Краткий курс общей физики

№ 6. Колесо радиусом 10 см вращается с постоянным угловым ускорением. К концу 5-го оборота после начала движения линейная скорость точек на ободе колеса равна 0,1 м/с. Определите угловое ускорение колеса.

Д а н о: v0 = 0 м/с, v = 0,1 м/с, R = 0,1 м, N = 5 об.

Р е ш е н и е. Из уравнений кинематики вращательного движения 2ε·φ = ω2 – ω02, где ε – угловое ускорение, φ – угол поворота (угловой путь).

№ 7. Точка движется по окружности радиусом R = 2 м согласно уравнению s = 2t3. В какой момент времени нормальное ускорение точки будет равно тангенциальному? Чему будет равно полное ус-

где R – радиус кривизны в данной точке траектории.

Скорость найдем как первую производную от пути: v = s' = 6t2, тангенциальное ускорение – как производную от скорости: аτ = v' =

21

Приравняв эти ускорения, находим время: 12·t = 18·t4, t 3 1218

0,874с. Тогда:

аτ = 12·t = 12·0,874 = 10,5 м/с2; аn = 18·t4 = 18·0,8744 = 10,5 м/с2;

1.2. Динамика

Динамика – раздел механики, в котором изучаются причины изменения механического движения.

1.2.1. Динамика точки (поступательного движения)

Динамические характеристики поступательного движения

Масса m – свойство тел, определяющее их бесконтактное взаимодействие с другими телами и инертность (способность сохранять скорость). Единица массы – килограмм, [m] = кг.

Импульс тела p (количество движения) – произведение массы тела на вектор его скорости:

Сила F – векторная величина, являющаяся мерой механического взаимодействия материальной точки или тела с другими телами или полями. Для твердых тел вектор силы можно переносить вдоль линии действия.

Различные взаимодействия, известные в современной физике, сводятся к четырем типам, а именно:

1)гравитационное взаимодействие, возникающее между всеми телами, обладающими массой;

2)электромагнитное взаимодействие между телами или час-

тицами, обладающими электрическими зарядами;

3)сильное взаимодействие, существующее, например, между частицами, из которых состоят ядра атомов;

4)слабое взаимодействие, характеризующее, например, процессы превращения некоторых элементарных частиц.

Сила, как количественная характеристика, позволяет оценивать лишь гравитационные и электромагнитные взаимодействия. В тех чрезвычайно малых областях пространства и в тех процессах, в ко-

22

торых проявляются сильные и слабые взаимодействия, такие понятия, как точка приложения, линия действия, а вместе с ними и само понятие силы теряют смысл.

Единица силы – ньютон, [F] = Н.

Силы в механике

В задачах механики учитываются гравитационные силы (силы тяготения) и две разновидности электромагнитных сил – силы упругости и силы реакции (нормальной реакции и трения).

Силы тяготения – силы, возникающие между всеми телами в соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона: меж-

ду двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения, прямо пропорциональные массам этих точек и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними (эти силы направлены вдоль прямой, соединяющей данные материаль-

ные точки (рис. 1.10)), т.е.

Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется посредством гравитационного поля (поля тяготения). Это поле на-

ряду с другими полями и веществом является одной из форм материи.

С каждым телом неразрывно связано гравитационное поле, проявляющееся в том, что на помещенную в поле материальную точку действует гравитационная сила, пропорциональная массе этой точки.

Тело, гравитационное поле которого исследуется, называется источником этого поля.

Силовой характеристикой гравитационного поля является на-

пряженность гравитационного поля (ускорение свободного паде-

ния) в данной точке пространства:

23

Закон всемирного тяготения справедлив также для однородных тел сферической формы радиусом R при r R (расстояние r измеряется между центрами сфер (см. рис. 1.10)).

Примеры:

1. Ускорение свободного падения вблизи поверхности планеты Земля:

g0 G mRЗемли2 9,8 м/с2.

Земли

2. Ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью планеты Земля:

Сила, действующая на тело массой m со стороны гравитационного поля в точке с напряженностью g , называется силой тяже-

сти:

Силы упругости – силы, возникающие при упругой деформации тел.

Деформация называется упругой, если после прекращения действиявнешних сил восстанавливаются прежниеразмерыиформа тела.

гости) образца или пружины, Н/м; x – абсолютное удлинение образца (абсолютная деформация), x = x – x0, x0 – длина нерастянутогообразца.

24

Сила реакции опоры R (натяжения нити T ) – сила, дейст-

вующая на тело со стороны опоры (подвеса). При этом силу, с которой тело действует на опору или подвес, называют весом P тела.

Силу реакции опоры R чаще рассматривают как сумму двух сил: силы нормальной реакции опоры N , направленной перпендикулярно поверхности опоры, и силы трения Fтр , направленной

При контакте гладких поверхностей Fтр 0 и R N. Для ше-

роховатых поверхностей в простейшем случае формулируется за-

кон сухого трения: при скольжении модуль силы трения прямо пропорционален модулю силы нормальной реакции опоры:

где – безразмерный коэффициент трения, зависящий от типов соприкасающихся поверхностей.

В состоянии покоя модуль и направление силы трения заранее неиз-

вестны, поэтому их находят из условий равновесия. Рис. 1.12

Первый закон Ньютона (закон инерции)

Для описания движения вводится понятие системы отсчета. Систем отсчета бесчисленное множество. Законы механики в разных системах отсчета имеют различный вид, и может оказаться, что в произвольной системе отсчета законы даже совсем простых явлений будут весьма сложными. Естественно, возникает задача отыскания такой системы отсчета, в которой законы механики были бы возможно более простыми. Такая система отсчета наиболее удобна для описания механических явлений.

Рассмотрим возможные причины ускорения материальной точки относительно некоторой произвольной системы отсчета. Опыт показывает, что этой причиной могут быть как действие на данную точку ка-

25

ких-то определенных тел, так и свойства самой системы отсчета (относительноразныхсистемотсчетаускорениебудетразличным).

Можно предположить, что существует такая система отсчета, в которой ускорение материальной точки целиком обусловлено только взаимодействием ее с другими телами. Такие системы отсчета называются инерциальными. Свободная материальная точка (не подверженная действию никаких других тел) будет двигаться относительно инерциальной системы отсчета прямолинейно и равномерно (или, как говорят, по инерции) или покоиться.

Утверждение, что инерциальные системы отсчета существуют,

составляет содержание первого закона классической механики– закона инерции Ньютона, впервые установленного Галилео Галилеем.

Существование инерциальных систем отсчета подтверждается опытом, т.е. всегда можно найти такую систему отсчета, которую с наперед заданной точностью можно считать инерциальной.

Любая другая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, является также инерциальной. Таким образом, существует не одна, а бесчисленное множество инерциальных систем отсчета, движущихся относительно друг друга прямолинейно и равномерно. Системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальных сис-

тем, называются неинерциальными.

Важной особенностью инерциальных систем отсчета является то, что по отношению к ним время и пространство обладают определенными свойствами симметрии. Опыт убеждает, что в этих системах отсчета время однородно, а пространство однородно и изотропно.

Однородность времени заключается в том, что протекание физических явлений (в одних и тех же условиях) в разное время их наблюдения одинаково. Иначе говоря, различные моменты времени эквивалентны друг другу по своим физическим свойствам.

Однородность пространства заключается в том, что свойства пространства в различных точках одинаковы.

Изотропность пространства заключается в том, что свойства пространства в каждой точке одинаковы во всех направлениях.

26

Принцип относительности Галилея

Все инерциальные системы по своим механическим свойствам эквивалентны друг другу. Это означает, что никакими механическими опытами, проводимыми в данной инерциальной системе, нельзя установить, покоится эта система отсчета или движется.

Во всех инерциальных системах отсчета свойства пространства и времени одинаковы, одинаковы также и все законы механи-

ки. Этот принцип является обобщением опытных данных. Преобразованиями Галилея называют формулы перехода от од-

ной инерциальной системы отсчета к другой. Пусть инерциальная система K движется со скоростью u от-

носительно другой инерциальной системы K . Выберем оси координат x , y , z системы K параллельно соответствующим осям

x, y, z системы K , причем так, чтобы оси x и x совпадали между собой и были направлены вдоль вектора u (рис. 1.13). Взяв за нача-

Продифференцировав (1.42) по времени, найдем классический закон преобразования скорости точки при переходе от одной инер-

где v , v – скорости точки относительно систем отсчета K и K соответственно.

Дифференцируя это выражение по времени с учетом того, что u =const, получаем a a , т.е. ускорение точки одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

27

Второй закон Ньютона (основное уравнение механики)

Понятия силы и массы вводятся безотносительно к движению, но опыт показывает, что всякое тело «оказывает сопротивление» (инертно) при любых попытках изменить его скорость как по модулю, так и по направлению.

Многочисленные эксперименты говорят о том, что произведе-

ние массы точки на вектор ее ускорения равно силе, действующей на точку:

С учетом (1.35) это же соотношение можно записать через импульс:

Иначе, производная по времени импульса точки равна силе, действующей на точку, или изменение импульса точки равно импульсу силы.

Последнее утверждение в точной формулировке изложено И. Ньютоном в 1687 году.

Соотношения (1.46) – (1.48) представляют собой различную математическую запись второго закона Ньютона.

Для решения задач полезно записать соотношение (1.46) в проекциях на координатные оси:

1) вдекартовойортогональнойсистемекоординат(см. рис. 1.2):

28

Третий закон Ньютона

Два тела действуют друг на друга с силами, равными по величине ипротивоположными понаправлению(см., например, рис. 1.10):

Действию всегда соответствует равное и противоположное противодействие; другими словами: действия двух тел друг на друга всегда равны и направлены в противоположные стороны.

Пример. Вес тела P и сила реакции опоры R в соответствии с этим законом связаны следующим образом: P R , P R .

1.2.2. Динамика системы

Механическая система – совокупность материальных точек или тел, движение которыхсвязаномеждусобойнекоторымобразом.

Масса механической системы – сумма масс материальных то-

чек, из которых она состоит:

n

m m1 m2 ... mn mi .

i 1

Центр масс механической системы rC – точка, однозначно свя-

занная с системой, положение которой определяется следующим образом:

Координаты центра масс определяются по формулам:

Импульс системы – сумма импульсов материальных точек, из которых она состоит:

i 1

Импульс системыможновыразитьчерезскоростьцентрамасс:

29

Внешние силы F внеш – силы, которые действуют на данную механическую систему со стороны других систем.

Внутренние силы F внутр – силы, которые действуют между материальными точками данной механической системы.

Свойство внутренних сил для абсолютно твердого тела следует из третьего закона Ньютона:

n

Fj внутр 0 . j 1

Поэтому сумма всех сил, действующих на тела данной механи-

ческой системы, равна сумме только внешних сил:

F F внеш F внутр F внеш .

Закон изменения импульса системы

Производная по времени от импульса системы равна сумме всех внешних сил:

j 1

n

2) если Fx jвнеш = 0, то px const .

j 1

Эти два следствия выражают законы сохранения импульса и проекции импульса.

Система называется замкнутой, если на нее не действуют внешние силы. По закону сохранения импульса импульс замкнутой системы неизменен.

Уравнение движения центра масс системы

Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно сумме всех внешних сил:

j 1

30