Краткий курс общей физики

При наложении двух (или более) когерентных волн в разных точках пространства получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называется интерференцией волн.

Рассмотрим две волны, распространяющиеся от точечных источников O1 и O2, колеблющихся с постоянной разностью фаз (такие источники называют, как и порождаемые ими волны, когерентными). Определим результирующее колебание в какой-либо точке среды при условии, что оба колебания, вызываемые каждой из волн в отдельности, имеют одинаковое направление.

Пусть фазы колебаний источников O1 и O2 равны соответственно ( t + 1) и ( t + 2). Тогда колебание в данной точке будет равно сумме колебаний:

1(x, t) = A1 cos ( t – kr1 + 1) и 2(x, t) = A2 cos ( t – kr2 + 2),

где A1 и A2 – амплитуды волн в рассматриваемой точке; k – волновое число; r1 и r2 – расстояния от источников волн до рассматриваемой точки.

колебания усиливают друг друга, и результирующее движение представляет собой гармоническое колебание с частотой и ам-

плитудой (A1 + A2).

Условие (1.163) называется условием интерференционного

колебания ослабляют друг друга, и результирующее движение является гармоническим колебанием с амплитудой |A1 – A2|. В частном случае, когдаA1 = A2, колебаниявэтихточкахбудутотсутствовать.

Стоячие волны

Особым случаем интерференции являются стоячие волны – это колебательный процесс, наблюдающийся при наложении двух встречных волн с одинаковыми амплитудами и частотами.

Рассмотрим две плоские волны, распространяющиеся навстречу друг другу вдоль оси х в среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми частотами и амплитудами (см. соотношения (1.155) и (1.156)). Кроме того, начало координаты x и от-

71

счет времени t выберем для простоты таким образом, чтобы1 = 2 = 0. Тогда соответственно уравнения волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, и волны, распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид:

1(x, t) = A cos ( t – kx), 2(x, t) = A cos ( t + kx).

Сложив эти уравнения, преобразовав результат по формуле для суммы косинусов и учтя, что k = 2 / , получим уравнение стоячей волны:

= 1+ 2 = 2Acos kx cos t = 2A cos (2 x/ ) cos t. (1.165)

Из этого уравнения следует, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания одной и той же частоты с амплитудой Аст = = 2А cos (2 x/ ) , зависящей от координаты х рассматриваемой точки. В точках среды, где 2 x/ = m (m = 0, 1, 2, …), амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из этого условия получаются значения координат пучностей (рис. 1.36):

В точках среды, где 2 x/ = (m + 1/2) (m = 0, 1, 2, …), ам-

плитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не

72

фазами. При переходе через узел множитель 2A cos (2 x/ ) в уравнении (1.165) меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на , т.е. точки, лежащие по разные стороны отузла, колеблютсявпротивофазе.

Образование стоячих волн наблюдается при интерференции бегущей и отраженной волн. Что будет на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения получается пучность (рис. 1.36, а), если более плотная – узел (рис. 1.36, б). В случае стоячей волны переноса энергии не наблюдается.

Примеры решения задач

графики, отражающие зависимость проекции скорости vx и проекции ускорения ax от времени.

Р е ш е н и е. По приведенному графику видно, что амплитуда (максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия) А = 2 см = 0,02 м; период (время одного полного колеба-

ния) Т = 1,6 с. Следовательно, ω 2Тπ 1,62π 54π рад/с.

Вмомент времени t = 0 с тело находится в точке с координатой

x= A = 0,02 м. Подставляем это значение в уравнение x(t):

0,02 = 0,02sinα sinα = 1 π2 рад.

Подставляем в исходное уравнение значения А, ω и α:

Проекция скорости vx x A ω cos(ωt ).

73

Графикипроекцийскоростииускоренияпредставленынарисунке. ax, см/с2

t, с

t, с

№2. Уравнение колебания тела массой 2 кг имеет вид, см:

x5 cos π(t 0,1). Определите потенциальную энергию в момент

времени t = 5 с.

Р е ш е н и е. Согласно закону сохранения механической энергии сумма кинетической и потенциальной энергий гармонически колеблющегося тела остается одинаковой в любой момент времени, т.е.

Wк + Wп = Wк max = Wп max,

где Wк max, Wп max – максимальные кинетическая и потенциальная

энергии; Wк max m2vm2 ; Wп max kA22 .

74

№ 3. Однородный стержень длиной ℓ = 1 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии ℓ/4 от его верхнего конца. Определите период и частоту колебаний стержня.

Частота колебаний ν Т1 0,66 Гц.

№ 4. Найдите амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями, м:

y1 = 0,02 sin (5 t + /2); y2 = 0,03 sin(5 t + /4).

75

Д а н о: А1 = 0,02 м, А2 = 0,03 м, α1 =

=0,5π рад, α2 = 0,25π рад.

Ре ш е н ие. Воспользуемсяметодом век-

торныхдиаграмм. Векторы А1 и А2 вращаются

вокруг начала координат сугловой скоростью ω и начальными углами α1 и α2, законы колебаний y1(t) и y2(t) определяются проекциями этих векторов. Вектор результирующего коле-

бания А А1 А2 вращается с той же угловой

скоростьюωиначальнымугломα. Изправиласложениявекторовследует:

y3 = y1 + y2 = A1 + A2·sin α2 = 0,02 + 0,03·0,707 = 0,0412 м.

Из рисунка видно, что x3 = x2 = A2·cosα2 = 0,03·0,707 = 0,0212 м.

Уравнение результирующего колебания имеет вид, м: y3 = 0,0464 sin (5 t + 1,10).

№ 5. Математический маятник отклонился при первом колебании в одну сторону на 5 см, при втором колебании на 4 см в ту же сторону. Определите: а) декремент затухания; б) логарифмический декремент затухания.

Р е ш е н и е. Декремент затухания по определению – отношение двух последовательных амплитуд (через один период Т). По условию задачи A(t) = 5 см, A(t + T) = 4 см. Тогда

Логарифмический декремент затухания

№6. Задано уравнение плоской волны: ξ = A cos ( t – kx ), где

А= 0,5 см, = 628 рад/с, k = 2 м–1. Определите: 1) частоту колебаний и длину волны; 2) максимальное значение скорости колебаний частиц среды.

76

Р е ш е н и е. Частота колебаний связана с циклической часто-

Скорость колебаний частиц среды v = ξ' = A sin( t – kx ), максимальная скорость vm = A = 0,5·628 = 314 см/с = 3,14 м/с.

№ 7. Найдите разность фаз колебаний двух точек, находящихся на расстояниях соответственно 4 и 10 м от источника колебаний, если частотаколебаний25 Гц, скоростьраспространенияколебаний300 м/с.

Д а н о: x1 = 4 м, x2 = 10 м, ν = 20 Гц, v = 300 м/с.

Р е ш е н и е. Пусть в среде распространяется плоская волна вдоль направления х, заданная уравнением ξ = A sin ( t – kx); здесь разность ( t – kx) представляет собой фазу волны φ. Тогда в момент времени t0 разность фаз колебаний двух точек волны φ = φ1 – φ2 = = ( t0 – kx1) – ( t0 – kx2) = k(x2 – x1), где k 2λπ.

Скорость волны v = λν k 2v .

Отсюда 2πv (x2 x1 ) 2300π 25 (10 4) π рад.

1.4. Основы гидроаэромеханики

Гидроаэромеханика – раздел механики, изучающий равновесие

идвижение жидкостей и газов, их взаимодействие между собой

иобтекаемыми ими твердыми телами. В данном разделе используется единый подход к изучению жидкостей и газов.

Хотя свойства жидкостей и газов во многом различаются, в ряде механических явлений их поведение определяется одинаковыми параметрами и идентичными уравнениями.

Вмеханике жидкости и газы рассматриваются как сплошные, непрерывнораспределенныевзанятойимичастипространствасреды.

Главной особенностью жидкостей и газов является их текучесть, которая связана с малыми силами трения при относительном движении соприкасающихся слоев. При бесконечном уменьшении скорости отно-

77

сительногодвиженияслоевсилытрениямеждунимистремятсякнулю. Этимобъясняетсяотсутствиесилтренияпокоявжидкостяхигазах.

1.4.1. Статика жидкостей и газов

Если в покоящуюся жидкость поместить тонкую пластинку, то части жидкости, находящиеся по разные стороны от нее, будут действовать на каждый ее элемент площадью S с силами F. Эти силы независимо от того, как пластинка ориентирована, будут равны по модулю и направлены перпендикулярно S, так как наличие касательных сил привело бы частицы жидкости в движение.

Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости или газа на единицу площади, называется давлением жидкости или газа:

(1 Па = 1 Н/м2). Давление может также измеряться в атмосферах

(атм), миллиметрах ртутного столба (мм рт. ст.) и других едини-

цах. Полезно знать связь между ними:

1 атм = 760 мм рт. ст. = 1,013 105 Па.

Давлениеприравновесиижидкостей(газов) подчиняетсязакону Паскаля: давление в любом месте покоящейся жидкости (газа) одинаково передается по всем направлениям, иначе говоря, силы, действующие со стороны жидкости (газа) на маленькую пластинку (площадку), независятотееориентациивданнойточкепространства.

Давление в жидкостях, находящихся в силовых полях (например, в поле силы тяжести), увеличивается с глубиной. Давление, обусловленное весом верхних слоев жидкости, называется гидростатическим. При равновесии жидкости давление по горизонтали всегда одинаково, иначе не было бы равновесия. Поэтому свободная поверхность жидкости в состоянии покоя всегда горизонтальна вдали от стенок сосуда. Если жидкость несжимаема, то ее плот-

т.е. давление жидкости изменяется линейно с глубиной.

78

Полное давление в покоящейся жидкости складывается из атмосферного и гидростатического:

Силы давления на нижние слои будут больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость (газ), действует выталкивающая сила (рис. 1.37), определяемая законом Архимеда: на тело, по-

груженное в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости Рис. 1.37

(газа) направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа):

где плотность жидкости; V – объем вытесненной телом жидкости.

1.4.2. Движение жидкостей и газов

Воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения, называется идеальной.

Линиями тока называются такие линии, касательные к которым совпадают с векторами скорости движения жидкости в соответствующих точках пространства.

Поскольку величина и направление вектора скорости могут изменяться со временем, то и картина линий тока также может изменяться. Если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным, то течение называется установившимся или стационарным. Линии тока при стационарном течении совпадают с траек-

79

Возьмем трубку тока настолько тонкую, что для произвольного сечения скорость можно считать одинаковой в каждой точке этого сечения. За время t через сечение S трубки тока со скоростью v протекает жидкость объемом, равным S v t. Если жидкость несжимаема (т.е. плотность всюду одинакова и изменяться не может), то количество жидкости между произвольными сечениями S1 и S2 трубки тока (см. рис. 1.38) будет оставаться неизменным. Отсюда следует, что объемы жидкости, протекающие за единицу времени

т.е. скорость жидкости возрастает в сужающихся и падает в расширяющихся участках струи.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока и рассмотрим произвольные сечения S1 и S2 (см. рис. 1.38). Пусть в месте сечения S1 скорость течения равна v1, давление р1 ивысота, на

которой это сечение расположено, h1. Аналогично вместе сечения S2 скорость течения v2 , давление р2 и высота h2. По закону сохранения

энергиидляэтихсечений выполняетсяравенство:

ρ2v12 ρgh1 p1 ρ2v22 ρgh2 p2 ,

где плотность жидкости.

Поскольку сечения выбирались произвольно, то можем запи-

Соотношение (1.173) называется уравнением Бернулли. Оно является выражением закона сохранения энергии применительно к установившемусятечениюидеальной несжимаемойжидкости.

Величина р в формуле (1.173) называется статическим давлением

(давление жидкости на поверхности обтекаемого ею тела), 2v2 ди-

намическимдавлением, gh – гидростатическимдавлением.

80