Краткий курс общей физики

в пределах от Jmax до Jmin, причем переход от одного из этих значений к другому совершается при повороте на угол = /2 (за один полный поворот достигается два раза максимальное и два раза минимальное значения интенсивности). Частично поляризованный свет характеризуется степенью поляризации P:

раженном луче преобладают колебания, перпендикулярные к плоскости падения (на рис. 4.28 эти колебания обозначены точками), в преломленном луче – колебания, параллельные плоскости падения (на рисунке они изображены двусторонними стрелками).

Степень поляризации зависит от угла падения. При угле паде-

где n21 – показатель преломления второй среды относительно первой, отраженный луч полностью поляризован, т.е. он содержит только колебания, перпендикулярные к плоскости падения (см. рис. 4.28, б). Степень поляризации преломленного луча при угле падения, равном Бр, достигает наибольшего значения, однако этот луч остается поляризованным только частично.

Соотношение (4.49) называется законом Брюстера. Угол Бр называется углом Брюстера. Можно показать, что при падении све-

241

та под углом Брюстера отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны.

Поляризация света при двойном лучепреломлении

При прохождении света через все прозрачные кристаллы, за исключением принадлежащих к кубической системе, наблюдается явление, заключающееся в том, что падающий на кристалл луч разделяется на два луча, распространяющиеся, вообще говоря, с разными скоростями и в различных направлениях. Это явление, получившее название двойного лучепреломления, впервые наблюдалось в 1669 г. Э. Бартолином для исландского шпата.

Кристаллы, обладающие двойным лучепреломлением, подразделяются на одноосные и двуосные. У одноосных кристаллов один из преломленных лучей подчиняется закону преломления, в частности он лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью к

Рис. 4.29 преломляющей поверхности. Этот луч называется обыкновенным и обознача-

ется буквой о. Для другого луча, называемого необыкновенным (его обозначают буквой е), отношение синусов угла падения и угла преломления не остается постоянным при изменении угла падения. Даже при нормальном падении света на кристалл необыкновенный луч отклоняется от нормали (рис. 4.29). Кроме того, необыкновенный луч не лежит, как правило, в одной плоскости с падающим лучом и нормалью к преломляющей поверхности. Примерами одноосных кристаллов являются исландский шпат, кварц и турмалин (минерал сложного состава). У двуосных кристаллов (слюда, гипс) оба луча необыкновенные – показатели преломления у них зависят от направления в кристалле. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только одноосных кристаллов.

У одноосных кристаллов имеется направление, вдоль которого обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются с одинаковой скоростью, не разделяясь. Это направление называется оптической осью кристалла. Следует иметь в виду, что оптическая ось – это не прямая линия, проходящая через какую-то точку кристалла, а определенное направление в кристалле. Любая прямая, параллельная данному направлению, является оптической осью кристалла.

242

Любая плоскость, проходящая через оптическую ось, называ-

ется главным сечением или главной плоскостью кристалла. Обычно главное сечение выбирают проходящим через световой луч.

Исследование обыкновенного и необыкновенного лучей показывает, что оба луча полностью поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях (см. рис. 4.29). Плоскость колебаний обыкновенного луча перпендикулярна к главному сечению кристалла. В необыкновенном луче колебания светового вектора совершаются в плоскости, совпадающей с главным сечением. По выходе из кристалла оба луча отличаются друг от друга только направлением поляризации, так что названия лучей «обыкновенный»

и«необыкновенный» имеют смысл только внутри кристалла.

Внекоторых кристаллах один из лучей поглощается сильнее другого. Это явление называется дихроизмом. Очень сильным дихроизмом в видимых лучах обладает кристалл турмалина. В нем обыкновенный луч практически полностью поглощается на длине 1 мм. В кристаллах сульфата йодистого хинина один из лучей поглощается на пути примерно в 0,1 мм. Это обстоятельство использовано для изготовления поляризационного устройства, называемого поляроидом. Оно представляет собой целлулоидную пленку, в которую введено большое количество одинаково ориентированных кристалликов сульфата йодистого хинина.

На явлении двойного лучепреломления основано действие поляризационного устройства, называемого

призмой Николя (или просто нико-

лем). Онопредставляетсобойпризму из исландского шпата (рис. 4.30), Рис. 4.30

разрезанную по диагонали и склеенную канадским бальзамом. Показатель преломления n канадского бальзама лежит между показателями преломления обыкновенного и необыкновенного лучей в исландском шпате (no > n > ne). Угол падения подбирается таким, чтобы обыкновенный луч претерпевал на прослойке бальзама полное внутреннее отражение и отклонялся в сторону, необыкновенный же луч свободно проходилчерезэтупрослойку ивыходил изпризмы.

Некоторые вещества обладают способностью вращать плоскость поляризации проходящего через них плоскополяризованного света. Такие вещества называются оптически активными. К числу таких веществ принадлежат кристаллы (кварц, киноварь), чистые

243

жидкости (скипидар, никотин) и растворы (водные растворы сахара и винной кислоты).

Для кристаллов и чистых жидкостей угол поворота φ = , где

α – постоянная вращения, град/м; – длина пройденного в кристалле пути, м.

Для растворов φ = c , где с – объемно-массовая концентра-

ция оптически активного вещества в растворе, кг/м3; φ0 – удельная постоянная вращения, град·м2/кг.

Примеры решения задач

№ 1. Мыльная пленка, расположенная вертикально, образует клин вследствие стекания жидкости. Наблюдая интерференционные полосы в отраженном свете (λ = 546,1 нм), находим, что расстояние между пятью полосами равно 2 см. Най-

дите угол клина. Свет падает перпендикулярно поверхности пленки. Показатель преломления мыльной воды 1,33.

Да н о: λ= 546,1 нм; = 2·10‒2 м; n =

=1,33.

Ре ш е н и е. На рисунке показан ход

интерферирующих лучей 1 и 2 для m-й и (m +5)-й интерференционных полос. В силу малости угла клина θ явлениями преломления пренебрегаем.

Условия максимума интерферирующих лучей 1 и 2 для m-й и (m+5)-й полос определяются выражениями:

2ndm λ2 mλ, 2ndm 5 λ2 (m 5)λ,

где dm и dm+5 ‒ толщины пленки в местах m-й и (m +5)-й полос; m – целое число.

Определяем толщины пленки и разность между ними:

244

№ 2. Определите расстояние между мнимыми источниками в опытах с зеркалами Френеля, если расстояние между темными полосами на экране равно 3 мм, а расстояние от мнимых источников

до экрана 2 м. Длина световой волны λ = 0,6 мкм.

Д а н о: х = 3·10‒3 м; = 2 м; λ = 0,6·10‒6 м.

Р е ш е н и е. Схема опыта с зеркалами Френеля представлена на рисунке. Здесь S1 и S2 – мнимые источники, которые получаются путем отражения света от реального источника S в зеркалах. Ширина интерференционной полосы, т.е. расстояние между двумя соседни-

ми минимумами, определяется формулой

(4.26):

x dλ.

Отсюда d λ 2 0,6 10 6 0,4 10 3 м 400 мкм.

x 3 10 3

№ 3. Кольца Ньютона образуются между плоским стеклом и линзой с радиусом кривизны 8,6 м. Монохроматический свет падает нормально. Диаметр 4-го темного кольца равен 9 мм.

Найдите длину волны света.

Дано: R = 8,6 м; dm = 9·10‒3 м; m = 4.

Р е ш е н и е. В отраженном свете в установке для наблюдения колец Ньютона интерферируют лучи 1 и 2, показанные на рисунке. Явлением преломления, безусловно влияющим на ход лучей 1 и 2, в силу малой толщины зазора пренебрегаем. Согласно формуле

(4.32) радиус m-го темного кольца Ньютона rm Rλ0m. Поскольку

245

№ 4. Точечный источник света с длиной волны 0,5 мкм расположен перед диафрагмой с круглым отверстием радиусом 1 мм. Расстояние от источника до точки O составляет 100 см. Найдите расстояние b от точки O до точки наблюдения, для которой число зон Френеля в отверстии равно 3.

Дано: λ = 0,5 мкм; a = 100 см; rk = 1 мм; k = 3.

Решение. Получим формулу для радиуса k-й зоны Френеля. По рисунку видно, что rk2 a2 (a hk )2 b k λ2 2 (b hk )2 , где

а – расстояние от источника до внешней границы отверстия (или радиус волновой поверхности); hk – разность между радиусом волновой поверхности и расстоянием от источника до диафрагмы; rk – радиус внешней границы k-й зоны. Раскрываем скобки:

Слагаемое hk2 сокращается, также пренебрежем слагаемым с λ2 в силу малости длины волны. Получим:

rk2 2ahk bk 2bhk .

Из второго равенства находим:

hk bkλ . 2(a b)

Подставляя это выражение в первое равенство, получим формулу для радиуса внешней границы k-й зоны:

rk aab kbλ.

246

Наконец, рассчитаем расстояние до точки наблюдения: rk2a rk2b a b k λ a b k λ rk2b rk2a

k

№ 5. Зеленый свет падает на щель шириной 8 мкм. Определите угол между 1-м и 2-м дифракционными максимумами.

Дано: λ = 500 нм; b = 8 мкм.

Решение. Условие максимума при дифракции Фраунгофера на щели определяется формулой (4.39):

b sin = (m + 1/2) .

Для 1-го и 2-го максимума эта формула примет вид соответст-

Δφ = φ2 ‒ φ1 = 3,61º.

№ 6. При нормальном падении света на дифракционную решетку максимум 2-го порядка для λ1 = 0,65 мкм наблюдается под углом 45°. Найдите угол дифракции для λ2 = 0,5 мкм в 3-м порядке.

Дано: m1 = 2; λ1 = 0,65 мкм; φ1 = 45°; m 2 = 3, λ2 = 0,5 мкм.

Решение. Условие максимума дифракционной решетки определяется формулой d sin m = m , где d ‒ период (постоянная) дифракционной решетки; m ‒ угол дифракции.

Для m1 = 2 и λ1 имеем:

2 = arcsin0,8159 = 54,7°.

247

№ 7. Чему равен показатель преломления стекла, если при отражении света от него отраженный луч будет полностью поляризован при угле преломления 30°?

Д а н о: β = 30°.

Р е ш е н и е. Согласно условию задачи, если отраженный свет полностью поляризован, то угол падения равен углу Брюстера и выполняется закон Брюстера: tgαБр n .

n = ctgβ = ctg30° = 1,73.

№ 8. Никотин (чистая жидкость), содержащийся в стеклянной трубке длиной 8 см, поворачивает плоскость поляризации желтого света натрия на угол φ = 136,6°. Плотность никотина ρ = 1,01 г/см3.

Определите удельное вращение φ0 никотина.

Д а н о: ℓ = 0,08 м; φ = 136,6°; ρ = 1,01·103 кг/м3.

Р е ш е н и е. Угол поворота находится по формуле

φ = φ0ρ .

Отсюда удельное вращение никотина

№ 9. Угол между плоскостями поляризации двух призм Николя равен 60°. Определите, во сколько раз уменьшится интенсивность Jест естественного света: 1) при прохождении через один николь; 2) при прохождении через оба николя. Коэффициент поглощения света в николе k = 0,05. Потери на отражение света не учитывать.

248

Д а н о: φ = 60º; k = 0,05.

Р е ш е н и е.

1. Естественный свет, падая на грань призмы Николя, расщепляется вследствие двойного лучепреломления на два луча:

обыкновенный и необыкновенный. Оба луча одинаковы по интенсивности и полностью поляризованы. Плоскость колебаний необыкновенного луча лежит в плоскости чертежа (плоскость главного сечения). Плоскость колебаний обыкновенного луча перпендикулярна плоскости чертежа. Обыкновенный луч о вследствие полного внутреннего отражения от границы АВ отбрасывается на зачерненную поверхность призмы и поглощается ею. Необыкновенный луч е проходит через призму, уменьшая свою интенсив-

ность вследствие поглощения: J1 12 Jест(1 k).

Относительное уменьшение интенсивности света получим, разделив интенсивность Jест естественного света, падающего на первый николь, на интенсивность J1 поляризованного света:

Таким образом, интенсивность уменьшается в 2,1 раза.

2. Плоскополяризованный луч света интенсивностью J1 падает

на второй николь N2 и также расщепляется на два луча различной интенсивности: обыкновенный и необыкновенный. Обыкновенный луч полностью поглощается призмой, поэтому интенсивность его нас не интересует. Интенсивность необыкновенного луча J2, вышедшего из призмы N2, определяется законом Малюса (без учета поглощения света во втором николе): J2 = J1cos2φ, где φ – угол между плоскостью колебаний в поляризованном луче и плоскостью пропускания николя N2.

Учитывая потери интенсивности на поглощение во втором николе, получим: J2 = J1(1 – k)cos2φ.

249

Искомое уменьшение интенсивности при прохождении света через оба николя найдем, разделив интенсивность Jест естественно-

го света на интенсивность J2 света, прошедшего систему из двух николей:

Заменяя отношение Jест/J1 его выражением, полученным в первом решении, получим:

Таким образом, после прохождения света через два николя интенсивность его уменьшится в 8,86 раза.

4.3.Основы квантовой оптики

4.3.1.Тепловое излучение

Характеристики теплового излучения

Известно, что тела, нагретые до высоких температур, светятся. Поэтому тепловым излучением можно назвать свечение, обусловленное степенью нагретости тел. Более строго тепловым излучением на-

зывается испускание электромагнитных волн за счет их внутренней энергии, т.е. за счет теплового движения атомов и молекул. Все остальные виды свечения (возбуждаемые за счет любого вида энергии, кромевнутренней) объединяютсяподназваниемлюминесценция.

Тепловое излучение свойственно всем телам при температуре выше 0 К и имеет сплошной спектр частот, положение максимума которого зависит от температуры.

При высоких температурах излучаются короткие (видимые и ультрафиолетовые) электромагнитные волны, при низких – преимущественно длинные (инфракрасные).

Если распределение энергии между телом и излучением остается неизменным для каждой длины волны, состояние системы те-

250