Краткий курс общей физики

Отсюда вытекают следствия:

n

1) если Fjвнеш = 0, то vC const ;

j 1 n

начальной скорости центра масс vC x0 = 0, то и xC const .

1.2.3. Динамика вращательного движения

Динамические характеристики вращательного движения

где d – плечо силы (расстояние от точки O до линии действия си-

лы), d = r sin . Момент считается положительным, если сила стремится повернуть тело против часовой стрелки, и отрицательным в противоположном случае. Единицей измерения момента силы яв-

ляется ньютон на метр, [M] = Н м.

В случае пространственной системы сил момент силы F от-

носительно точки O есть вектор MO , равный векторному произведению радиуса-вектора r , проведенного из точки O в точку прило-

точки О пересечения оси z и плоскости xy (его можно рассматривать как проекцию вектора MO на ось z) (см. рис. 1.15):

31

екции силы).

Аналогичным образом вводятся моменты импульса матери-

Направление моментов определяется по правилу правого винта (буравчика): поворот по кратчайшему расстоянию от направления

r к направлению F (или p ) вызывает поступательное перемеще-

ние винта в направлении вектора M (или L ).

Момент инерции материальной точки относительно оси z есть скалярная величина Iz, численно равная произведению массы мате-

Пример. Точка массой m = 1 кг движется параллельно оси x со скоростью v = 1 м/с, на нее действует сила F = 2 Н, параллельная оси z (рис. 1.16).

Момент инерции – величина аддитивная, поэтомумоментинерциителаотносительноосиz находитсякаксумма моментовинерцииматериальныхточек, изкоторыхсостоиттело:

Для тел, обладающих элементами симметрии, моменты инерции Iz C относительно оси, проходящей через центр масс, приведе-

32

ны на рис. 1.17; моменты инерции относительно других осей можно найти по теореме Штейнера.

Теорема Штейнера

Момент инерции тела относительно произвольной оси z равен сумме момента инерции относительно параллельной ей оси zC, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

mℓ2

ℓ

Рис. 1.17

Пример. Момент инерции стержня массой m и длиной ℓ относительно оси, проходящей через центр масс, Iz C 121 m 2 .

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку A на конце стержня, можно найти по теореме Штейнера:

Закон изменения момента импульса материальной точки

Производная по времени момента импульса материальной точки относительно точки или оси равна моменту силы относительно этой же точки или оси:

33

Отсюда вытекают следствия (законы сохранения момента импульса материальной точки):

1)если MO = 0, то LO const;

2)если M z = 0, то Lz const.

Закон изменения момента импульса системы относительно точки и оси (уравнения моментов)

импульсов материальных точек, из

носительно оси равен произведению момента инерции тела относительно этой же оси на его угловую скорость:

Производная по времени момента импульса системы относительно точки или оси равна сумме моментов всех внешних сил относительно этой же точки или оси:

Соотношения (1.70) и (1.71) выражают законы сохранения момента импульса системы относительно точки и оси соответственно.

34

Основной закон динамики вращательного движения

Из соотношений (1.69) и (1.67) получим:

Произведение момента инерции тела относительно некоторой оси на его угловое ускорение равно сумме моментов всех внешних сил относительно этой же оси:

Следствие из этого закона (условие равномерного вращения):

Единица измерения работы – джоуль, [A] = Дж.

Геометрический смысл этого интеграла – площадь криволинейной трапеции (рис. 1.21).

35

Примеры:

1. Работа силы тяжести при перемещении тела массой m в поле силы тяжести планеты массой mпл из точки 1 в точку 2:

а) на космических расстояниях (рис. 1.22, а)

36

Потенциальными (консервативными) называются силы, работа которых зависит только от начального и конечного положения перемещающегося в пространстве тела и не зависит от формы траектории. При замкнутой траектории работа потенциальной силы всегда равна нулю. Примерами потенциальных сил являются силы тяжести и упругости.

Силы, работа которых зависит от формы траектории, называются непотенциальными. Примерами непотенциальных сил являются силы трения и сопротивления.

Система тел называется консервативной, если внутренние

ивнешние силы, действующие на тела системы, являются потенциальными, иначе система называется неконсервативной (диссипа-

тивной).

Энергия – единая мера различных форм движения материи

имера перехода движения материи из одних форм в другие.

Для характеристики различных форм движения материи вводятся соответствующие виды энергии, например: механическая, внутренняя, энергия электростатических, внутриядерных взаимодействий и др.

Энергия подчиняется закону сохранения, который является одним из важнейших законов природы.

Механическая энергия W – сумма кинетической Wк и потенциальной Wп:

Кинетическая энергия Wк материальной точки или тела является мерой механического движения, зависящей от скоростей их движения в данной инерциальной системе отсчета,

Кинетическая энергия системы – сумма кинетических энергий тел системы:

Кинетическая энергия вращающегося тела

37

Изменение кинетической энергии системы при переходе ее из одного состояния в другое равно работе всех сил, действующих на систему:

Потенциальной энергией Wп называется часть механической энергии, зависящая от конфигурации системы, т.е. от взаимного расположения ее частей и их положения во внешнем силовом поле.

Потенциальная энергия зависит от относительного расположения взаимодействующих материальных точек и относится ко всей совокупности взаимодействующих объектов. Поэтому ее называют взаимной потенциальной энергией. Говоря о потенциальной энергии одной точки, всегда имеют в виду и другие, с которыми она взаимодействует.

Потенциальная энергия определяется с точностью до константы, поскольку физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а ее изменение при переходе из одного состояния в другое.

Мерой изменения потенциальной энергии системы при ее переходе из одного состояния в другое является работа потенциальных сил, осуществляющих взаимодействие между элементами сис-

темы. При этом работа потенциальных сил равна убыли потенциальной энергии:

Учитывая соотношения (1.82) и (1.82а) для работы потенциальных сил, напишем выражения для потенциальной энергии в поле соответствующих сил:

1. Потенциальная энергия:

а) взаимодействия тел массами m1 и m2, находящихся на расстоянии r друг от друга (см. рис. 1.22, а),

п r

б) тела массой m в поле силы тяжести, находящегося в точке с координатой y вблизи поверхности планеты (см. рис. 1.22, б),

2. Потенциальная энергия упруго сжатой или растянутой пружины (см. рис. 1.11)

38

Работу всех сил можно представить как сумму работ потенциальных сил и сил трения (сопротивления): Aвсехсил Aп.сил Aтр.

С учетом (1.89), (1.90):

Wккон Wкнач Wпнач Wпкон Aтр,

или

(Wккон Wпкон) (Wкнач Wпнач) Aтр.

Приходим к закону изменения механической энергии: изменение механической энергии равно работе сил трения (сопротивления),

Если система консервативна (нет сил трения), то Aтр = 0. Закон сохранения механической энергии: меха-

ническая энергия консервативной системы сохраняется постоянной в процессе движения системы,

Если система неконсервативна, то в ней происходит диссипация (рассеивание) механической энергии, переход ее в другие виды.

В динамике поступательного и вращательного движений существуют следующие аналогии:

39

Примеры решения задач

№ 1. На каком расстоянии от поверхности Земли сила гравитационного притяжения, действующая на тело, в два раза меньше, чем у поверхности Земли? Радиус Земли 6,4 Мм.

Р е ш е н и е. По закону всемирного тяготения F G Mr2m , где M и m – массы Зем-

ли и тела; r – расстояние от центра Земли до тела, r R H; R – радиус Земли; Н –

№ 2. Какую скорость должен иметь искусственный спутник, чтобы обращаться по круговой орбите на высоте 600 км над поверхностью Земли? Радиус Земли 6400 км.

40