Краткий курс общей физики

Средняя скорость перемещения vср – отношение перемещения к затраченному на него времени:

Скорость (мгновенная)

Быстрота изменения скорости со временем характеризуется ускорением. Средним ускорением aср называют отношение изменения

где компоненты – это проекции на координатные оси этих векторов:

11

12

Нормальным (центростремительным) ускорением an называ-

ется составляющая ускорения, обусловленная изменением направления движения (т.е. вектора ):

где an v2 .

R

Модуль ускорения

Примеры:

1. При равномерном прямолинейном движении точки вдоль оси x

Закон равномерного движения:

xx0 vxt.

2.При равнопеременном прямолинейном движении

Исключив параметр времени t из уравнений (1.17), (1.18), можно прийти к полезному соотношению:

3. При равномерном движении по окружности радиусом R

13

Закон движения:

0 v (t t0 ),

где – криволинейная координата, направленная вдоль траектории

(см. рис. 1.5).

4. При равнопеременном движении по окружности радиусом R

Закон изменения скорости: v v0 a (t t0 ). Закон движения: 0 v0 (t t0 ) 12 a (t t0 )2 .

Примечание. При поступательном движении абсолютно твердого тела скорости и ускорения всех точек равны по величине и направлению, а траектории всех точек одинаковы, поэтому кинематику поступательно движущегося твердого тела рассматривают как кинематику точки.

1.1.2. Кинематика вращательного движения

Вращательное движение абсолютно твердого тела – движение, при котором все точки тела в данный момент движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Пусть твердое тело, вращаясь вокруг некоторой оси OO , совершило за время dt бесконечно малый поворот. Соответ-

ствующий угол поворота будем характеризовать вектором dφ, модуль которого равен углу поворота dφ, а направление совпадает с осью OO , причем так, что направление поворота отвечает правилу правого винта по отношению к направлению вектора dφ

(рис. 1.6). Единица измерения угла поворота – радиан, [ ] = рад. Положение некоторой точки A зададим радиусом-вектором r ,

проведенным из некоторой точки O на оси вращения. Тогда модуль линейного перемещения dr точки A связан с углом поворота dφ

14

диус-вектор r можно считать неизменным.

Введенный вектор dφ удовлетворяет свойству коммутативности

с вектором dφ и проходящей через точку O.

В отличие от таких величин, как r , v , a , векторы типа dφ,

направление которых связывают с направлением вращения, назы-

вают псевдовекторами или аксиальными векторами.

15

Угловая скорость

где dt – промежуток времени, за который тело совершает поворот dφ.

Как следует из определения, вектор ω совпадает по направлению с вектором dφ и представляет собой псевдовектор, направленный вдоль оси вращения. Единица измерения угловой скорости –

радиан в секунду, [ ] = рад/с.

Рассмотрим движение твердого тела, вращающегося с угловой

скоростью ω1 вокруг оси OA (рис. 1.7), которая, в свою очередь, вращается вокруг оси OB с угловой скоростью ω2 . За промежуток времени dt тело совершит поворот dφ1 вокруг оси OA и одновременно поворот dφ2 вокруг оси OB.

Вращение вокруг неподвижной оси – частный случай вращатель-

ного движения. В этом случае траекториями всех точек являются окружности, центрыкоторыхлежатнаоднойнеподвижнойпрямой.

Положение тела в пространстве определяется углом поворота.

16

Положительное направление оси свяжем с положительным направлением угловой координаты (угла поворота ) правилом правого винта (рис. 1.8).

В случае неподвижной оси угловая скорость характеризуется алгебраической величиной:

с положительным направлением оси Z, если же ωz 0, то направление вектора ω противоположно(такжеидляугловогоускорения).

1.1.3. Связь между линейными и угловыми величинами

Поделив соотношение (1.20) на соответствующий промежуток

17

В общем случае нахождение скорости и ускорения точек тела является непростой задачей, уже хотя бы потому, что при повороте оси вращения точка O не является неподвижной, хотя скорость точки тела в ней равна нулю (по определению). Сложность, в частно-

сти, состоит в определении координат радиуса-вектора r .

В случае неподвижной оси ε|| ω, поэтому первое слагаемое со-

отношения (1.30) будет представлять собой тангенциальное ускорение:

а второе слагаемое – нормальное ускорение:

18

Примеры решения задач

№ 1. Уравнение движения точки по прямой имеет вид:

х = А + B t + C t3 (А = 4 м, В = 2 м/с, С = 0,2 м/с3). Найдите сред-

нюю скорость за промежуток времени от 2 до 5 с.

Ре ш е н и е.

vx x x2 x1 (4 2 5 0,2 53 ) (4 2 2 0,2 23 )

t t2 t1 5 2

2м/с2.

№3. Автомобиль начинает движение с ускорением 1 м/с2. Проезжая мимо наблюдателя, он имел скорость 10,5 м/с. На каком расстоянии от наблюдателя он находился секунду назад?

Р е ш е н и е. Кинематическое уравнение равнопеременного

v0 – начальная скорость, t – время. Скорость точки при равнопеременном движении v = v0 + at.

Если автомобиль начинает движение, то v0 = 0, и v = at. Найдем время движения до наблюдателя:

t1 av 10,51 10,5 c; t2 = 10,5–1 = 9,5 с.

19

Получим: х1 – х2 = 55,125 – 45,125 = 10 м.

№ 4. Тело падает вертикально с высоты Н = 19,6 м с нулевой начальной скоростью. За какое время тело пройдет первый и последний метры своего пути?

Время прохождения последнего метра найдем как разность времен прохождения путей H (время падения tпад) и h (время t0):

t2 = tпад – t0 = 2 – 1,948 = 0,052 с.

№ 5. Линейная скорость точек на ободе вращающегося диска равна 3 м/с. Точки, расположенные на 0,1 м ближе к оси вращения, имеют линейную скорость 2 м/с. Каковы угловая скорость и частота вращения диска?

Д а н о: v1 = 3 м/с, v2 = 2 м/с, R = R1 – R2 = 0,1 м.

Р е ш е н и е. Угловая скорость всех точек диска одинакова

20