Краткий курс общей физики

Для произвольной поверхности S поток вектора E

Напряженность поля точечного заряда определяется выражением (3.8). Линии поля в этом случае представляют собой цен- трально-симметричную систему радиальных прямых, направленных от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен (см. рис. 3.5, а и б).

Рассмотрим воображаемую сферическую поверхность радиусом r, в центре которой помещается положительный точечный за-

ряд q. В каждой точке этой поверхности En (1/ 4 0 ) q / r2. Следовательно, поток вектора E через поверхность

Это выражение не зависит от радиуса поверхности r. Это означает, что число линий поля на любом расстоянии от заряда одно и то же. Отсюда вытекает, что линии нигде, кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются; начавшись на положительном заряде, они заканчиваются на отрицательном заряде (в нашем случае на бесконечности). Источниками электростатического поля могут служить только заряды, причем мощность этих источ-

ников равна q/ 0.

Обобщив полученный результат на случай произвольного числа зарядов любого знака, приходим к теореме Гаусса: поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на 0:

Для заряда, распределенного по телу некоторым образом, используется понятие плотности электрического заряда.

Объемная плотность заряда (Кл/м3) – заряд в единице объема; поверхностная плотность заряда (Кл/м2) – заряд на единице пло-

щади; линейнаяплотностьзаряда (Кл/м) – заряднаединицедлины:

131

С помощью теоремы Гаусса можно рассчитать поля заряженных тел, обладающих элементами симметрии: поле бесконечной однородно заряженной плоскости; поле однородно заряженного бесконечного цилиндра; поле однородно заряженной сферы или шара.

ностями заряда и – (рис. 3.7, б) можно найти, используя принцип суперпозиции (3.7). Между плоскостями поля имеют одинаковое направление, слева и справа от плоскостей – противоположные, поэтому, напряженность оказывается отличной от нуля только между плоскостями:

Пример 3. Поле равномерно заряженной сферы радиусом R оказывается таким же, как и у точечного заряда вне сферы (рис. 3.7, в). Внутри поле отсутствует, так как там нет зарядов и силовым линиям негде было бы оканчиваться. Пусть q – заряд сферы, тогда:

132

С использованием (3.18) можно показать, что зависимость потенциала от расстояния вне сферы будет такая же, как у точечного заряда. Внутри потенциал такой же, как на поверхности, так как внутри поля нет:

3.1.5. Электростатическое поле в диэлектриках

Диэлектрики (изоляторы) – вещества, в которых заряды не могут перемещаться упорядоченно.

Атомы и молекулы состоят из положительно заряженных ядер

идвижущихся вокруг них отрицательно заряженных электронов. У диэлектриков заряды, входящие в состав молекулы, прочно связаны друг с другом и могут быть разъединены только при воздействии на них очень сильного поля. Поэтому заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, называются связанными. Под действием внешнего поля связанные заряды разных знаков лишь немного смещаются в противоположные стороны; покинуть пределы молекулы, в состав которой они входят, связанные заряды не могут.

Связанные заряды – это заряды, входящие в состав молекулы

ипрочно соединенные друг с другом.

Внутри или на поверхности диэлектрика могут находиться заряды, которые не входят в состав его молекул. Такие заряды, а также заряды, расположенные за пределами диэлектрика, мы будем называть сторонними.

Сторонние (свободные) заряды – это заряды, не входящие

всостав молекул диэлектрика.

Взависимости от взаимного расположения зарядов разных знаков наблюдаются два типа молекул. У молекул одного типа центры положительных и отрицательных зарядов смещены друг относительно друга. Такие молекулы называются полярными (HCl,

H2O). У молекул другого типа, называемых неполярными, вследствие их симметрии центры положительных и отрицательных зарядов

совпадают (H2, N2, O2).

Полярные молекулы подобны электрическому диполю.

133

Электрический диполь – система двух отличающихся только знаком точечных зарядов +q и –q, расстояние между которыми мало по сравнению с расстояниями до тех точек, в которых рассматривается поле системы. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя. Ориентацию оси диполя в пространстве

можно задать с помощью вектора , проведенного от заряда –q к заряду +q.

Электрический момент диполя (дипольный момент)

силы образуют пару, плечо которой равно sin . Модуль

Рис. 3.8 момента пары сил равен произведениюсилынаплечо:

Таким образом, однородное электрическое поле оказывает на диполь ориентирующее действие, стремясь установить его по полю.

Под действием внешнего электрического поля полярные и неполярные молекулы ведут себя по-разному. На полярные молекулы поле в основном оказывает ориентирующее действие, стремясь установить их дипольными моментами по полю. Величину дипольного момента полярной молекулы поле существенно не изменяет. Ориентирующему действию поля на полярные молекулы противится тепловое движение, которое стремится разбросать моменты молекул равномерно по всем направлениям. В результате противоборства этих двух тенденций устанавливается преимущественная ориентация дипольных моментов по полю, тем большая, чем сильнее поле и чем

134

ниже температура. Это приводит к тому, что вещество вцелом приобретает электрический дипольный момент или, как говорят, поляризуется. Такой вид поляризации называется ориентационной поляри-

зацией.

Действие поля на неполярную молекулу приводит к тому, что

(наведенный) дипольный момент, точно ориентированный по полю. Такая поляризация называется электронной. Экспериментально установлено, что взаимное смещение центров зарядов, а следовательно, и дипольный момент пропорциональны напряженности поля, т.е. силе, действующей на заряды. В этом отношении неполярная молекула сходна с пружиной, удлинение которой пропорционально приложенной к ней силе. По этой причине неполярные молекулы называются упругими диполями. Соответственно полярные молеку-

лы называют жесткими диполями.

Независимо от типа молекул диэлектрики под действием внешнего поля приобретают дипольный момент. Это явление назы-

вается поляризацией диэлектрика.

В качестве количественной характеристики поляризации естественно взять дипольный момент единицы объема диэлектрика, который называется поляризованностью диэлектрика и обозначается

буквой P (Клм2 ) :

Поляризованный диэлектрик становится источником электрического поля E , которое накладывается на поле сторонних зарядов E0 . В итоге возникает поле

(3.33)

Молекулы испытывают действие суммарного поля E . Поэтому и поляризованность диэлектрика определяется этим полем. Опыт показывает, что независимо от типа молекул в не слишком сильных полях поляризованность большинства изотропных диэлектриков (кроме сегнетоэлектриков) пропорциональна напряженности поля в этой точке:

135

где – не зависящая от E характеристика диэлектрика, называе-

мая диэлектрической восприимчивостью.

Электрическая постоянная 0 введена в формулу (3.34) для то-

го, чтобы сделать диэлектрическую восприимчивость безразмерной величиной.

Если нормальная составляющая напряженности поля E для данной поверхности отлична от нуля, то под действием поля заряды одного знака уходят внутрь, а заряды другого знака выходят наружу. В результате в тонком поверхностном слое диэлектрика возникает избыток связанных зарядов одного знака.

На поверхности тела могут располагаться не только связанные, но и сторонние заряды. Чтобы различить эти два случая, будем поверхностную плотность сторонних зарядов обозначать , а поверхностную плотность связанных зарядов – символом ', аналогично объемную плотность сторонних зарядов – символом , а объемную плотность связанных зарядов – символом '.

Связь поверхностной плотности связанных зарядов с поляризованностью и напряженностью такова:

где Pn – проекция поляризованности на внешнюю нормаль к поверхности; En – проекция напряженности поля внутри диэлектрика на внешнюю нормаль.

Связанные заряды, как и любые другие электрические заряды, являются источниками электрического поля, на них начинаются

или оканчиваются линии напряженности E. Для расчета полей в диэлектриках вместо напряженности E

более удобной оказывается величина D , силовые линии которой начинаются или оканчиваются только на сторонних зарядах:

Эта величина называется электрическим смещением поля (другое название: электрическая индукция). Связанные заряды не явля-

136

где безразмерная величина

называется диэлектрической проницаемостью вещества. Ее опре-

деляют экспериментально. В вакууме = 1, в воздухе 1, в воде= 81. Диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз ослабляется поле за счет диэлектрика.

Для электрического смещения D также можно сформулиро-

вать теорему Гаусса: поток электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, заключенных внутри этой поверхности:

Векторы E и D на границе раздела двух однородных и изотропных диэлектрических сред 1 и 2 с диэлектрическими прони-

цаемостями соответственно 1 и 2 должны удовлетворять определенным условиям, которые могут быть получены из теоремы Гаус-

са для D и теоремы о циркуляции E. Поскольку среды изотропны, из соображений симметрии следует, что векторы E1 и E2 лежат

в одной плоскости (аналогично для D1 и D2 ).

Линии вектора D могут начинаться или оканчиваться только на сторонних зарядах. Поэтому, если на границе раздела таких зарядов

нет, линии D проходят через границу, не прерываясь (рис. 3.9), причем их нормальные составляющие одинаковы в обоих диэлектриках (внепосредственнойблизостикграницераздела сред):

Соотношения (3.40)–(3.43) определяют условия, которым удовлетворяют векторы E и D на границе раздела двух диэлек-

137

триков. Из них вытекает, что тангенциальная составляющая вектора

E и нормальная составляющая вектора D при переходе через границу раздела изменяются непрерывно. Нормальная же составляю-

щая вектора E и тангенциальная составляющая вектора D при переходе через границу раздела изменяются скачком, т.е. претерпевают разрыв.

Это отношение выражает закон преломления линий электрического смещения (и линий напряженности поля).

3.1.6. Проводники в электростатическом поле

Условия равновесия зарядов на проводнике

Носители заряда в проводниках приходят в движение под действием сколь угодно малой силы. Поэтому для равновесия зарядов на проводнике необходимо выполнение двух условий (рис. 3.10):

1) напряженность поля внутри проводника должна быть равна нулю:

2) напряженность поля на поверхности про- Рис. 3.10 водника должна в каждой точке быть направлена

по нормали к поверхности:

Первое условие означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянным. Из второго условия следует, что в случае равновесиязарядовповерхностьпроводникаявляетсяэквипотенциальной.

Распределение зарядов на проводнике

Сообщенный проводнику заряд распределяется по поверхности проводника (иначе внутри поле было бы отлично от нуля).

В случае полого проводника избыточный заряд также распределяется по внешней поверхности. Линиям поля, начавшимся (окончившимся) на заряде, находящемся на поверхности полости, не на чем было бы окончиться (начаться) – в теле проводника линий поля нет, а внутри полости заряды отсутствуют.

138

Спомощью теоремы Гаусса для вектора D можно найти поле

уповерхности заряженного проводника:

где – диэлектрическая проницаемость среды, окружающей про-

верхности располагаются гуще, а значит, и напряженность поля здесь больше. Отсюда следует, что плотность заряда на выступах особенно велика. К такому же выводу можно прийти, учтя, что вследствие взаимного отталкивания заряды стремятся расположиться как можно дальше друг от друга.

Плотность заряда растет с увеличением положительной кривизны (выпуклости) поверхности и убывает с увеличением отрицательной кривизны (вогнутости). Особенно велика бывает плотность заряда на остриях.

При внесении незаряженного проводника в электрическое поле носители заряда приходят в движение: положительные в направ-

лении вектора E, отрицательные – в противоположную сторону.

139

напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю, а линии напряженности вне проводника – нормальными к его поверхности.

Таким образом, незаряженный проводник, внесенный в электрическое поле, разрывает часть линий напряженности – они оканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных.

Индуцированные заряды располагаются на внешней поверхности проводника. Если внутри проводника имеется полость, то при равновесном распределении индуцированных зарядов поле внутри нее равно нулю. На этом основывается электростатическая защита. Когда какой-то прибор хотят защитить от воздействия внешних полей, его окружают проводящим экраном. Внешнее поле компенсируется внутри экрана возникающими на его поверхности индуцированными зарядами.

Электроемкость

Сообщим некоторому уединенному проводнику заряд q. Этот заряд распределится по поверхности проводника так, чтобы выполнялись условия (3.45) и (3.46). Если сообщить проводнику еще такую порцию заряда q, она распределится по поверхности точно так же, как первая.

Это означает, что различные по величине заряды распределяются по поверхности уединенного проводника подобным образом: отношение плотностей заряда в двух произвольно взятых точках поверхности при любой величине заряда будет одним и тем же. Отсюда следует, что потенциал уединенного проводника пропорционален находящемуся на нем заряду: q = C .

Коэффициент пропорциональности C называется электроемкостью уединенного проводника,

Пример. С учетом (3.28) можно найти емкость шара радиусом R, погруженного в безграничный однородный и изотропный диэлектрик с проницаемостью :

140