Статистическая механика композитных материалов

компонентах хаотически армированной среды имеем в корреляционном приближении

пишем сначала в корреляционном приближении составляю­

131

9*

( * * - f ° * )

Ввиду того, что тензор V в случае однонаправленно армированной среды не обладает свойством изотропии, получение в общем виде простых выражений, подобных (4.7), для напряжений в компонентах этой среды невоз­ можно.

Как и в корреляционном приближении, вычисление моментов ( Х°г° ) с учетом моментных функций высших порядков сводится к вычислению тех же интегралов, что и при нахождении поправок hW (i = 2, 3, ...). Эти вычисле­ ния проделаны для'моментных функций, обладающих предельно локальной координатной зависимостью (см. пп. 1,2 гл. 3). Следовательно, при тех же предполо­ жениях относительно моментных функций упругих свойств на основании результатов п. 1 гл. 3 можно запи­ сать средние напряжения в компонентах. Для хаотически армированной среды они выражаются формулой (4.7), где следует положить

< k\hj > = — < h h j > =D%)Fijареар;

Fijmn. = F'6ifimn + Fff(8im8jn +

-fG*(K+2G)(G + G*)

+

5G Ы + у G) + 2G (K + 2G) (1 — 2P)

r _ Q*__________ 2G*(K + 2G)(G + G*)________

6G (/C + - | G^ + 2G*{K+2G){\— 2P)

Подставляя эти значения в формулу (4.7), в резуль­ тате преобразований приходим к формулам для средних напряжений в компонентах, полученных другим методом в работе ![99].

При одноосном растяжении-сжатии напряжением рзэ

132

(вдоль оси Яз) получаем следующие средние напряжения в наполнителе (I) и связующем (II):

Изложенный выше метод пригоден для вычисления средних значений начальных (термоструктурных и уса­ дочных) напряжений в компонентах материала. При этом используется решение соответствующей статистической краевой задачи.

Средние значения начальных напряжений в компо­ нентах. Причинами возникновения начальных напряже­ ний в армированных и наполненных полимерах являются изменение объема связующего в результате полимериза­ ции или поликонденсации (химическая усадка) и различ­

связующего приводит, естественно, к более высоким зна­ чениям напряжений по сравнению с действительно воз­ никающими в материале, поэтому решение упругой зада­ чи о начальных напряжениях в данном случае следует рассматривать в качестве первого приближения. В то же

ний в армированных полимерах от температуры отверж­ дения, что оправдывает применение методов теории упру­ гости.

Рассматривая задачу о начальных напряжениях, при­ мем р=5=0, е = а°t (внешние силы отсутствуют). Тогда, используя представление флуктуаций деформаций в фор-

133

напряжений, где по условию задачи рц = 0. Вычисления в предположении предельно локальной координатной зави­ симости моментных функций проводим так же, как и в п. 1 гл. 3.

Так как р = 0, то напряжения в компонентах опреде­ ляются как суммы усадочных и температурных напряже­

ний; px = py+pi; рП =Ру1+Рт1 В результате вычислений получаем средние значения температурных и усадочных напряжений в компонентах. В рассматриваемом случае они представляют собой шаровой тензор, его диагональ­ ные составляющие вычисляются по формулам

в связующем — положительные (растягивающие). Этим объясняется, в частности, обычное снижение прочности с увеличением усадки связующего. Однако в некоторых случаях наличие начальных напряжений может привести к обратному эффекту [137, 138]. Напряжения от

134

внешней нагрузки могут снизить уровень опасных рас­ тягивающих напряжений, обусловленных химической усадкой связующего и охлаждением изделия после изго­ товления. Вероятность разрушения связующего при дей­ ствии сжимающей нагрузки в направлении х3 уменьша­ ется с увеличением начальных напряжений, т. е. с увели­ чением усадки.

Отмеченный эффект имеет место лишь в некоторой об­ ласти соотношений свойств компонентов. За пределами этой области может действовать иной механизм разруше­ ния. С другой стороны, при действии средних растяги­ вающих напряжений в композиции положительная корре­ ляция прочности и усадки для исследованного материала не должна наблюдаться.

Вычислим средние значения начальных (термострук­ турных) напряжений в однонаправленно армированном композитном материале с изотропными компонентами.

Средние значения напряжений, обусловленных хими­ ческой усадкой связующего, получаются из формул (4.12), если заменить аЧ, а1Ч на Ь1, Ьп соответственно.

Формулы (4.9) — (4.12) получены как суммы беско­ нечных степенных рядов, поэтому они справедливы, если

135

ряды сходятся. Условия сходимости рядов сводятся к ограничениям на содержание арматуры и соотношения между свойствами компонентов. Ряды сходятся, если

P > ( G 1 ~ 3Gn )(4G* ) _1

и

( к 1------ G1— ЗКП— — G"

А__ _________

^3 {К* + G*)

Вчастности, для стеклопластиков записанные выше формулы (4.9) — (4.12) справедливы при содержании

стекловолокна более 2 2 % (по объему), т. е. почти для всех технических материалов.

Сравним результаты вычислений по приведенным вы­ ше формулам с результатами вычислений по формулам других авторов. В качестве исходных данных примем сле­ дующие значения модулей Юнга, коэффициентов Пуассо­ на и коэффициентов линейного расширения арматуры и

содержание арматуры Р = 0,56. В результате вычислений по формулам (4.12) получаем следующие значения тем­ пературных напряжений в компонентах (в Н/м2 -103):

Рпт = — 3/; рззт “ 4,51\ pliT= 3,71\ pllT = b,7t. Вычисления по формулам работы [29] на основании стержне­

вой модели однонаправленного стеклопластика дают: /?ззт=

= — 4,8/; p\lT = 2 J t (размерность та же).

Таким образом, напряжения в арматуре практически совпадают, напряжения в связующем отличаются значи­ тельно. Последнее обусловлено, очевидно, тем, что стерж­ невая модель не позволяет учесть деформации в плоско­ сти, перпендикулярной направлению армирования. На­ дежные экспериментальные данные, позволяющие проверить справедливость полученных формул для на­ пряжений, к сожалению, отсутствуют.

Напряжения, возникающие при структурообразовании полимеров. Применим изложенный метод для анали­ за (в упругом приближении) напряжений, которые воз­ никают в аморфной и упорядоченной областях квазиизотропного полимера при структурообразовании [139].

136

Экспериментально установлено [140—142], что кри­ сталлиты в полимерах весьма несовершенны. Кроме того, наряду с кристаллитами в полимерах одновременно воз­ никают сферолиты и другие надмолекулярные образоваг ния, свойства которых различаются. Поэтому свойства надмолекулярных образований (модули упругости, коэф­ фициенты линейного расширения и усадки) описываются случайными изотропными тензорами в1, а1, 01, свойства аморфной области — также изотропными, но детермини­ рованными тензорами Сп, а11 соответственно (Ьп = 0). Тогда

® (х) = в'Цх) + С11 [1 — Цх)];

а(х) = а ,Цх) + аи[1 -Ц х)]; р(х) = р'Л(х),

где Я(х) — случайное поле, описывающее расположение надмолекулярных образований (индикаторная функция подмножества точек, принадлежащих надмолекулярным образованиям).

Случайные поля 0 (х), а(х), р(х) предполагаются статистически однородными, изотропными и эргодическими по отношению к моментиым функциям произвольного порядка. Предполагается также, что свойства надмоле­ кулярных образований 0 1, а1, р1 статистически не зави­ сят от расположения (от Я). Исследование моментных функций свойств (см. п. 5 гл. 1) показывает более слож­ ную структуру их координатной зависимости по сравне­ нию с моментными функциями двухкомпонентной среды, свойства компонентов которой детерминированные.

При отсутствии внешних сил < £ ) = 0 , тогда средние напряжения в упбрядоченной р1 и аморфной рп областях полимера, возникающие при структурообразовании, пред­

137

Индекс «т» относится к напряжениям, обусловленным из­ менением температуры полимера, индекс «у». — к напря­ жениям усадочного происхождения, обусловленным изме­ нением объема в результате упорядочения молекулярных систем при структурообразовании. Надо заметить, что разложение на температурные и усадочные составляю­ щие для моментов высших порядков распределения на­ пряжений возможно лишь при отсутствии статистической связи между а1 и р1.

138

Knl= < (и10)па 01 > ; а 1С= а 1— а1;

т=-- < ц > ; К - К 1Р + К п {1— Р)\ К* = К1— К и \

х1, ц1— случайные модули объемной деформации и сдвига надмолекулярных образований.

Формулы (4.14), (4.15) получены как суммы беско­ нечных рядов. Эти ряды сходятся при условиях: |g |< l, распределения свойств надмолекулярных образований ограничены и \q\{K'—/С1) < 1 , где К' — верхняя граница модулей объемной деформации надлюлекулярных об­ разований. Перечисленные условия выполняются для большинства технических материалов.

Напряжения Ру и ру1, а также макроскопические коэф­ фициенты усадки Ь° получаются по формулам (4.14) и (4.15) , если аЧ заменить всюду на (З1. При этом возмож­ ны упрощения ввиду того, что Ьи = 0 .

Вычисления по выведенным формулам дают верхнюю границу для средних напряжений в элементах структуры полимера, поскольку за счет высокоэластических дефор­ маций напряжения релаксируют. В случае линейного вязкоупругого поведения полимера в формулах (4.14) и (4.15) , согласно принципу Вольтерра—Работнова, вме­ сто упругих постоянных следует ввести соответствующие временные операторы.

Формулы (4.14), (4.15) дают возможность проследить влияние неоднородности надмолекулярных образований и статистической связи между свойствами элементов структуры на свойства материалов и начальные напря­

Кп\ — центральными моментами распределения модулей объемной деформации и смешанными моментами распре­ деления модулей и коэффициентов линейного расширения (коэффициентов усадки) надмолекулярных образований.

139

Приняты следующие (для полиэтилена) данные: средний модуль Юнга упорядоченной области El= 4Х X Ю8 Н/м2'; коэффициент Пуассона п1 —0,35; модуль Юнга аморфной области £'11=1,5-108 Н/м2; коэффициент Пуас­ сона /гп = 0,4; средний коэффициент линейного расшире­

высших порядков пренебрегаем. Коэффициент вариации модулей объемной деформации надмолекулярных обра-

Y D I

зований vKi — * варьируем в пределах от 0 до 0,3, ко­

эффициент корреляции модулей объемной деформации и ко­ эффициентов линейного расширения г= ~ ^ = = = = —в пре­

делах о т — 1 до + 1 (при Dai = 0,l); Dpi = 0 — 0,3 при

= ° , 1 - Величины К° и а° незначительно уменьшаются с уве­

личением неоднородности надмолекулярных образований. От коэффициента корреляции г эти величины .практиче­ ски не зависят (рис. 23).

Средние температурные напряжения в аморфной и упорядоченной областях несколько уменьшаются с уве­ личением коэффициента вариации модулей объемной де­ формации, причем тем значительнее, чем больше степень кристалличности полимера (рис. 24).

Модуль объемной деформации и коэффициент линей­ ного расширения полимера увеличиваются с увеличени­ ем степени кристалличности по закону, близкому к ли­ нейному, но эта зависимость тем сильнее отличается от линейной, чем больше различаются свойства аморфной области и надмолекулярных образований. С увеличе­ нием степени кристалличности средние температурные напряжения возрастают в аморфной области и уменьша­ ются (по величине) в упорядоченной (рис. 25), причем охлаждение полимера (t при этом положительная вели­ чина) приводит к возникновению растягивающих напря­ жений в аморфной области и в среднем сжимающих в упорядоченной. Эти напряжения при охлаждении на 150—200 °С и степени кристалличности около 0 5 достига­ ют (2—3) • 106 Н/м2.

140