по которой шел ток, была натянута над магнитной стрелкой, вращающейся на игле. При включении тока стрелка устанавливалась перпендикулярно к проволоке. Изменение направления тока вызывало поворотстрелкивпротивоположнуюсторону.

Из опыта Эрстеда следует, что магнитное поле имеет направленный характер и должно характеризоваться векторной величи-

ной. Эту величину назвали магнитной индукцией B .

Магнитное поле, в отличие от электрического, не оказывает действия на покоящийся заряд. Сила возникает лишь тогда, когда заряд движется. Проводник с током представляет собой электрически нейтральную систему зарядов, в которой заряды одного знака движутся в одну сторону, а заряды другого знака движутся в противоположную сторону (либо покоятся). Отсюда следует, что магнитное поле порождается движущимися зарядами.

Итак, движущиеся заряды (токи) изменяют свойства окружающего их пространства – создают в нем магнитное поле. Это поле проявляетсявтом, чтонадвижущиесявнем заряды(токи) действуютсилы.

Контур с током в магнитном поле

Подобно тому, как для исследования электрического поля мы использовали пробный точечный заряд, для исследования магнитного поля будем использовать пробный ток, циркулирующий в плоском замкнутом контуре очень

малых размеров. Ориентацию контура в пространстве будем характеризовать направлением нормали n к контуру, связанной с направлением тока правилом правого винта (рис. 3.19). Такую нормаль мы будем называть положительной.

159

Причина использования пробного контура с током состоит в том, что поле, возбуждаемое током, оказывает на него такое же ориентирующее действие, как и на магнитную стрелку: положительная нормаль контура разворачивается в ту же сторону, что и северный полюс магнитной стрелки. Примем это направление за

направление поля, т.е. вектора B в данной точке.

Итак, поместив пробный контур в магнитное поле, мы обнаружим, что поле устанавливает контур положительной нормалью вдоль поля. Если контур повернуть так, чтобы направления нормали и поля не совпадали, возникает вращающий момент, стремящийся вернуть контур в равновесное положение (рис. 3.20). Значение момента зависит от угла между нормалью и направлением поля: вращающий момент сил оказывается пропорциональным sin , достигая наибольшего значенияMmax при = /2, апри = 0 моментравеннулю.

тура. Таким образом, действие магнитного поля на плоский контур с током определяется величиной pm I S, которую называют маг-

нитным моментом контура, [pm] = A·м2.

Кроме силы тока I и площади S контур характеризуется также ориентацией в пространстве. Поэтому магнитный момент следует рассматривать как вектор, направление которого совпадает с на-

где n – единичный вектор.

Магнитная индукция

На пробные контуры, отличающиеся значением pm, действуют в данной точке разные по модулю вращающие моменты М. Однако отношение М/pm оказывается при фиксированном одним и тем

160