Краткий курс общей физики

№ 2. Пользуясь теорией Бора, определите для однократно ионизированного атома гелия длину волны в спектре, соответствующую переходу со 2-й орбиты на 1-ю.

Д а н о: m = 1; n = 2; Z = 2.

Р е ш е н и е. Согласно теории Бора частота излучения водородоподобной системы определяется формулой:

где m и n – главные квантовые числа (номера орбит), а Z – зарядовое число атома (число электронов в атоме). Постоянная Ридберга

R me3e42 3,293 1015 с–1. Для водородоподобного иона

8h 0

λc 3 108 15 0,304 10 7 м 30, 4 нм.

ν9,879 10

№3. Сколько квантов различных энергий может испускать атом водорода, если его электрон находится на 3-й орбите? Изобразите схему переходов.

Р е ш е н и е. Энергетическая диаграмма атома водорода имеет вид, показанный на рисунке, где n ‒ номер орбиты. Схемы переходов обозначены стрелочками. Каждому переходу соответствует испущенный квант света. Согласно схеме, атом, находясь на 3-й орбите, может испустить 3 кванта

сразличной энергией.

№4. Протон движется со скоростью v = 108 м/с. Определите длину волны де Бройля, учитывая изменение импульса протона

в зависимости от скорости.

Д а н о: v = 108 м/с, mp = 1,67·10–27 кг.

Р е ш е н и е. Длина волны де Бройля, соответствующая сво-

бодно движущейся частице, определяется по формуле: λ hp , где

281

№ 5. На узкую щель шириной 1 мкм направлен параллельный пучок электронов, имеющих скорость 3,65·106 м/с. Учитывая волновые свойства электронов, определите расстояние x между двумя максимумами интенсивности первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на 10 см от щели.

Да н о: b = 10–6 м, v = 3,65·106 м/с; = 0,1 м.

Ре ш е н и е. Скорость электронов в пучке почти в 100 раз меньше скорости света, следовательно, электроны можно считать нерелятивистскими и их импульс p = mev.

Длина волны де Бройля электронов в пучке

вой оптики (4.39) и (4.40). Схе-

ма эксперимента представлена на рисунке, где показано расположение главного (т = 0) максимума и максимумов 1-го порядка.

Условие максимума определяется формулой: b sin = (m + 1/2) (m = 0, 1, 2, …).

Для 1-го порядка

b sin = 1,5 .

По рисунку видно, что tg 2x . В силу малости углов полага-

ем, что sinφ tgφ. Тогда условие максимума 1-го порядка

282

5.3.Атомное ядро

5.3.1.Состав и характеристики атомного ядра

Атом состоит из положительно заряженного ядра и окружающих его электронов. Атомные ядра имеют размеры примерно 10–14…10–15 м (линейныеразмерыатома~ 10–10 м).

Атомное ядро состоит из элементарных частиц протонов и нейтронов. Протонно-нейтронная модель ядра была предложена российским физиком Д.Д. Иваненко в 1932 г., а впоследствии развита В. Гейзенбергом.

Протон р имеет положительный заряд, равный заряду электрона, и массу тp = 1,6726·10–27 кг 1836 me, где me масса электрона. Нейтрон n нейтральная частица с массой mn = 1,6749·10–27 кг1839 тe. Массу протонов и нейтронов часто выражают в других единицах – в атомных единицах массы (см. (2.1)). Массы протона и нейтрона равны приблизительно одной атомной единице массы. Протоны и нейтроны называются нуклонами (от лат. nucleus ядро). Общее число нуклонов в атомном ядре называется массовым числом А.

Эксперименты показывают, что ядра не имеют резких границ. В центре ядра существует определенная плотность ядерного вещества, и она постепенно уменьшается до нуля с увеличением расстояния от центра. Из-за отсутствия четко определенной границы ядра его «радиус» определяется как такое расстояние от центра, на котором плотность ядерного вещества уменьшается в два раза. Среднее распределение плотности материи для большинства ядер оказывается не просто сферическим. Большинство ядер деформированно. Часто ядра имеют форму вытянутых или сплющенных эллипсоидов.

Атомное ядро характеризуется зарядом Ze, где Z зарядовое число ядра, равное числу протонов в ядре и совпадающее с порядковым номером элемента в Периодической системе химических элементов Менделеева.

Ядро обозначается тем же символом, что и нейтральный атом: ZA X, где X символ химического элемента; Z атомный номер

(число протонов в ядре); А массовое число (число нуклонов в ядре). Массовое число А приблизительно равно массе ядра в атомных единицах массы.

283

Так как атом нейтрален, то заряд ядра Z определяет и число электронов в атоме. Заряд ядра определяет специфику данного химического элемента, т. е. определяет число электронов в атоме, конфигурацию электронных оболочек, величину и характер внутриатомного электрического поля.

Ядра с одинаковыми зарядовыми числами Z, но с разными массовыми числами А (т.е. с разными числами нейтронов N = A – Z) называются изотопами, а ядра с одинаковыми А, но разными Z –

изобарами. Например, водород (Z = l) имеет три изотопа: 11 H – протий (Z = l, N = 0), 21 H – дейтерий (Z = l, N = 1), 31 H – тритий

(Z = l, N = 2); олово – десять изотопов и т. д. В подавляющем большинстве случаев изотопы одного и того же химического элемента обладают одинаковыми химическими и почти одинаковыми физическими свойствами.

Квантовая теория строго ограничивает значения энергий, которыми могут обладать составные части ядер. Совокупности протонов и нейтронов в ядрах могут находиться только в определенных дискретных энергетических состояниях, характерных для данного изотопа.

Когда электрон в атоме переходит из более высокого в более низкое энергетическое состояние, разность энергий излучается в виде фотона. Энергия этих фотонов имеет порядок нескольких электронвольт. Для ядер энергетические уровни лежат в интервале примерно от 1 до 10 МэВ. При переходах между этими уровнями испускаются фотоны очень больших энергий (γ-кванты).

5.3.2. Ядерные силы. Энергия связи атомных ядер

Исследования показывают, что атомные ядра являются устойчивыми образованиями. Между составляющими ядро нуклонами действуют особые, специфические для ядра силы, значительно превышающие кулоновские силы отталкивания между протонами. Они называются ядерными силами.

С помощью экспериментальных данных по рассеянию нуклонов на ядрах, ядерным превращениям и т.д. доказано, что ядерные силы намного превышают гравитационные и электромагнитные взаимодействия и не сводятся к ним. Ядерные силы относятся к классу так называемых сильных взаимодействий.

Перечислим основные свойства ядерных сил: 1) ядерные силы являются силами притяжения;

284

2)ядерные силы являются короткодействующими – их действие проявляется только на расстояниях примерно 10–15 м. При увеличении расстояния между нуклонами ядерные силы быстро уменьшаются до нуля, а при расстояниях, меньших их радиуса действия, оказываются примерно в 100 раз больше кулоновских сил, действующих между протонами на том же расстоянии;

3)ядерным силам свойственна зарядовая независимость: ядерные силы, действующие между двумя протонами, или двумя нейтронами, или, наконец, между протоном и нейтроном, одинаковы по величине. Отсюда следует, что ядерные силы имеют неэлектрическую природу;

4)ядерным силам свойственно насыщение, т. е. каждый нуклон

вядре взаимодействует только с ограниченным числом ближайших к нему нуклонов;

5)ядерные силы не являются центральными, т. е. действую-

щими по линии, соединяющей центры взаимодействующих нуклонов.

Массу ядер очень точно можно определить с помощью масс-

спектрометров измерительных приборов, разделяющих с помощью электрических и магнитных полей пучки заряженных частиц (обычно ионов) с разными удельными зарядами q/m. Массспектрометрические измерения показали, что масса ядра меньше,

чем сумма масс составляющих его нуклонов. Это обусловлено тем,

что при объединении нуклонов в ядро выделяется энергия – энергия связи атомного ядра. Энергия покоя частицы связана с ее массой соотношением Эйнштейна W0 = mc2. Следовательно, энергия покоящегося ядра меньше суммарной энергии невзаимодействующих покоящихся нуклонов.

Из закона сохранения энергии вытекает и обратное: для разделения ядра на составные части необходимо затратить такое же количество энергии, которое выделяется при его образовании. Энергия связи Wсв атомного ядра равна той работе, которую нужно совершить, чтобы разделить образующие ядро нуклоны и удалить их друг от друга на такие расстояния, при которых они практически не взаимодействуют друг с другом.

Мерой энергии связи является дефект массы ядра – разность между суммарной массой (взятых по отдельности) нуклонов, образующих ядро, и массой ядра:

285

где тp, тn, тя соответственно массы протона, нейтрона и ядра. На эту величину уменьшается масса всех нуклонов при образовании из них атомного ядра. В таблицах обычно приводятся не массы ядер тя, а массы атомов. Добавляя и вычитая массу всех электронов в атоме, выражение для дефекта массы ядра можно привести к виду

где mН масса атома водорода. Для энергии связи получаем соотношение

Энергия связи, приходящаяся на один нуклон, т.е. Wсв/A, назы-

вается удельной энергией связи.

урана – она составляет 7,5 МэВ/нуклон. Такая зависимость удельной энергии связи от массового числа делает энергетически возможными два процесса: 1) деление тяжелых ядер на несколько более легких ядер и 2) слияние (синтез) легких ядер в одно ядро. Оба процесса должны сопровождаться выделением большого количества энергии. Так, например, деление одного ядра с массовым числом А= 240 (удельная энергия связи равна 7,5 МэВ/нуклон) на два ядра с массовыми числами А= 120 (удельнаяэнергия связиравна 8,5 МэВ/нуклон) привелобы к высвобождению энергии в 240 МэВ. Слияние двух ядер тяжелого

водорода 21H в ядро гелия 42 He привело бы к выделению энергии,

равной 24 МэВ. Для сравнения укажем, что при соединении одного атома углерода с двумя атомами кислорода (сгорание угля до СО2) выделяетсяэнергияпорядка5 эВ.

286

Ядра со значениями массового числа А от 50 до 60 являются энергетически наиболее выгодными. В связи с этим возникает вопрос: почему ядра с иными значениями А оказываются стабильными? Ответ заключается в следующем. Для того чтобы разделиться на несколько частей, тяжелое ядро должно пройти через ряд промежуточных состояний, энергия которых превышает энергию основного состояния ядра. Следовательно, для процесса деления ядру требуется дополнительная энергия (энергия активации), которая затем возвращается обратно, приплюсовываясь к энергии, выделяющейся при делении за счет изменения энергии связи. В обычных условиях ядру неоткуда взять энергию активации, вследствие чего тяжелые ядра не претерпевают спонтанного деления. Энергия активации может быть сообщена тяжелому ядру захваченным им дополнительным нейтроном. Процесс деления ядер урана или плутония под действием захватываемых ядрами нейтронов лежит в ос-

нове действия ядерных реакторов и атомной бомбы.

Для слияния легких ядер в одно ядро они должны приблизиться друг к другу на очень близкое расстояние (~ 10–15 м). Такому сближению ядер препятствует кулоновское отталкивание между ними. Для того чтобы преодолеть это отталкивание, ядра должны двигаться с огромными скоростями, соответствующими температурам порядка нескольких сотен миллионов кельвин. По этой причи-

не процесс синтеза легких ядер называется термоядерной реакцией.

Термоядерные реакции протекают в недрах Солнца и звезд. В земных условиях пока были осуществлены неуправляемые термоядерные реакции при взрывах водородных бомб.

5.3.3. Радиоактивность. Закон радиоактивного распада

Радиоактивностью называется самопроизвольное превращение одних атомных ядер в другие, сопровождаемое испусканием элементарных частиц. Такие превращения претерпевают только нестабильные ядра. К числу радиоактивных процессов относятся: 1) -распад; 2) -распад (в том числе электронный захват); 3) - излучение ядер; 4) спонтанное деление тяжелых ядер; 5) протонная радиоактивность.

Атомное ядро, испытывающее радиоактивный распад, называется материнским, возникающее ядро дочерним.

Радиоактивность, наблюдающаяся у ядер, существующих в природных условиях, называется естественной. Радиоактивность

287

ядер, полученных посредством ядерных реакций, называется искусственной. Между искусственной и естественной радиоактивностью нет принципиального различия. Процесс радиоактивного превращения в обоих случаях подчиняется одним и тем же законам.

Естественная радиоактивность была открыта в 1896 г. А.А. Беккерелем. Большой вклад в изучение радиоактивных веществ внесли супруги Пьер Кюри и Мария Склодовская-Кюри.

Радиоактивное излучение бывает трех типов: α-, β-, γ-излучение. α-Излучение представляет собой поток ядер гелия 42 He : заряд α-час-

тицы равен +2е, а масса примерно 4 а.е.м. α-Частица отклоняется электрическим и магнитным полями, обладает высокой ионизирующей способностью и малой проникающей способностью (например, поглощается слоем алюминия толщиной примерно 0,05 мм).

β-Излучение представляет собой поток электронов. β-Частица отклоняется электрическим и магнитным полями, ее ионизирующая способность значительно меньше (примерно на два порядка), а проникающая способность гораздо больше, чем у α-частиц (поглощается слоем алюминия толщиной примерно 2 мм).

γ-Излучение представляет собой коротковолновое электромагнитное излучение с малой длиной волны менее 10-10 м и вследствие этого ярко выраженными корпускулярными свойствами, т.е. является потоком γ-квантов (фотонов); γ-излучение не отклоняется электрическим и магнитным полями, обладает относительно слабой ионизирующей способностью и очень большой проникающей способностью (например, проходит через слой свинца толщиной 5 см), при прохождении через кристаллы обнаруживает дифракцию.

Теория радиоактивного распада строится на предположении о том, что распад является спонтанным процессом, подчиняющимся законам статистики. Так как отдельные радиоактивные ядра распадаются независимо друг от друга, то можно считать, что число ядер, распавшихся в среднем за интервал времени от t до t + dt, пропорционально промежутку времени dt и числу N нераспавшихся ядер к моменту времени t:

dN = –λ N dt,

где λ постоянная для данного радиоактивного вещества величина,

называемая постоянной радиоактивного распада; знак «минус» указывает, что общее число радиоактивных ядер в процессе распада

288

уменьшается, т.е. приращение числа нераспавшихся ядер dN < 0. Разделив переменные и интегрируя, получим закон радиоактивного распада:

где N0 начальное число нераспавшихся ядер в момент времени t = 0; N – число нераспавшихся ядер в момент времени t. Закон радиоактивного распада (5.17) констатирует, что число нераспавшихся ядер убывает со временем по экспоненциальному закону.

Число распадов, происходящих с ядрами вещества в единицу

Единица измерения активности в СИ – беккерель, [а] = Бк; внесистемной единицей активности является один кюри (Ки): 1 Ки = 3,7 1010 Бк.

Интенсивность процесса радиоактивного распада характеризуют две величины: среднее время жизни τ радиоактивного ядра и период полураспада T½. Можно показать, что среднее время жизни τ радиоактивного ядра есть величина, обратная постоянной радиоактивного распада :

Период полураспада T½ время, за которое исходное число радиоактивных ядер уменьшается вдвое. Согласно (5.17)

N20 N0e T½ ,

откуда

Периоды полураспада для естественно-радиоактивных элементов колеблются от десятимиллионных долей секунды до многих миллиардов лет.

С учетом (5.20) закон радиоактивного распада (5.17) можно представить в более удобном для практического применения виде:

289

Радиоактивный распад происходит в соответствии со следующими правилами смещения, позволяющими установить, какое ядро возникает в результате распада данного материнского ядра:

(α-частица); 10e электрон (заряд его равен е, а массовое число –

нулю).

Правила смещения являются следствием двух законов, выполняющихся при радиоактивных распадах, – закона сохранения электрического заряда и закона сохранения массового числа: сумма зарядов (массовых чисел) возникающих ядер и частиц равна заряду (массовому числу) исходного ядра.

Возникающие в результате радиоактивного распада ядра могут быть, в свою очередь, радиоактивными. Это приводит к возникновению цепочки или ряда радиоактивных превращений, заканчивающихся стабильным элементом. Совокупность элементов, образующих такую цепочку, называется радиоактивным семейством.

5.3.4. Ядерные реакции. Элементы ядерной энергетики

Ядерной реакцией называется процесс взаимодействия атомного ядра с элементарной частицей или с другим ядром, приводящий к преобразованию ядра (или ядер). Взаимодействие реагирующих частиц возникает при сближении их до расстояний порядка 10-15 м благодаря действию ядерных сил. При рассмотрении ядерных реакций (как и других процессов) используются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса, электрического заряда и ряда других физических величин.

Наиболее распространенным видом ядерной реакции является взаимодействие легкой частицы а с ядром X, в результате которого образуется легкая частица b и ядро Y:

где Q – энергия, выделяющаяся в результате реакции (ее, как и в химии, часто включают в уравнение самой реакции). Реакция явля-

290