Краткий курс общей физики

пряжения UC на конденсаторе можно найти

аналогично резонансной частоте (1.142) для смещения при механических колебаниях, исследовав функцию (3.168) на максимум:

нансные кривые дляq имеют точно такой же вид). Резонансные кривые для силы тока изображены на рис. 3.43, б. Амплитуда силы тока

Рис. 3.43

Разности потенциалов на индуктивности и емкости имеют при резонансе тока одинаковые амплитуды и противоположные фазы, так что их сумма обращается в нуль, а напряжение на активном сопротивлении оказывается равным ЭДС источника энергии.

201

На описанном явлении основаны все радиоприемные устройства, неотъемлемой частью которых является колебательный контур с изменяемой резонансной частотой.

3.4.4. Мощность в цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности, выделяемой в цепи, равно произведению мгновенных значений напряжения (3.163) и силы то-

ка (3.170):

P(t) U (t)I (t) U0 cos t I0 cos( t ),

где определяется соотношением (3.169):

tg L 1/ ( C) X ,

R R

откуда можно получить

Воспользовавшись формулой

cos cos 12 cos( ) 12 cos( ),

выражению для мгновенной мощности можно придать вид:

P(t) 12U0 I0 cos 12U0 I0 cos(2 t ).

Практический интерес представляет среднее по времени значение P(t), которое мы просто обозначим P. Поскольку среднее значение cos(2 t – ) равно нулю, то

Если ток в цепи не совершает механической работы, средняя мощность выделяется в активном сопротивлении в виде тепла.

Подставив значение cos из (3.181) в (3.182) с учетом (3.172), получим:

202

Такую же мощность развивает постоянный ток, сила которого

Величина Iэф называется действующим (эффективным) значением силы тока. Аналогично величина

называется действующим (эффективным) значением напряжения. Действующим (эффективным) значением переменного тока называется такое значение постоянного тока, при котором на активном сопротивлении выделяется за период такое же количество теплоты, как и при переменном токе. Аналогично определяется

и действующее (эффективное) значение напряжения.

Например, стандартное напряжение в сети 220 В – это эффективное напряжение. По формуле (3.185) легко рассчитать, что амплитудное значение напряжения в этом случае будет равно 311 В.

С использованием действующих значений формуле (3.182) для средней мощности можно придать вид

В выражение для мощности входит множитель cos , определяемый по формуле (3.181), который называют коэффициентом мощности. В технике стремятся сделать cos как можно больше. При малом cos для выделения в цепи необходимой мощности нужно пропускать ток большей силы. При этом возрастают потери в подводящих проводах, и приходится увеличивать их сечение.

На практике устанавливается предельно допустимое значение cos для предприятия, при достижении которого возможно отключение его от внешней сети (например, при cos ~ 0,85). Для повышения cos необходимо, как видно из векторной диаграммы (см. рис. 3.42), уравнять амплитудные значения напряжения на емкости и индуктивности электрической цепи. Это может потребовать значительных капитальных вложений на переоборудование станочного парка на предприятии, изменение технологии. Быстро повысить cos можно, увеличивая (см. (3.181)) активное сопротивление, подключая нагревательные элементы и осветительное оборудова-

203

ние. Вот почему иногда можно наблюдать картину включения освещения на территории предприятий в дневное время в условиях достаточной видимости.

3.4.5. Электромагнитные волны

Мы знаем, что переменные электрическое и магнитное поля взаимно порождают друг друга: переменное магнитное поле порождает электрическое (см. уравнение (3.142)), переменное электрическое поле порождает магнитное (см. уравнение (3.143)). Таким образом, если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электромагнитное поле, то в окружающем заряды пространстве возникает последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс периодический во времени и в пространстве и, следовательно, представляет собой волну.

Из уравнений Максвелла можно получить для векторов напря-

женностей электрического E и магнитного H полей так называемые волновые уравнения (связанные друг с другом), которые в одномерном случае имеют вид:

Всякая функция, удовлетворяющая волновому уравнению, представляет собой волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при производной по времени, дает фазовую скорость этой волны:

кууме.

Поэтому Максвелл еще задолго до экспериментального подтверждения существования электромагнитных волн высказал гипотезу, что свет – это электромагнитные волны. Впервые экспериментально доказал существование электромагнитных волн Г. Герц в 1888 г., спустя 9 лет после смерти Максвелла.

204

Простейшими решениями уравнений (3.187) являются функции

(уравнения плоской волны):

k / v 2 / , – длина волны. Шкала электромагнитных волн, где представлено (в упрощенном виде) условное разбиение по дли-

нам волн на диапазоны радиоволн, световых волн, рентгеновского

и гамма-излучения, имеет следующий вид:

сти, перпендикулярной направлению распространения волны. Кроме того, векторы E и H поля волны взаимно перпендикулярны, так что вектор скорости волны v и векторы E и H образуют пра-

вую тройку. В фиксированной точке пространства векторы E и H изменяются со временем по гармоническому закону. Они одновременно увеличиваются от нуля, затем через 1/4 периода достигают

наибольшего значения, причем если E направлен вверх, то H направлен вправо (смотрим вдоль направления распространения волны). Еще через 1/4 периода оба вектора одновременно обращаются в нуль. Затем опять достигают наибольшего значения, но на этот

раз вектор E направлен вниз, а H – влево. И, наконец, по завершении периода колебания векторы снова обращаются в нуль. Такие

205

изменения векторов E и H происходят во всех точках пространства, но со сдвигом по фазе, определяемым расстоянием между точками, отсчитанными вдоль оси x.

Распространение всякой волны связано с переносом энергии. Электромагнитные волны также переносят энергию. Плотность потока энергии можно получить, умножив плотность энергии w на скорость v (см. формулу (1.164)). В случае электромагнитных волн

вектор плотности потока энергии принято обозначать буквой S . Следовательно, модуль вектора S

Плотность энергии электромагнитного поля слагается из плотностей энергии электрического (3.58) и магнитного (3.136) полей:

В вакууме и в непроводящей среде векторы E и H изменяются в каждой точке пространства в одинаковой фазе. Поэтому соотношение (3.190) между амплитудами напряженностей электрического и магнитного полей справедливо и для их мгновенных значений.

Отсюда следует, что плотность энергии электрического и маг-

тем, что E 0 H 0 , выражению для плотности энергии электромагнитной волны можно придать следующий вид:

w 0 0 EH EvH ,

а выражению для плотности потока энергии – такой вид:

206

Следовательно, вектор плотности потока электромагнитной энергии можно представить как векторное произведение E и H :

вектора Пойнтинга в каждой точке изменяется по закону квадрата косинуса. Среднее значение квадрата косинуса за период равно 1/2. Поэтому среднее значение плотности потока энергии – интенсив-

ности волны

Поглощаясь в каком-либо теле, электромагнитная волна сообщает этому телу некоторый импульс, т. е. оказывает на него давление. Соответствующий расчет показывает, что в случае идеально поглощающей поверхности давление электромагнитной волны равно ее объемной плотности энергии: p = w. Эта величина пульсирует с очень большой частотой. Поэтому практически может быть изме-

Для идеально отражающей поверхности давление будет в два раза больше.

Световое давление было измерено П.Н. Лебедевым. Результаты измерений оказались в полном согласии с теорией Максвелла.

Примеры решения задач

№ 1. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и двух одинаковых конденсаторов, включенных параллельно. Период собственных колебаний контура Т1 = 20 мкс. Чему будет равен период колебанийТ2, есликонденсаторывключитьпоследовательно?

Р е ш е н и е. Период колебаний в колебательном контуре T 2π LC , где С – общая емкость батареи конденсаторов.

В первом случае:

С = С1 + С2 = 2С1

T1 2π L 2C1 2 2π LC1 .

207

Т2 12 Т1 10 мкс.

№2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 0,1 Гн и конденсатора емкостью 40 мкФ. Максимальный заряд конденсатора 3 мкКл. Пренебрегая сопротивлением контура, запишите закон изменения силы тока в зависимости от времени.

Д а н о: L = 0,1 Гн, С = 40 мкФ, qm = 3 мкКл.

Р е ш е н и е. Предположим, что конденсатор имеет максимальный заряд в начальный момент времени. В этом случае закон изменения заряда удобно записать в виде

Закон изменения тока:

I ddqt qmωsin ωt.

Найдем амплитуду тока:

Im = qmω = 3·10‒6·500 = 1,5·10‒3 А.

Подставим ее в закон изменения тока и в результате получим

(мА): I = ‒1,5·sin500t.

№ 3. Разность потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре изменяется по закону U = 50·cos(104π·t). Емкость конденсатора С = 0,9 мкФ. Найдите индуктивность контура, а также длину волны, соответствующую этому контуру.

208

Длина волны, излучаемой контуром, λ сν 2ωπс , где с – ско-

рость электромагнитной волны (скорость света) в вакууме, с = = 3·108 м/с. Тогда

λ 2π 34 108 6 104 м 60км. 10 π

№ 4. Электромагнитная волна частотой = 3 МГц переходит из вакуума в диэлектрик с проницаемостью = 4. Насколько изменится длина волны?

Р е ш е н и е. При переходе из вакуума в диэлектрик меняется скорость электромагнитной волны:

v cε ,

где v – скорость волны в диэлектрике; с – скорость волны в вакуу-

ме, с = 3·108 м/с.

Длина волны в вакууме λ0 cν, длина волны в диэлектрике

λ vν νc ε . Отсюда изменение длины волны

№ 5. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна. Поверхность площадью 50 см2 перпендикулярна скорости волны. За 2 с через поверхность переносится энергия 10 мкДж.

Найдите интенсивность волны.

Д а н о: S = 5·10‒3; t = 2 с; W = 10‒5 Дж.

Р е ш е н и е. Интенсивностью волны называется среднее значение энергии, переносимой волной за единицу времени через единицу поверхности (см. подразд. 1.3.6). Поэтому интенсивность электромагнитной волны

209

4. ОПТИКА

Оптика – раздел физики, изучающий свойства и физическую природу света, а также его взаимодействие с веществом.

Свет представляет собой сложное явление: в одних случаях он ведет себя как волна, в других – как поток особых частиц (фото-

нов). Такое свойство называется корпускулярно-волновым дуализмом.

Волновая оптика – раздел оптики, в котором свет рассматривается как электромагнитная волна, занимающая диапазон шкалы электромагнитных волн от 1 до 105 нм, включающих ультрафиолетовую (1–400 нм), видимую (400–750 нм) и инфракрасную (750– 105 нм) области спектра. В волновой оптике изучаются явления интерференции, дифракции и поляризации.

Квантовая оптика – раздел оптики, в котором свет рассматривается как поток фотонов.

Однако многие оптические явления, в частности действие оптических приборов, можно рассматривать исходя из представления о световых лучах (геометрическая, или лучевая, оптика).

4.1. Элементы геометрической оптики

Геометрическая оптика – раздел оптики, в котором изучаются законы распространения света на основе представлений о световых лучах. Под световым лучом понимают линию, вдоль которой распространяется поток световой энергии.

4.1.1.Основные законы геометрической оптики

Врамках геометрической оптики могут быть поняты простейшие оптические явления, например возникновение теней и получение изображений в оптических приборах. В ее основе лежат четыре закона, установленные опытным путем: 1) закон прямолинейного распространения света; 2) закон независимости световых пучков;

3)закон отражения и 4) закон преломления света.

Согласно закону прямолинейного распростране-

ния света, свет в прозрачной однородной среде распространяет-

ся по прямым линиям. Опытным доказательством этого закона могут служить резкие тени, отбрасываемые непрозрачными телами, осве-

210