Краткий курс общей физики

Если разность фаз ( 2 – 1) возбуждаемых волнами колебаний остается постоянной во времени, то волны называются когерентными. Источники таких волн также называются когерентными.

Вболее широком смысле когерентностью называется согласованное протекание нескольких колебательных или волновых процессов.

Когерентность колебаний, которые совершаются в одной и той же точке пространства, определяемая степенью монохроматичности волн, называется временной когерентностью.

Вслучае когерентных волн cos( 2 – 1) имеет постоянное во времени (но свое для каждой точки пространства) значение. В тех

точках пространства, для которых cos( 2 – 1) > 0, J будет превышать (J1 + J2); в точках, для которых cos( 2 – 1) < 0, J будет меньше (J1 + J2). Таким образом, при наложении когерентных световых волн происходит перераспределение в пространстве энергии световых электромагнитных волн, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы интенсивности. Это явление называется интерференцией света.

Особенно отчетливо интерференция проявляется в том случае, когда интенсивность обеих интерферирующих волн одинакова: J1 = J2. Тогда согласно (4.15) в минимумах (при 2 – 1 = ) интенсивность J = 0, в максимумах (при 2 – 1 = 0) интенсивность

J= 4 J1.

Уреальной световой волны фаза непрерывно хаотически изме-

няется во времени. В этом случае разность фаз ( 2 – 1) непрерывно изменяется, принимая с равной вероятностью любые значения, вследствие чего среднее по времени значение cos( 2 – 1) равно нулю. Интенсивность в каждой точке пространства, наблюдаемая при наложении некогерентных волн, равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой из волн в отдельности: J = J1 + J2.

При освещении какой-либо поверхности несколькими источниками света (например, двумя лампочками), никакой интерференционной картины с характерным для нее чередованием максимумов и минимумов не наблюдается. Это объясняется тем, что естественные источники света некогерентны. А само понятие когерентности требует более подробного рассмотрения.

221

Когерентность и «механизм» излучения света атомами

По классическим представлениям, излучение светящегося тела (газа) слагается из волн, испускаемых его атомами, которые излучают независимо друг от друга. В каждом из таких атомов процесс излучения конечен и длится очень короткое время ( 10–8 с). Волна в виде короткого импульса называется волновым цугом (см. рис. 1.30, б). За время успевает образоваться цуг волн протяженностью примерно 3 м. На длине цуга укладывается несколько миллионов длин волн (видимого света).

За время возбужденный атом возвращается в нормальное состояние и излучение им света прекращается. Возбудившись вновь, атом снова начинает испускать световые волны, причем фаза нового цуга никак не связана с фазой предыдущего цуга. Поскольку в любой точке пространства разность фаз колебаний в цугах от двух таких независимых атомов изменяется при каждом новом акте испускания, то волны, спонтанно излучаемые атомами любого источ-

ника света, некогерентны.

Фаза волны определяется наложением (суперпозицией) огромного числа цугов, порождаемых отдельными атомами, причем фаза результирующей волны претерпевает случайные изменения. Сменяет друг друга в некоторой точке пространства в данный момент времени относительно небольшое число цугов. Подавляющее большинство цугов проходит через рассматриваемую точку не прерываясь. Поэтому фаза волны, образованной наложением огромного числа цугов, порождаемых отдельными атомами, не может совершать больших скачков. Она изменяется случайным образом небольшими шагами или, как говорят, совершает случайные блуждания.

Время ког, за которое случайное изменение фазы волны достигает значения порядка , называется временем когерентности. За это время колебание как бы забывает свою первоначальную фазу и становится некогерентным по отношению к самому себе.

Соответствующий оценочный расчет показывает, что время когерентности обратно интервалу частот (длин волн ), представленных в данной световой волне:

222

где v – скорость распространения волны в данной среде. Чем шире интервал частот (длин волн) представленных в волне, тем меньше время когерентности этой волны. Для монохроматической волны= 0 и время когерентности бесконечно велико.

Путь волны в среде за время когерентности называется длиной когерентности:

Длина когерентности – то расстояние, на котором случайные изменения фазы волны достигают значения порядка .

В качестве примера оценим время и длину когерентности для случая = 500 нм (зеленая часть спектра) и = 1 нм (1/360 часть видимого спектра). Согласно (4.16) и (4.17)

ког (1/с) 2/ 10-12 с, ког c ког 0,3 мм.

Чем ближе волна к монохроматической, тем больше ее время

идлина когерентности.

Вреальной световой волне амплитуда и фаза колебаний изменяются не только вдоль направления распространения волны, но

ив плоскости, перпендикулярной к этому направлению. Когерентность колебаний, которые совершаются в двух точках плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, называет-

ся пространственной когерентностью. Случайные изменения раз-

ности фаз в двух точках этой плоскости увеличиваются с расстоянием между ними. Расстояние rког, на котором разность фаз дости-

гает значения порядка , называется длиной пространственной

223

Интерференционная картина от двух источников

Волны, излучаемые обычными источниками света, являются некогерентными, вследствие чего получить интерференцию волн от таких источников нельзя.

Когерентные световые волны можно получить, разделив (с помощью отражений или преломлений) волну, излучаемую одним источником, на две части. Если затем наложить эти две волны друг на друга, наблюдается интерференция. Разность оптических длин путей, проходимых волнами, не должна превышать длину когерентности, иначе разность фаз накладывающихся колебаний будет изменяться хаотическим образом.

t, то первая волна возбудит в точке Р колебание A1 cos( (t – s1/v1)), а вторая волна – колебание A2 cos( (t – s2/v2)), где v1 и v2 – фазовые

волны в вакууме), выражению для разности фаз можно придать вид

где – величина, равная разности оптических длин проходимых волнами путей и называемая оптической разностью хода:

то разность фаз оказывается кратной 2 и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить с одинаковой

224

фазой. Таким образом, соотношение (4.20) определяет условие ин-

терференционного максимума.

Если оптическая разность хода равна полуцелому числу длин волн в вакууме:

то = (2m + 1) , так что колебания в точке Р совершаются в противофазе. Следовательно, соотношение (4.21) определяет условие интерференционного минимума.

Наблюдение интерференции двух волн возможно лишь при оптических разностях хода, меньших длины когерентности:

Все методы получения когерентных источников света сводятся к одному разделению одного пучка от источника на две части и дальнейшему их сведению в одну точку. Практически это можно осуществить с помощью щелей (метод Юнга), зеркал (зеркала Френеля), преломляющих тел (бипризма Френеля) и т.д.

В качестве примера рассмотрим метод Юнга. Источником света служит ярко освещенная щель S (рис. 4.10), от которой световая волна падает на две узкие равноудаленные щели S1 и S2, параллельные щели S. Таким обра-

зом, щели S1 и S2 играют роль когерентных источников света. Рассмотрим две когерентные световые волны, исходящие от

источников S1 и S2 (рис. 4.11).

225

онная картина, которая имеет вид чередующихся светлых и темных полос. Вычислим координаты этих полос в предположении, что экран параллеленплоскости, вкоторойлежатисточникиS1 иS2.

Возьмем на экране координатную ось х, перпендикулярную к S1 и S2. Начало координат поместим в точке О, относительно которой S1 и S2 расположены симметрично. Источники будем считать колеблющимися в одинаковой фазе. По рис. 4.11 видно, что

s12 2 (x d / 2)2 , s22 2 (x d / 2)2 ,

откуда

s22 s12 (s2 s1 )(s2 s1 ) 2xd.

Для получения различимой интерференционной картины расстояние d между источниками должно быть значительно меньше расстояния до экрана. Расстояние х, в пределах которого образуются интерференционные полосы, также бывает значительно меньше . При этих условиях можно считать, что s2 s1 2 . Тогда

s2 s1 xd / . Умножив (s2 s1 ) на показатель преломления среды n, получим оптическую разность хода:

Если подстановить это значение в условие (4.20), то максимумы интенсивности будут наблюдаться при следующих значениях х:

max d

где – длина волны в среде, заполняющей пространство между источниками света и экраном, = 0/n. Подставив значение (4.23) в условие (4.21), получим координаты минимумов интенсивности:

Назовем расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности расстоянием между интерференционными полосами, арасстояние между соседними минимумами интенсивности – шириной интерференционной полосы. Из формул (4.24) и (4.25) следует, что рас-

стояниемеждуполосамииширинаполосыимеютодинаковоезначение

226

Интерференция света при отражении от тонких пленок

При падении световой волны на тонкую прозрачную пленку или пластинку происходит отражение от обеих поверхностей пленки. В результате возникают две световые волны, которые при из-

ных пучка света примерно одинаковой интенсивности, один из которых (пучок 1) образуется за счет отражения от верхней поверхности пластинки, другой (пучок 2) – за счет отражения от нижней поверхности. При входе в пластинку и при выходе из нее второй пучок претерпевает преломление.

Если оптическая разность хода лучей 1 и 2 меньше длины когерентности исходной волны, то волны, представленные этими лучами, когерентны и могут интерферировать. На дальнейшем пути лучей от точек А и В разность фаз волн 1 и 2 не изменяется. Поэто-

где n – показатель преломления пластинки; s2 – суммарная длина отрезков ОС и СВ; s1 – длина отрезка ОА. Показатель преломления среды, окружающей пластинку, полагаем равным единице.

Оптическую разность хода (4.27) можно с учетом закона преломления (4.1) выразить через угол падения :

2d n2 sin2 .

При вычислении разности фаз между колебаниями в лучах 1 и 2 нужно, кроме оптической разности хода, учесть возможность изменения фазы волны при отражении. В точке О отражение происходит от границы раздела среды, оптически менее плотной, со средой, оптически более плотной. Поэтому фаза волны изменяется на . В точке С отражение происходит от границы раздела среды,

227

оптически более плотной, со средой, оптически менее плотной, так что изменения фазы не происходит. В итоге между лучами 1 и 2 возникает дополнительная разность фаз, равная . Ее можно учесть, добавив к оптической разности хода половину длины волны в вакууме. В результате получим:

Если на пути лучей 1 и 2 поставить собирающую линзу, они сойдутся в одной из точек фокальной плоскости линзы и будут интерферировать (роль линзы может играть хрусталик глаза, а роль экрана – сетчатка). Результат интерференции зависит от значения величины (4.28). Условие максимума (4.20) принимает вид

отраженные волны гасят друг друга, так что свет практически не отражается.

Если на пластинку падает рассеянный (разнообразных направлений) монохроматический свет, то на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы, наблюдается чередование светлых и темных полос (кольца с общим центром), соответствующих лучам, падающим на пластинку под определенным углом. Такие интерференционные полосы называются полосами равного наклона.

Если падающий свет немонохроматичен, т.е. содержит диапазон частот (например, белый свет), то интерференционная картина приобретает радужную окраску.

Если монохроматический свет падает на пластинку переменной толщины (например, клин), то даже для лучей, падающих под определенным углом, на экране возникнет чередование светлых и темных полос (интерференционная картина). Это объясняется тем, что условие максимума (4.29) выполняется для лучей, падающих на пластинку в местах с определенной толщиной d. Такие полосы на-

зываются полосами равной толщины.

Заметим, что интерференция от тонких пленок может наблюдаться не только в отраженном, но и в проходящем свете.

228

Классическим примером полос равной толщины являются кольца Ньютона. Они могут наблюдаться при отражении света от соприкасающихся толстой плоскопараллельной пластинки и плосковыпуклой линзы с большим радиусом кривизны (рис. 4.13).

Роль тонкой пленки, от поверхностей которой отражаются когерентные волны, играет воздушный зазор между пластинкой и линзой (вследствие большой толщины пластинки и линзы за счет отражений от других поверхностей интерференционные полосы не возникают). При нормальном падении света полосы равной толщины имеют вид концентрических окружностей (рис. 4.14), при наклонном падении – эллипсов. Найдем радиусы колец Ньютона в отраженном свете, получающихся при падении света по нормали к пластинке. В этом случае оптическая разность хода равна удвоенной толщине b зазора (предполагается, что в зазоре n = 1). По рис. 4.13 можно определить, что

R2 (R b)2 r2 R2 2Rb r2 ,

где R – радиус кривизны линзы; r – радиус окружности, всем точкам которой соответствует одинаковый зазор b. Ввиду малости b мы пренебрегли b2 по сравнению с 2Rb. Из этого соотношения следует, что

b r2 / 2R .

Следовательно, с учетом (4.28) и (4.29) для светлых колец в отраженном свете при нормальном падении лучей получаем (учитывая потерю полуволны при отражении от оптически более плотной среды):

2b r2 / R (m 1/ 2) 0 ,

229

Из (4.30) получаем условие для темных колец (в отраженном свете):

В месте касания пластинки и линзы наблюдается минимум интенсивности, обусловленный изменением фазы на при отражении световой волны от пластинки (оптически более плотной).

4.2.3. Дифракция

Принцип Гюйгенса – Френеля

Под дифракцией понимают любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики (например, огибание волнами встреченных препятствий).

Возникновение дифракции можно объяснить с помощью принципа Гюйгенса, которым устанавливается способ построения фронта волны в момент времени (t + t) по известному положению фронта в момент времени t: каждая точка фронта волны служит центром (источником) вторичных волн, а огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент вре-

мени (рис. 4.15).

Пусть на плоскую преграду с отверстием падает параллельный ей фронт волны (рис. 4.16). По Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит центром вторичных волн, которые в однородной и изотропной среде будут сферическими. Построив огибающую вторичных волн, мы убеждаемся в том, что за отверстием волна проникает в область геометрической тени (на рис. 4.16 границы этой области показаны пунктиром), огибая края преграды.

Рис. 4.16

230