Краткий курс общей физики

Р е ш е н и е. Азот – двухатомный газ, его молекула имеет пять степеней свободы (i = 5), из них две вращательные степени (iвр = 2).

На одну степень свободы приходится энергия ст 12 kT . Энергия

№ 2. Найдите среднюю квадратичную скорость молекул воздуха при температуре 17 °С.

Д а н о: Т = 17 °С = 290 К, = 0,029 кг/моль.

Р е ш е н и е. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул определяется по формуле

Отсюда находим среднюю квадратичную скорость молекул:

№ 3. Баллон емкостью 20 л заполнен кислородом при температуре 300 К. Когда часть кислорода израсходовали, давление в баллоне понизилось на 100 кПа. Определите массу m израсходованного газа. Процесс считать изотермическим.

Д а н о: V = 20 л = 0,02 м3, Т = 300 К, = 0,032 кг/моль,р = 100 кПа.

Р е ш е н и е. Запишем для начального и конечного состояний кислорода в баллоне уравнение Менделеева – Клапейрона:

p1V mμ1 RT , p2V mμ2 RT.

Вычтем из первого уравнения второе: ( p1 p2 )V (m1 m2 ) RT ,

μ

или pV μm RT , откуда

m pVμ 100 103 0,02 32 10 3 0,0257 кг. RT 8,31 300

101

№ 4. Какова была начальная температура воздуха, если при нагревании его на 3 К объем увеличился на 1% от первоначального?

Д а н о: Т2 = Т1 + 3, V2 = 1,01V1.

Р е ш е н и е. Из условия задачи можно сделать предположение, что давление воздуха постоянно, т.е. происходит изобарный процесс. Уравнение изобарного процесса:

0,01Т1 = 3 Т1 = 300 К.

№5. Азот массой 5 г, находящийся в закрытом сосуде объемом 4 л при температуре 20 °С, нагревают до температуры 40 °С. Най-

дите давления газа до и после нагревания.

Д а н о: m = 5·10–3 кг, V = 4·10–3 м3, Т1 = 293 К, Т2 = 313 К,

= 0,028 кг/моль.

2.2.Термодинамика

2.2.1.Термодинамическая система

Термодинамика первоначально возникла как наука о превращении теплоты в работу. Однако законы, лежащие в основе термодинамики, имеют настолько общий характер, что в настоящее время термодинамические методы с большим успехом применяются для исследования многочисленных физических и химических процессов и для изучения свойств вещества и излучения.

102

При изучении свойств и процессов превращения вещества термодинамика не рассматривает микроскопическую картину явлений. В основе термодинамики лежат общие принципы, являющиеся обобщением опытных данных.

Объектом исследования термодинамики является термодинамическая система (ТДС) – совокупность макроскопических тел, обменивающихся энергией как между собой, так и с внешними телами. Напомним, что макроскопическое тело – это тело, состоящее из очень большого числа атомов и молекул. Примером термодинамической системы может служить газ, заключенный в цилиндр под поршнем.

Параметры состояния ТДС не всегда имеют определенные значения (например, при нагреве в разных частях системы температура разная). Состояние, в котором хотя бы один из параметров не имеет определенного значения, называется неравновесным.

Термодинамические системы, которые не обмениваются с внешней средой ни энергией, ни веществом, называются изолиро-

ванными (замкнутыми).

Если систему, находящуюся в неравновесном состоянии, изолировать, т.е. предоставить самой себе, то она перейдет в равновесное состояние (когда все параметры состояния имеют определенные значения, не изменяющиеся с течением времени). Такой переход называется процессом релаксации.

Термодинамический процесс – переход системы из одного со-

стояния в другое.

Бесконечно медленный процесс состоит из последовательности равновесных состояний, так как параметры состояния успевают выровняться по всей системе. Такой процесс называется равновесным

(квазистатическим).

При изменении направления равновесного процесса (например, при замене сжатия расширением) система будет проходить те же равновесные состояния, что и при прямом ходе, но в обратной последовательности. Следовательно, равновесныепроцессыобратимы.

Круговым процессом (или циклом) называется такой процесс, при котором система после ряда изменений возвращается в исходное состояние.

103

2.2.2. Внутренняя энергия, работа и теплота. Первое начало термодинамики

Всякая термодинамическая система в любом состоянии обладает некоторой энергией: кинетической энергией системы как целого, потенциальной энергией во внешнем поле сил и внутренней энергией. В термодинамике обычно рассчитывают макроскопически неподвижные системы, не подверженные действию внешних полей. Для таких систем значения полной и внутренней энергии совпадают. Поэтому понятие внутренней энергии является одним из основных в термодинамике.

Внутренняя энергия системы U равна сумме всех видов энергий движения и взаимодействия частиц, составляющих данную систему. Например, внутренняя энергия газообразной системы включает в себя:

–кинетическую энергию поступательного и вращательного движения молекул;

–кинетическую энергию колебательного движения атомов

вмолекуле;

–потенциальную энергию взаимодействия молекул между собой и атомов внутри молекулы;

–внутриатомную энергию (энергию электронных оболочек атомов; энергию движения и взаимодействия нуклонов в ядрах атомов и т.д.).

Внутренняя энергия – однозначная функция состояния системы, ее значение не зависит от того, каким образом система пришла

вданное состояние, т.е. не зависит от вида процесса перехода. Подобно потенциальной энергии в механике, внутренняя энер-

гия может быть количественно определена только с точностью до постоянного слагаемого U0, зависящего от выбора «начала отсчета» внутренней энергии, т.е. от выбора состояния, в котором внутреннюю энергию системы принимают равной нулю. Однако значение U0 несущественно, так как в термодинамических расчетах приходится определять не абсолютное значение U, а не зависящее от U0 изменение этой энергии U в различных термодинамических процессах. По той же причине под внутренней энергией обычно понимают те ее составляющие, которые изменяются в рассматриваемых процессах. Так, например, в дальнейшем мы будем касаться процессов, не сопровождающихся изменением внутриатомной энергии.

104

В случае идеального газа нет сил межмолекулярного взаимодействия и внутренняя энергия равна сумме энергий беспорядочного (теплового) движения всех молекул (см. соотношение (2.21)):

Обмен энергией между термодинамической системой и окружающими ее телами может протекать в двух формах: макроскопической– вформеработыимикроскопической– вформетеплообмена.

поршень с силой F = p S и совершает при расширениинад поршнемэлементарнуюработу

105

собой процесс, не связанный с макроскопическим перемещением взаимодействующих тел. Этот процесс передачи энергии неупорядоченного движения от одних тел к другим осуществляется за счет обмена энергией непосредственно между хаотически движущимися частицами тел. Например, при соприкосновении холодного и горячего газов молекулы нагретого газа при случайных столкновениях передают энергию молекулам холодного газа. Суть теплопередачи состоит в том, что отдельные молекулы более нагретого тела совершают положительную работу над молекулами менее нагретого тела.

Теплопередача может осуществляться путем обмена электромагнитным излучением. Например, вода в море прогревается днем за счет излучения, посылаемого Солнцем.

В реальных условиях оба способа передачи энергии термодинамической системе (в форме работы и теплоты) сопутствуют друг другу. Например, при нагревании тела расширяются и совершают работу над внешними телами.

Количество теплоты и работа это функции процесса. Поэтому говорить о «запасе тепла» или о «запасе работы» в системе бессмысленно.

Все три величины – энергия, работа и теплота в СИ измеряются в джоулях, [U] = [A] = [Q] = Дж.

При совершении одним телом работы A над другим, равно как и при сообщении одним телом другому теплоты Q, эти тела обмениваются внутренней энергией: энергия одного из тел увеличивается, а энергия другого на столько же уменьшается. Это следует из закона сохранения энергии. В термодинамике этот закон называется первым законом (началом) термодинамики и записывается следующим образом:

где Q – количество теплоты, подведенное к системе; U – изменение (приращение) внутренней энергии системы, U = U2 – U1; A – работа системы над внешними телами.

Количество теплоты, сообщенное системе, идет на изменение внутренней энергии системы и на совершение системой работы над внешними телами.

Это также означает, что невозможно создать действующий механизм, который совершал бы работу, превышающую получаемую им

106

энергию. Воображаемый механизм, совершающий работу, большую получаемой энергии, называется вечным двигателем первого рода. Тогда можно сформулировать первое начало термодинамики сле-

дующимобразом: вечныйдвигательпервого роданевозможен.

2.2.3. Теплоемкость и внутренняя энергия идеального газа

Передача тепловой энергии телам, как правило, сопровождается изменением их температуры. Для характеристики способности тел повышать свою температуру за счет полученного извне тепла вводится понятие теплоемкости.

Теплоемкость – скалярная физическая величина, характеризующая связь между количеством сообщенного системе тепла и изменением ее температуры. Различают полную, удельную и молярную теплоемкости.

Теплоемкость тела Стела (полная теплоемкость, [Стела] = Дж/К) численно равна количеству теплоты, которое необходимо сообщить

системе, чтобыповыситьее температуруна одинградус:

Удельная теплоемкость с ([с] = Дж/(кг·К)) – теплоемкость единицы массы:

Учитывая, что m , из сопоставления формул (2.44) и (2.45)

следует:

Теплоемкость зависит от условий, при которых происходит нагрев тела. В зависимости от характера процесса различают теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном давлении.

107

Учитывая, что при изохорном процессе работа не совершается,

для молярной теплоемкости при постоянном объеме СV можно за-

писать:

откуда dU CV dT.

Опытным путем установлено, что для газов, близких к идеальным, СV = const в широком интервале температур, тогда

U CV dT CV T const.

Поскольку внутренняя энергия определяется с точностью до константы, окончательно получаем:

Записав дифференциал от уравнения состояния (2.12) для идеального газа при неизменном давлении, получим выражение для элементарной работы при p = const: dA pdV RdT . Тогда для

молярной теплоемкости при постоянном давлении Сp получаем:

Соотношение (2.47) называется уравнением Майера. Оно показывает, что молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении больше его молярной теплоемкости при постоянном объеме на величину универсальной газовой постоянной R. Следовательно, Сp всегда больше СV, так как в изобарном процессе в отличие от изохорного теплота, сообщаемая газу, расходуется не только на изменение его внутренней энергии, но также и на совершение газом работы. Сопоставляя (2.47) с первым началом термодинамики, получаем физическое содержание универсальной газовой постоянной R: это физическая величина, численно равная работе расширения одного моля идеального газа в изобарном процессе при нагревании его на один градус.

108

Введем характерную для каждого газа величину , равную отношению теплоемкостей при постоянном давлении и при постоянном объеме:

Молекулярно-кинетическая теория позволяет установить связь между теплоемкостью идеального газа и числом степеней свободы молекул (классическая теория теплоемкости идеального газа). Для внутренней энергии идеального газа справедливы соотношения

(2.40) и (2.47):

В табл. 2.1 приведены значения СV, Сp и , получающиеся для различных молекул по этим формулам.

Таблица 2.1

109

Окончание табл. 2.1

В действительности теплоемкость имеет сложную зависимость от температуры и числа степеней свободы. Согласие между теорией и экспериментом можно признать удовлетворительным только для одно- и двухатомных молекул в оценочных задачах.

2.2.4. Адиабатический и политропические процессы

Адиабатический процесс

Адиабатическим (адиабатным) называется процесс, при кото-

ром отсутствует теплообмен между системой и окружающей сре-

дой: Q = 0.

Из первого закона термодинамики для таких процессов справедливо:

U + A = 0,

т.е. система может совершать работу только за счет своей внутренней энергии:

A = – U.

К адиабатическим можно отнести все быстропротекающие процессы.

Линию, изображающую адиабатический процесс, называют

адиабатой. Уравнение адиабаты идеального газа (уравнение Пуас-

сона) можно получить из уравнения Менделеева – Клапейрона и первого закона термодинамики:

110