Статистическая механика композитных материалов

При ограниченных размерах тела тензор Грина состо­ ит из двух слагаемых:

G (х, х') = G (х, х') + G' (х, х').

Функция G'(x, х') регулярна в открытой области V (в теле Г* без границы S). На границе 5 она равна тен­

зору G(x, х') и противоположна по знаку, поскольку со­ ставляющие Gij(x, х') тензора Грина на границе S рав­ ны нулю.

Определение тензора Грина G(x, х')"для тел ограни­ ченных размеров сводится к определению функции G'(x, х'). Эта задача по сложности не уступает задачам клас­ сической теории упругости однородных изотропных тел с детерминированными свойствами [88]. Метод функций Грина не имеет преимуществ перед другими методами классической теории упругости, однако он оказывается полезным при решении статистических задач типа II.

Тензор Грина в случае однонаправленной композит­ ной среды. Рассмотрим однонаправленную композитную среду, трансверсально-изотропную в отношении макро­ скопических свойств. Симметрия тензора средних моду­ лей упругости С такой среды зависит от симметрии мо­ дулей упругости компонентов. В случае анизотропных компонентов С — трансверсально-изотропный тензор. Ме­ тод построения тензора Грина для анизотропной упругой среды предложен И. М. Лифшицем и Л. Н. Розенцвейгом

[93]. В этой же работе в конечном виде получен тензор Грина для трансверсально-изотропной среды (см. также

[94]). Его выражение громоздко и поэтому здесь не при­

уравнений (2.47) при детерминированных перемещениях границ (задача И) существенно упрощается.

Система уравнений, задающих компоненты тензора

перпендикулярной плоскости изотропии свойств, равны нулю. Тогда система (2.57) распадается на систему

для ^33 (х, х'). Здесь / и т — средние значения постоянных Ламе.

Применяя, например, метод, основанный на преобра­ зовании Фурье, записываем матрицу составляющих тен­ зора Грина G(x, х'), симметричную относительно диаго­ нали:

82

5. ОБ УПРУГОМ КОНТАКТЕ СТРУКТУРНО­ НЕОДНОРОДНЫХ ШЕРОХОВАТЫХ ТЕЛ

Рассматривается взаимодействие структурно-неодно­ родных тел, к которым относятся, в частности, композит­ ные материалы, с учетом случайных свойств структурных составляющих и совместного влияния неоднородной

торых заданы радиусы-векторы точек х1 и х11, связаны с соответствующим 1гелом (рис. 16); г)1 (х1) и г)п (хи) — случайные поля шероховатости границ, по которым про­ исходит контакт тел. В случае, если размеры неровностей малы (как и элементы структуры, они имеют порядок

е%), можно полагать, что границы в среднем гладкие. В дальнейшем будем полагать, что поля упругих свойств и шероховатостей тел — статистически однородные и эргодические. Далее, пусть р — вектор средней интенсивно­ сти внешней нагрузки на границе тел — макроскопически гладкая функция координат (р^ const на участке е*/0). Тогда напряженное и деформированное состояние каждо­

где е, х — напряжения, деформации и перемещения — случайные поля вследствие неоднородной микрострукту­ ры тел и шероховатости границ.

Система (2.61) эквивалентна системе дифференциаль­ ных уравнений относительно флуктуаций перемещений

сматриваемой задачи (для полупространства), удовлетворяю­ щая системе уравнений

В силу свойства б-функции

j б (х — хЛ) Е• %°dV — х°'

V

(штрихи здесь и далее обозначают функцию от х'). Поэтому из уравнений (2.64) следует

84

+ j (v-C ..Vx?)-GdS.

Согласно теореме Максвелла, G(x, x') = G*(x\ x), где звездочка означает транспонирование. После замены обозна­ чений точек х+±х' получаем следующую систему интегродифференциальных уравнений:

Система (2.65) ютличается от системы (2.48) наличи­ ем третьего слагаемого в правой части.

Совместное решение уравнений (2.65) для тел I и II находим по методу итераций. В первом приближении по­ лагаем

Условие контакта имеет вид ri1 +'Пп + u > h (см. рис. 16). Здесь и = и13 и131 — сближение, известное из решения

классической краевой задачи теории упругости для данного вида контакта (ы* и и\1— проекции перемещений). Функ­

ции Хд и yXs на границе выражаются через величину h:

85

Для определения неизвестной величины h найдем отно­ сительную площадь контакта на участке размером AS = —е2 /2

Вероятность Р (ч1+ rj11> h — и) находится в результате решения задачи о пересечении случайных полей г]1 и rj11. Кроме того, выполняются условия равновесия на границе тела I:

(A S )

где Is = С --e + 0°--e + C--vXs + ®°--VXs

Таким образом, имеем систему уравнений (2.67) —

(2.69), из которой находится xsВторое приближение по­ лучаем, подставляя (2.66) в (2.65). Продолжая анало­ гичные операции, находим решение рассматриваемой за­ дачи относительно флуктуаций перемещений х10 и хи°- Выражаем флуктуации напряжений через флуктуации

перемещений:

|° = 0° - - е + С - • ух° + 0°* • VX°— h- -е,

где h — поправка к макроскопическим модулям упруго­ сти (см. пп. 1, 2, гл. 3), и находим распределение случай­ ных напряжений по одному из методов, описанных в гл. 4.

6. О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Уравнения в моментных функциях. Ниже рассматри­ ваются некоторые методы решения статистической кра­ евой задачи теории упругости для структурно-неоднород­ ной композитной среды при заданных на границе детер­ минированных перемещениях (задача II согласно п. 4 гл. 2). Решение этой задачи позволяет исследовать эф­ фекты, обусловленные неоднородной структурой компо­ зитных материалов.

86

Результат решения статистической краевой задачи при полной постановке — многоточечные законы распре­ деления случайных напряжений, деформаций и переме­ щений, при частичной постановке — моментные функции соответствующих случайных полей. Частичная постанов­ ка задачи наиболее исследована, поэтому рассматривает­ ся первой.

Пусть модули упругости композитной среды 0 (х) — статистически однородные и локально-эргодические слу­ чайные подя; случайные поля напряжений §(х), дефор­ маций е(х) и перемещений х(х) — макроскопически глад­

ческие напряжения, деформации и перемещения. Приме­ няя оператор математического ожидания к уравнениям (2.44), получаем систему уравнений рассматриваемой за­ дачи в моментных функциях первого порядка:

структуры.

При изложенных выше предположениях уравнения (2.70) совпадают с уравнениями классической краевой задачи теории упругости, методы решения которой при заданных на границе перемещениях известны (см., на­ пример, [88, 95—98]).

Уравнения краевой задачи термоупругости получим, заменив физические уравнения системы (2.70) уравне­

87

ниями, полученными в результате применения оператора математического ожидания к (2.36'):

Здесь а° — тензор макроскопических коэффициентов ли­ нейного теплового расширения; / — детерминированная разность температур естественного (напряженного) со­ стояния и эксплуатации.

Флуктуации деформаций е°, входящие в уравнение (2.72), при детерминированных перемещениях границ

интегродифференциальных уравнений (2.74) по методу ите­ раций, в первом приближении полагаем

i= 1

приравнивая правые части, получаем макроскопические по­ стоянные С° и а°. При этом выражения для С° совпадают с вычисленными по формулам (2.71).

Уравнения для центральных моментных функций вто­ рого и более высоких порядков получаются -по следующе­ му общему правилу: записываются флуктуации напряже­ ний, деформаций или перемещений в двух или нескольких точках, перемножаются и к произведению применяется оператор математического ожидания. Здесь, как и при получении уравнений в моментных функциях первого по­

88

рядка, математические ожидания напряжений, деформа­ ций и перемещений могут быть вынесены за знак опера­ тора математического ожидания ввиду макрогладкости случайных полей напряжений, деформаций и перемеще­ ний и локальной эргодичности случайного поля модулей упругости. В частности, для моментных функций случай­ ных напряжений имеем

гласно (2.71), сводится к вычислению интегралов от мо­ ментных функций поля 0(х).

Другой метод вывода уравнений в моментных функци­ ях, согласно которому составляются системы уравнений для предварительно сконструированных смешанных мо­ ментных функций случайных полей свойств и параметров состояния, применен Л. П. Хорошуном 1[99].

Различные методы решения в моментных функциях статистических краевых задач теории упругости структур­ но-неоднородных тел исследованы в работах [2—5, 99,

.100]. Результаты решения зависят в первую очередь от вида координатной зависимости моментных функций слу­ чайных полей модулей упругости. Как видно из выраже­ ний (2.71) и (2.77), даже для вычисления корреляцион­ ных моментов напряжений и деформаций требуется вы­ числить интегралы от моментных функций высших порядков. Экспериментальное и аналитическое постро­ ение моментных функций высших порядков — трудоем­ кий процесс, не всегда обеспечивающий необходимую точность (см. п. 4 гл. 1). Вычисление интегралов от мо­ ментных функций выше второго, порядка произвольного вида громоздкое и далеко не всегда выполняется в эле­ ментарных функциях. Для упрощения вычислений накла­

89

дываются ограничения на вид координатной зависимо­ сти моментных функций свойств, т. е., по существу, на структуру материала. Случай предельно локальной за­ висимости, позволяющий упростить вычисления, рас­ смотрен е п. 1 гл. 4. При этом напряжения в компонентах материала (условные начальные моменты первого поряд­ ка) оказываются детерминированными, т. е. недостаточно полно учитываются эффекты, связанные с формой и рас­ положением элементов структуры. Ограничиться лишь моментными функциями первых порядков — это значит потерять часть информаций о случайном поле свойств и снизить точность построения законов распределения по вычисленным моментам. Таким образом, нужны более эффективные методы решения статистических краевых задач типа II.

Вычисление статистических характеристик или зако­ на распределения лапряжений или деформаций сводится к выполнению двух операций интегрирования: по коор­ динатам и по пространству реализаций (осреднения). При вычислениях в моментных функциях операция осреднения предшествует операции интегрирования по координатам. Такой порядок действия вполнеестествен­ ный при вычислении лишь некоторых моментов случайно­ го поля состояния структурно-неоднородного тела, например поправок к макроскопическим модулям упру­ гости [16, 53, 61, 62, 86, 101—104]. Именно этот путь вы­ числений был указан в основополагающей работе И. М. Лифшица и Л. Н. Розенцвейга '[53]. При исследо­ вании случайных полей напряжений и деформаций прово­ дить вычисления в моментных функциях нецелесообраз­ но. В этом случае предпочтительнее прежде выполнить интегрирование по координатам для некоторой реализа­ ции случайного поля свойств, а затем, имея некоторую совокупность реализаций случайных величин, задающих состояние среды, построить закон распределения или най­ ти некоторые параметры. Возможность изменения после­ довательности интегрирования и осреднения обсуждалась в работе 1[53], однако до сих пор фактически не была реализована, хотя некоторые тенденции этого подхода можно найти в работах [105—107].

Рассмотрим статистическую краевую задачу теории упругости для двухкомпонентной среды с изотропными компонентами. Представление общего решения задачи от­

90