Краткий курс общей физики

же. Поэтому в качестве модуля магнитной индукции можно принять величину, равную отношению Мmax/pm:

B Mmax , (3.80) pm

где Мmax – наибольшее значение вращающего момента, получающееся при = /2.

Итак, магнитная индукция есть векторная величина, модуль которой определяется выражением (3.80), а направление задается равновесным положениемположительнойнормаликконтурустоком.

Тогда модуль момента сил для произвольного угла будет определяться соотношением

модуль же момента определяется соотношением (3.81).

В соответствии с (3.80) единица В, называемая тесла (Тл), равна магнитной индукции однородного поля, в котором на плоский контур с током, имеющий магнитный момент 1 А м2, действует максимальный вращающий момент, равный 1 Н м.

Экспериментально установлено, что для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: индук-

ция поля B , порождаемого несколькими движущимися зарядами (токами), равна векторной сумме индукций полей Bi , порождаемых

Закон Био – Савара – Лапласа

Ж.Б. Био и Ф. Савар провели в 1820 г. исследование магнитных полей, создаваемых токами, текущими по тонким проводамразличной

161

формы. П. Лаплас проанализировал экспериментальные данные, полученные Био и Саваром, и установил зависимость, которая получила название закона Био – Савара – Лапласа. Согласно этому за-

кону магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными эле-

Приведем некоторые примеры полей, которые можно рассчитать с помощью закона Био – Савара – Лапласа.

Пример 1. Поле прямого тока – поле тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины.

Линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей (рис. 3.22, а). Зависимость магнитной индукции от расстояния r до провода выражается формулой

162

током. У такого соленоида поле оказывается однородным и сосредоточенным внутри соленоида:

модуль (рис. 3.23). Модуль вектора (3.90) определяется выражением

3.3.2. Закон Ампера. Сила Лоренца

Согласно закону, установленному Ампером, на элемент d тока

I состоронымагнитногополя B действуетсила(силаАмпера):

164

бы четыре вытянутых пальца располагались вдоль тока, а магнитная индукция «входила» в ладонь. Тогда отогнутый на 90 большой палец укажетнаправлениесилыАмпера.

B1 0 I1 .

2 b

Угол между элементом тока I2 и вектором B1 прямой. Тогда на элемент d тока I2 будет действовать сила

На основании формулы (3.94) устанавливается эталон силы тока в СИ – ампер. Ампер определяется как сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2 10–7 Н на каждый метр длины.

Сила Ампера (3.92) обусловлена тем, что магнитное поле действует на носители тока. От носителей тока действие силы передается проводнику, по которому они перемещаются. Из выражения для силы Ампера (3.92) можно найти силу, действующую со сторо-

165

пендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы v и B. Если

заряд положителен, направление силы можно определить по правилу левой руки, как для тока (за положительное направление тока принято направление движения положительных зарядов). В случае отрицательного заряда сила направлена в противоположную сторону. На рис. 3.26 показан пример определения направления силы Лоренца, действующей на положительный и отрицательный заряды со стороны магнитного поля (направленного от нас).

Магнитная сила всегда направлена перпендикулярно к скорости заряженной частицы, поэтому она работы над частицей не совершает. Следовательно, действуя на заряженную частицу постоянным магнитным полем, изменить ее энергию нельзя. Магнитная сила создает нормальное ускорение заряженной частицы.

Пример. Если заряд q движется в однородном магнитном поле

остается постоянным ( = /2).

В случае, когда частица движется в плоскости с постоянными по модулю скоростью и нормальным ускорением, траекторией является окружность, радиус которой определяется соотношением

Радиус окружности зависит от скорости частицы, магнитной индукции поля и отношения заряда частицы к ее массе. Отношение q/m называется удельным зарядом частицы.

Разделив длину окружности 2 R на скорость v, получим период обращения частицы, т.е. время, затрачиваемое на один оборот:

166

Из этой формулы следует, что период обращения частицы не зависит от ее скорости, он определяется только удельным зарядом частицы и магнитной индукцией поля (это обстоятельство лежит в основе действия циклотрона – циклического ускорителя элементарных частиц).

3.3.3. Поток и циркуляция вектора магнитной индукции

Единицей потока магнитной индукции (магнитного потока) яв-

ляется вебер, [ ФB ] = Вб.

В природе нет магнитных зарядов, вследствие чего линии B не имеют ни начала, ни конца – они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность. Поэтому магнитный поток через замкнутую по-

верхность должен быть равен нулю (сколько линий вектора B входит в замкнутую поверхность, столько же и выходит из нее). Следовательно, для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности S

поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую по-

верхность равен нулю.

Циркуляцию B d вектора B по контуру проще найти на

примере поля прямого тока (см. рис. 3.22, а). Для простоты возьмем контур в форме концентрической окружности радиусом r вокруг

167

проводника с током в ортогональной проводнику плоскости

(рис. 3.28).

ружности).

Для произвольного контура и нескольких токов получим сле-

где Ii – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром.

i

При этом токи, направления которых образуют с направлением обхода правовинтовую систему, берутся со знаком «плюс», ток противоположного направления будет отрицательным.

Таким образом, циркуляция вектора B по некоторому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром, ум-

ноженной на 0. Это утверждение называется теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции (в вакууме).

Сравним поток и циркуляцию электростатического и магнитного полейввакууме. Согласноформулам(3.10), (3.23), (3.102), (3.103):

Сопоставление этих формул показывает, что электростатическое и магнитное поля имеют существенно различный характер. Источниками электростатического поля являются заряды q. Магнитное поле не имеет источников. Циркуляция напряженности электростатического поля равна нулю; следовательно, электростатическое поле потенциально и может быть охарактеризовано потенциалом . Циркуляция вектора магнитной индукции пропорциональна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром.

168

Поэтому магнитному полю нельзя приписать скалярный потенциал, аналогичный потенциалу электростатического поля.

Поле, у которого циркуляция отлична от нуля, называется вих-

ревым или соленоидальным.

Таким образом, в то время как электростатическое поле потенциально, магнитное поле, в отличие от него, является вихревым.

3.3.4. Работа, совершаемая при перемещении тока в магнитном поле

поле будем считать однородным и перпендикулярным к плоскости контура.

В случае, изображенном на рис. 3.29, направление поля и направление положительной нормали n к контуру совпадают. Поэтому магнитный поток, пронизывающий контур, положителен и равен

BS (S – площадь контура). Сила F , действующая на провод в этом случае, направлена вправо и имеет модуль, равный IB . При перемещении провода вправо на dx эта сила совершает над ним положительную работу

dA F dx IB dx IB dS I d ,

где dS – приращение площади контура; dФ – приращение магнитного потока через контур, которое равно потоку, «пересеченному» проводом при его движении. В данном случае dФ > 0.

При перемещении провода влево работа силы F была бы отрицательной. Приращение магнитного потока также было бы отрицательным.

В любом случае совершенная над проводом работа равна силе тока, умноженной на пересеченный проводом магнитный поток:

169

Данное соотношение оказывается справедливым для провода любой формы, а также для провода, движущегося в неоднородном магнитном поле.

Чтобы получить работу, совершаемую в магнитном поле при конечном перемещении провода, нужно просуммировать элементарные работы (3.104), совершаемые на элементарных участках пути. В результате получим:

где Ф – изменение магнитного потока, пронизывающего контур (или поток, «пересеченный» проводом при его движении); ток в проводе предполагается постоянным.

Отметим, что работа (3.105) совершается не за счет энергии внешнего магнитного поля (это поле остается неизменным), а за счет источника тока, поддерживающего постоянной силу тока I.

3.3.5. Магнитное поле в веществе

Если в магнитное поле B0 , созданное в вакууме, поместить ка-

кое-либо вещество, то поле изменяется. Это объясняется тем, что всякое вещество является магнетиком, т.е. способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничивать-

ся). Намагниченное вещество создает дополнительное поле B , ко-

Истинное (микроскопическое) поле в магнетике сильно изме-

няется в пределах межмолекулярных расстояний. Под B подразумевается усредненное (макроскопическое) поле.

Для объяснения намагничивания тел Ампер предположил, что

вмолекулах вещества циркулируют круговые токи (молекулярные токи). Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создает

вокружающем пространстве магнитное поле. В отсутствие внешнего поля молекулярные токи ориентированы беспорядочным образом, поэтому обусловленное ими результирующее поле в среднем равно нулю. Вследствие хаотической ориентации магнитных моментов отдельных молекул суммарный магнитный момент тела также равен нулю. Под действием внешнего поля магнитные моменты молекул приобретают преимущественную ориентацию в од-

170