Краткий курс общей физики

щаемыми точечными источниками света, т.е. источниками, размеры которых малы по сравнению с размерами освещаемого тела и расстоянием до него.

Закон независимости световых пучков состоит в том,

что распространение всякого светового пучка совершенно не зависит от того, есть вокруг другие пучки света или нет. Световой пучок, прошедший через какую-либо область пространства, выходит из нее одним и тем же, независимо от того, заполнена она другим светом или не заполнена. Закон независимости световых пучков необходимо дополнить утверждением, определяющим совместное действие световых пучков при их наложении друг на друга. Оно состоит в том, что освещенность экрана, создаваемая несколькими световыми пучками, равна сумме освещенностей, создаваемых каждым пучком в отдельности.

На основе законов прямолинейного распространения и независимости световых пучков и сложилось представление о световых лучах. В математическом смысле луч есть линия, вдоль которой распространяется свет. Это – математическая абстракция. Реально существуют не математические лучи и бесконечно тонкие пучки света, а пучки конечного поперечного сечения, вырезаемые, например, диафрагмами. Поэтому под лучом в физическом смысле этого слова понимают конечный, но достаточно узкий световой пучок, который еще может существовать изолированно от других пучков.

Когда луч достигает плоской границы раздела двух прозрачных сред, он частично проходит во вторую среду (преломляется), час-

жит в плоскости падения, причем отношение синуса угла паденияк синусу угла преломления для данных сред есть величина по-

стоянная, не зависящая от угла падения (см. рис. 4.1), т.е.

211

Постоянная величина n21 называется относительным показа-

телем преломления второй среды относительно первой. Показа-

тель преломления среды относительно вакуума называется абсо-

лютным показателем преломления этой среды. Его обозначают че-

рез n, снабжая эту букву, если требуется, соответствующими индексами. Например, n1 – показатель преломления первой среды, а n2 – второй. Относительный показатель преломления n21 выражается через абсолютные показатели n1 и n2 соотношением

Cвет преломляется из-за различной скорости его распространения в разных средах. Абсолютный показатель преломления среды n показывает, во сколько раз скорость распространения света v в среде меньше, чем скорость света c в вакууме:

Значение n для слабо поглощающих (прозрачных) твердых тел меняется от 1,3 до 4,0; для жидкостей – от 1,2 до 1,9; для газов (при нормальных условиях) – от 1,000035 (Не) до 1,000702 (Xe).

Показатель преломления характеризует оптическую плотность среды. Среда с бо´льшим n называется оптически более плотной, чем среда с меньшим n (которая в этом случае называется

оптически менее плотной).

На рис. 4.1 показан пример падения луча из среды оптически менее плотной в среду, оптически более плотную, при этом > (в соответствии с законом (4.1)).

212

угол становится равным /2. Величину пр называют предельным углом падения. При углах падения, больших пр, свет во вторую среду не проникает, интенсивность отраженного луча равна интенсивности падающего. Этоявлениеназываетсяполнымвнутреннимотражением.

Явление полного отражения света используется в различных областях науки и техники – от поляризационных устройств до световодов (оптоволокно).

Точка O пересечения главной оптической оси с тонкой линзой называется оптическим центром линзы. Лучи, проходящие через оптический центр, не преломляются. Пучок лучей, параллельных главной оптической оси собирающей линзы, преломляясь на линзе, пересекается в одной точке – главном фокусе линзы F. Для рассеивающей линзы в фокусе пересекаются продолжения лучей (см. рис. 4.4, б). У каждой линзы имеется два главных фокуса. Плоскость, перпендикулярная главной оптической оси и проходящая через фокус, называется фо-

213

где a – расстояние от линзы до предмета; b – расстояние от линзы

214

Близорукие люди носят очки с рассеивающими линзами, оптическая сила которых отрицательна, дальнозоркие – с собирающими линзами, их оптическая сила положительна.

Еще одной характеристикой линзы является ее линейное увели-

чение:

4.1.3. Принцип Ферма

В однородной среде свет распространяется прямолинейно. В неоднородной среде световые лучи искривляются. Путь, по которому распространяется свет в неоднородной среде, может быть найден с помощью принципа, установленного французским математиком П. Ферма в 1662 г. Принцип Ферма гласит, что свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время.

Для прохождения участка пути ds свету нужно время dt = ds/v = (1/c) n ds.

Следовательно, время , затрачиваемое светом на прохождение пути от некоторой точки 1 до точки 2, можно вычислить по формуле

1 2 nds. c 1

215

Согласно принципу Ферма должно быть минимальным. Поскольку с – константа, то должна быть минимальной величина

которую называют оптической длиной пути. В однородной среде оптическая длина пути равна произведению геометрической длины пути s на показатель преломления среды n:

Принцип Ферма можно сформулировать следующим образом:

свет распространяется по такому пути, оптическая длина кото-

рого минимальна. Законы отражения и преломления можно доказать с помощью принципа Ферма.

Примеры решения задач

№ 1. Световой луч падает нормально на поверхность пластинки толщиной 50 мм, имеющей показатель преломления 1,2. Чему равно время распространения луча в пластинке? Определите разни-

цу между оптической и геометрической длинами пути этого луча.

Д а н о: Н = 5·10‒2 м; п = 1,2.

Р е ш е н и е. По определению абсолютный показатель преломления n vc , где с – скорость света в вакууме, с = 3·108 м/с; v – ско-

Геометрическая длина пути луча в пластине равна ее толщине (s = H), а оптическая длина пути

L = n·s = n·H L = n·H – H = H(n – 1) = 5·10‒2·0,2 = 1 см.

№ 2. Какова должна быть минимальная высота вертикального зеркала, чтобы человек ростом H мог видеть в нем свое изображение во весь рост? На какой высоте должен находиться нижний край этого зеркала?

216

Р е ш е н и е. Ход лучей, идущих от головы A и ног B человека, отраженных от зеркала З и попавших в глаз человека, показан на рисунке. Пунктирными линиями показаны продолжения лучей за плоскость зеркалаимнимоеизображениечеловека.

По закону отражения α = α'. Тогда

ACO = OCB h AC CB 12 H.

Нижний край зеркала должен находиться на высоте, равной половине роста человека.

№ 3. Луч света падает на стекло (показатель преломления 1,5). Преломленный луч перпендикулярен отраженному лучу. Чему равен угол падения?

Р е ш е н и е. По законам преломления и отражения

sinsin βα n ; α = α'.

По рисунку видно, что

β= 360° ‒ (90° + αʹ) = 90° ‒ αʹ = 90° ‒ α

sinβ = sin(90° ‒ α) = cosα

sinsin βα sincosαα tgα n. Отсюда α = arctg1,5 = 56,3°.

№4. Определите фокусное расстояние

иоптическую силу линзы, если при расстоянии 20 см от линзы до предмета мнимое изображение получается на расстоянии 10 см от линзы.

Д а н о: a = 20 см; b = 10 см.

Р е ш е н и е. Формула тонкой линзы в случае мнимого изображения

1f 1a b1 ,

217

где f ‒ фокусное расстояние линзы, a – расстояние от линзы до предмета; b – расстояние от линзы до изображения.

Отсюда

Знак «‒» говорит о том, что линза рассеивающая. Оптическая сила

4.2.Основы волновой оптики

4.2.1.Световая волна

Вволновой оптике под светом понимают электромагнитную волну, распространяющуюся в вакууме со скоростью света (см. (3.188))

c 1 0 0 3 108 м/с.

Абсолютный показатель преломления среды (4.3) с учетом (3.190) можно связать с ее электрическими свойствами:

(для большинства прозрачных веществ практически не отличается от единицы).

Напомним, что плоская электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль оси х, показанная на рис. 3.44, описывается урав-

нениями (3.189):

E Em cos( t kx ),H Hm cos( t kx ).

Значение начальной фазы определяется выбором начал отсчета t или x.

В электромагнитной волне колеблются векторы напряженности электрического и магнитного полей. Как показывает опыт, физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызываются колебаниями электрического вектора. В соответствии с этим будем в дальнейшем говорить о так называемом све-

218

товом векторе, подразумевая под ним вектор напряженности электрического поля.

Обозначим модуль амплитуды Em светового вектора буквой A.

Закон, по которому изменяется во времени и в пространстве проекция светового вектора (см. рис. 3.44), называется уравнением све-

товой волны,

где A – амплитуда световой волны. Для плоской волны (4.11), рас-

пространяющейся в непоглощающей свет среде, A = const. Для сферической волны A убывает, как 1/r, поэтому

где r – расстояние, отсчитываемое вдоль направления распространения световой волны.

Интенсивность света J (световой волны) согласно (3.194) пропорциональна амплитудам напряженностей электрического и магнитного полей волны, а следовательно, с учетом (3.190) пропорциональна квадрату амплитуды световой волны:

Длины волн 0 видимого света заключены в пределах 400– 760 нм. Ультрафиолетовым называется излучение с длиной волны, меньшей 400 нм, инфракрасным – излучение с длиной волны, большей 760 нм.

Эти значения относятся к световым волнам в вакууме. В случае колебаний частоты длина волны в вакууме 0 = c/ . В среде с показателем преломления n длины световых волн иные:

= v/υ = c/( n),

откуда

Таким образом, в веществе длина волны в n раз меньше, чем

ввакууме.

Вслучае, если абсолютный показатель преломления среды за-

висит от частоты (длины волны 0) света, говорят о дисперсии света. Следствием дисперсии является разложение в спектр (от

219

красного до фиолетового) пучка белого света при прохождении его через призму.

Воспользовавшись условием (3.42) на границе двух диэлектриков, можно показать, что при отражении световой волны от границы среды, оптически менее плотной, со средой, оптически более плотной (при n1 < n2), фаза колебаний светового вектора претерпевает изменение на . При отражении от границы раздела среды, оптически более плотной, со средой, оптически менее плотной (при n1 > n2), такого изменения фазы не происходит.

Монохроматическая световая волна (т.е. волна с точно определенной частотой), описываемая уравнениями (4.11) или (4.12), представляет собой процесс, не ограниченный во времени и в пространстве (см. рис. 3.44). Такая волна является абстракцией и практически реализоваться не может. В реальной световой волне фаза (а также амплитуда и частота) изменяется беспорядочным образом с течением времени, а также при перемещении от одной точки пространства к другой, поскольку является наложением волн с длинами волн, заключенными в некотором интервале . В белом светеохватывает весь диапазон воспринимаемых глазом электромагнитных волн, т. е. простирается от 400 до 760 нм. Свет, у которого<< , называется квазимонохроматическим (лат. «квази» означает «мнимо»).

4.2.2. Интерференция света

Понятие интерференции

Пусть две световые волны одинаковой частоты, накладываясь друг на друга, возбуждают в некоторой точке пространства колебания одинакового направления:

A1 cos( t + 1), A2 cos( t + 2).

Амплитуда A результирующего колебания в данной точке определяется выражением (1.114):

A2 A12 A22 2A1 A2 cos( 2 1 ) ,

а интенсивность света (с учетом (4.13))

220