Краткий курс общей физики

Однако принцип Гюйгенса не дает никаких указаний об амплитуде, а следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях. Этот недостаток был устранен Френелем, который дополнил принцип Гюйгенса: вторичные ис-

точники (излучающие преимущественно по нормали к фронту волны) когерентны между собой, а новое положение фронта волны – результат интерференции волн от вторичных источников. Иначе говоря, любая волна – результат суперпозиции когерентных вторичных волн, излучаемых фиктивными (вторичными) источниками.

Уточнение Френелем принципа Гюйгенса «стирает» различие между явлениями интерференции и дифракции. Под интерференцией следует понимать суперпозицию когерентных волн от конечного числа источников, а под дифракцией – от бесконечного (распределенных равномерно по фронту волны или волновой поверхности).

Различают два вида дифракции. Если источник света и точка наблюдения P расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку P, образуют практически параллельные пучки,

говорят о дифракции Фраунгофера или о дифракции в параллельных лучах. В противном слу-

чае говорят о дифракции Френеля. Дифракцию Фраунгофера можно наблюдать, поместив за источником света S и перед точкой наблюдения P по линзе так, чтобы точки S и P оказались в фокальной плоскости соответствующей линзы (рис. 4.17).

Зоны Френеля

Метод Френеля объясняет прямолинейность распространения света в свободной от препятствий однородной среде. Чтобы показать это, рассмотрим действие сферической световой волны от точечного источника S в произвольной точке пространства Р (рис. 4.18). Волновая поверхность симметрична относительно прямой SP.

Френель предложил оригинальный метод разбиения волновой поверхности.

231

Рис. 4.18

Поверхность разбивается на кольцевые зоны, построенные так, что расстояния от краев соседних зон до точки P отличаются на /2 ( длина световой волны в той среде, в которой распространяется волна). Колебания, приходящие в точку Р от аналогичных точек двух соседних зон, противоположны по фазе, так как разность хода от этих зон до точки Р равна /2. При наложении эти колебания взаимно ослабляют друг друга. Результирующая амплитуда в точке Р выразится суммой:

Величина амплитуды Аk зависит от площади k-й зоны и угла между внешней нормалью к поверхности зоны и прямой, направленной из этой точки в точку Р.

Можно показать, что площади всех зон Френеля равновелики и, следовательно, мощности излучения вторичных источников одинаковы. Но с увеличением k возрастает угол между нормалью к поверхности и направлением в точку Р, что приводит к уменьшению интенсивности излучения k-й зоны в данном направлении, т.е. к уменьшению амплитуды Аk по сравнению с амплитудами предыдущих зон. Амплитуда Аk уменьшается также вследствие увеличения расстояния от зоны до точки Р с ростом номера зоны. В итоге

232

обнаруживаем, что согласно (4.35) выражения в скобках равны нулю и уравнение (4.33) приводится к виду

Полученный результат означает, что колебания, вызываемые в точке Р полностью открытой сферической волновой поверхностью, имеют такую же амплитуду, как если бы действовала только половина центральной зоны Френеля. Следовательно, свет от источника S в точку Р распространяется в пределах очень узкого прямого канала, т.е. прямолинейно.

Если на пути волны поставить непрозрачный экран с отверстием, оставляющим открытой только центральную зону Френеля, амплитуда в точке P будет равна A1, т.е. в два раза превзойдет амплитуду (4.37). Соответственно интенсивность в точке P будет в этом случае в четыре раза больше, чем при отсутствии преград между точками S и P.

Пусть волна от источника S встречает на пути непрозрачный экран с круглым отверстием (рис. 4.19, а). Результат дифракции наблюдается на экране, параллельном плоскости отверстия. Дифракционный эффект в точке Р экрана, расположенной против центра отверстия, зависит от того, сколько зон Френеля укладывается на открытой части волнового фронта. Если в отверстии укладывается ровно k зон Френеля, то амплитуда

Рис. 4.19

Если число зон k невелико, то амплитуды колебаний в точке Р от двух соседних зон мало отличаются по величине, а результат опреде-

233

ляется четностью или нечетностью числа k. Если число открытых зон четно, то колебания от соседних зон погашают друг друга ив точке Р наблюдается минимум интенсивности; если же число зон нечетно, то одна зона оказывается нескомпенсированной ивточке Р наблюдается максимум интенсивности (как от одной зоны). Распределение интенсивности света на экране в случае нечетного числа зон приведено на рис. 4.19, б; вслучаечетного– нарис. 4.19, в.

При увеличении числа зон k амплитуда Аk стремится к нулю (Аk << А1). Никакой интерференционной картины на экране не будет – свет в этом случае практически распространяется так же, как и при отсутствии экрана с отверстием, т.е. прямолинейно. Отсюда следует вывод о том, что следствия волновых представлений и представлений о прямолинейном распространении света начинают совпадать тогда, когда число открытых зон велико.

При размещении между источником S и экраном круглого непрозрачного диска закрывается одна или несколько первых зон Френеля. Если диск закроет k зон Френеля, то в точке Р амплитуда суммарной волны

Таким образом, в случае круглого непрозрачного диска в центре картины (точка Р) при любом (как четном, так и нечетном) k получается светлое пятно.

Если диск закрывает лишь часть первой зоны Френеля, тень на экране отсутствует, освещенность во всех точках такая же, как и при отсутствии преграды. Интенсивность центрального максимума ослабевает при увеличении размеров диска (Ak+1 << A1 ). Если диск закрывает много зон Френеля, интенсивность света в области геометрической тени практически всюду равна нулю и лишь вблизи границ наблюдается слабая интерференционная картина. В этом случае можно пренебречь явлением дифракции и пользоваться законом прямолинейного распространения света.

Дифракция Фраунгофера на щели

Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально на щель ширинойb. Рассмотримлучи, идущиеотвторичныхисточников

234

на открытой части волновой поверхностиподуглом (рис. 4.20).

Если разность хода от краев щели равна k , открытую часть волновой поверхности можно разбить на 2k равных по ширине зон (зон Френеля), причем разность хода от краев каж-

нечетное, действие одной из них окажется нескомпенсированным, так чтобудетнаблюдатьсямаксимуминтенсивности.

С учетом выражения для разности хода от краев щели (см. рис. 4.20) = b sin условия максимумов и минимумов при дифракции на щели можно записать следующим образом:

– условия максимума:

Всерединесимметричнойдифракционной картины, состоящейиз чередующихся светлых и темных полос, всегда образуется максимум освещенности(при = 0 щельдействуеткакодназона Френеля).

Рис. 4.22

235

Интенсивность J света на экране зависит от угла дифракции (рис. 4.22), при этом интенсивность второго максимума составляет около 4 % от интенсивности центрального.

Дифракционная решетка

Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние щелей (рис. 4.23). Расстояние d между серединами соседних щелей называется постоянной или периодом решетки.

На дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных пучков света, идущих от всех щелей (см.

рис. 4.23, а).

Если каждая щель в одном направлении не распространяет свет, то он не будет распространяться и при большем количестве щелей, т.е. условие минимума (4.40) для щели справедливо и для решетки.

Разности хода лучей от двух соседних щелей одинаковы в пределах всей дифракционной решетки (см. рис. 4.23, б): = d sin .

Следовательно, разность фаз 2 2 d sin , где – длина

волны в данной среде.

Для тех направлений, для которых = 2 m, т.е. при условии,

что

колебания от отдельных щелей взаимно усиливают друг друга. Та-

236

ким образом, условие (4.41) определяет положения максимумов интенсивности, называемых главными. Число m показывает так называемый порядок главного максимума. Максимум нулевого порядка только один, максимумов остальных порядков – по два.

Кроме минимумов, определяемых условием (4.40), в промежутках между соседними главными максимумами имеется по (N – 1)-му добавочному минимуму (N – число щелей). Эти минимумы возникают в тех направлениях, для которых колебания от отдельных щелей взаимно погашают друг друга. Направления добавочных минимумов определяютсяусловием

d sin k (k = 1, 2, …, N – 1, N + 1, …, 2N – 1, 2N + 1, …). (4.42)

N

Здесь k принимает все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, …, т.е. кроме тех, при которых условие (4.42) переходит в условие (4.41). Между дополнительными минимумами располагаются слабые вторичные максимумы.

Характеристики спектрального прибора

Из формулы (4.41) следует, что направления на главные максимумы зависят от длины световой волны (за исключением максимума нулевого порядка при m = 0). Поэтому решетка в каждом порядке (m 0) разлагает падающий на нее свет в спектр, т. е. является спектральным прибором. Наибольшее отклонение в каждом порядке испытывает красная часть спектра (более длинноволновая).

Основными характеристиками любого спектрального прибора являются угловая дисперсия и разрешающая способность.

Угловая дисперсия Dугл характеризует степень пространственного (углового) разделения волн с различными и определяет угловое расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, на 1 нм). По определению

237

Видно, что для заданного порядка m спектра угловая дисперсия тем больше, чем меньше период d решетки. Кроме того, Dугл растет

на результирующая интенсивность (сплошные кривые), наблюдающаяся при наложении двух близких максимумов (пунктирные кривые). В случае на рис. 4.24, а оба максимума воспринимаются как один. В случае на рис. 4.24, б между максимумами лежит минимум. Согласно критерию, предложенному Рэлеем, спектральные линии разных длин волн, но одинаковой интенсивности считаются полностью разрешенными, если середина одного максимума (для длины волны ) совпадает с краем другого – с минимумом для длины волны ( + (см. рис. 4.24, б). Вэтом случае между двумя максимумами

возникает провал, составляющий около 20 % от интенсивности в максимумах, и линии еще воспринимаются раздельно. Такое взаимное расположение максимумов получается при определенном (для данногоприбора) значении

Разрешающей способностью Rпр спектрального прибора назы-

где – наименьшая разность длин волн двух спектральных линий в окрестности , при которой эти линии воспринимаются еще в спектре раздельно, т.е. разрешаются.

Итак, согласно критерию Рэлея необходимо, чтобы максимум m-го порядка линии с длиной волны ( + (см. рис. 4.24, б) сов-

падал по направлению с первым добавочным минимумом линии

238

откуда следует, что

Итак, разрешающая способность дифракционной решетки пропорциональна порядку спектра m и числу щелей N.

вектора происходят только в одной плоскости, свет называют плоскоили линейно-поляризованным. Плоскость, проходящая через световой вектор и луч, называется плоскостью поляризации линейнополяризованнойволны.

Плоскополяризованный свет можно получить из естественного с помощью приборов, называемых

поляризаторами. Эти приборы сво-

бодно пропускают колебания, параллельные плоскости, называемой

плоскостью поляризатора, и пол-

ностью задерживают колебания, перпендикулярные к этой плоскости. Колебание с амплитудой A, со-

вершающееся в плоскости, образующей угол с плоскостью поля-

кости рисунка). Первое колебание проходит через прибор, второе – задерживается. Интенсивность прошедшей волны пропорциональна

A||2 A2 cos2 , т.е. равна J cos2 , где J – интенсивность колебания

с амплитудой А. Следовательно, колебание, параллельное плоскости поляризатора, несет с собой долю интенсивности, равную cos2 .

239

В естественном свете все значения равновероятны. Поэтому доля света, прошедшего через поляризатор, равна среднему значению cos2 , т.е. 1/2. При вращении поляризатора вокруг направления естественного луча интенсивность прошедшего света остается одной и той же, изменяется лишь плоскость поляризации света, выходящего из прибора.

Пусть на поляризатор падает плоскополяризованный свет амплитудой А0 и интенсивностью J0 (рис. 4.27). Сквозь прибор пройдет составляющая колебаний с амплитудой А0 cos , где – угол между плоскостью колебаний падающего

Рис. 4.27 света и плоскостью поляризатора. Следовательно, интенсивность прошедшего света определяется выражением

Соотношение (4.47) называется законом Малюса. Поставим на пути естественного луча два поляризатора, плос-

кости которых образуют угол . Из первого поляризатора выходит плоскополяризованный свет, интенсивность которого J0 составляет половину интенсивности естественного света Jест. Согласно закону Малюса из второго поляризатора выходит свет интенсивностью J0 cos2 . Таким образом, интенсивность света, прошедшего через два поляризатора,

J = 12 Jест cos2 .

Максимальная интенсивность, равная 12 Jест, получается при

= 0 (поляризаторы параллельны). При = /2 интенсивность равна нулю – скрещенные поляризаторы света не пропускают.

Свет, в котором колебания одного направления преобладают над колебаниями других направлений, называется частично поляризованным. Такой свет можно рассматривать как смесь естественного и плоскополяризованного. Если пропустить частично поляризованный свет через поляризатор, то при вращении прибора вокруг направления луча интенсивность прошедшего света изменяется

240