Статистическая механика композитных материалов

В дальнейшем наряду с записью соотношений в ком­ понентах тензоров часто будет использоваться тензорная запись. В тензорной записи уравнения равновесия (2.2) имеют вид

тома; точка означает свертывание тензоров по соответст­ вующим составляющим (скалярное произведение). Опе­ рация, записываемая в виде у-, называется дивергенци­ ей (в данном случае тензора второго ранга а).

Уравнения (2 .2 ) с верхним индексом I при случайных величинах — макроскопические, а с верхним индексом II — микроструктурные. Под дифференцируемостью слу­ чайных напряжений здесь подразумевается дифференци­ руемость «почти всех» их реализаций (с точностью до множества реализаций нулевой меры).

Макрогладкость случайных функций. Поло случайной тензорной функции §(х). назовем макрогладкпм (в уз­ ком смысле), если при параллельном смещении всех то­

§(*) следует свойство локальной статистической однород­

перенос этих точек на величину второго порядка малости Нпределах элементов dlV, то с точностью до величин выс­ шего порядка малости поле тензора ^(х) статистически

на величину dm(x) того же порядка малости.

Случайная функция |(х ), макрогладкая в узком смы­ сле, является макрогладкой также и в широком смысле. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: макро­

гладкая в широком смысле случайная функция может и не быть макрогладкой в узком смысле.

В дальнейшем, если нет специальных оговорок, подра­ зумевается макрогладкость рассматриваемых функций в

равна нулю. В случае детерминированного поля понятие о макрогладкости эквивалентно известному из математическо­ го анализа понятию о гладкости функции.

Эргодичность случайных напряжений. Допустим, что поле о(х) случайных напряжений однородно в широком смысле (п. 3 гл. 1). Выясним условия эргодичности слу­ чайной функции о(х) по отношению к моменту первого порядка (m = <o>= const относительно х).

Если г, — радиус корреляции случайной функции <т(х) или радиус области статистической зависимости, моментные функции второго порядка случайных напря­ жений удовлетворяют условиям

Справедливо следующее утверждение: чтобы стати­ стически однородное в широком смысле поле с(х) было эргодическим по отношению к моменту первого порядка m при конечном радиусе г*, необходимо и достаточно выполнить условие

где Si — площади трех взаимно перпендикулярных сече­ ний (5f) тела К* с некоторыми конечными линейными размерами.

Согласно определению эргодичности, данному в п. 3 гл. 1 , справедливость утверждения будет доказана, если среднее значение напряжения а1;-, найденное путем осред­ нения по площадке S it детерминировано и равно началь­ ному моменту первого порядка mijt определенному в п. 1 гл. 2 на множестве реализаций в точках множества LM соответственных точек статистической модели.

Действительно, случайное среднее напряжение на

52

площадке Si, перпендикулярной оси Xi детерминирован­ ной системы координат (Xi):

ний Oij на одной площадке S* в одном теле V*, необходи­ мо потребовать, чтобы 0. Это условие необходимо и достаточно для того, чтобы величина ц*;/ была детерми­ нирована.

При конечном радиусе корреляции г* интеграл в пра­ вой части равенства (2.5) может быть равным нулю толь­ ко в пределе, т. е. при неограниченном увеличении площа­ ди Si: Si—>-оо. Это следует из основных свойств моментных функций второго порядка случайных функций.

= Ра — детерминированная величина. Остается показать, что Pij = t?iij. Из формулы (2.4) находим

В общем случае напряжения Gij при фиксированном значении х заданы на множестве реализаций в соответст­ венных точках Mz(x) тел Vz модели У*, поскольку в этих точках заданы случайные силы (п. 1 гл. 2). Осредняем обе части равенства (2 .6 ) по множеству реализаций во всех точках тел Vz статистической модели У*. По усло­ вию поле случайных напряжений статистически однород­ но. Следовательно, осреднение по множеству L тел Vz эк­ вивалентно осреднению по множеству реализаций в соот­ ветственных точках. При осреднении детерминированная величина pij сохраняет свое значение. По известным

53

правилам оператор математического ожидания вносим под знак интеграла. Учитывая, что /п^ = const относитель­ но х, находим

тела У* и на множестве реализаций в точках тел Vz ста­ тистической модели эквивалентны.

Условие эргодичности (2.3) можно применять, очевид­ но, только к телам У*, линейные размеры которых неог­ раниченно велики. По классификации статистических мо­ делей, приведенной в п. 3 гл. 1 , модели этого типа при­ надлежат к классу Ап. Таким образом, при условии (2.3) статистически однородное поле напряжений в* модели У* класса Ап эргодично.

•Условие эргодичности поля напряжений имеет прин­

результаты вычисления макроскопических свойств мате­ риала по заданным свойствам компонентов имели опреде­ ленный смысл для одного данного тела, а не для множе­ ства тел.

Статистически однородное поле напряжений, для ко­

однородности поля напряжений неприемлемо, так как в подавляющем большинстве элементов конструкций поля напряжений статистически неоднородны. Кроме того, все реальные элементы конструкций имеют конечные раз­ меры.

Радиус корреляции г*, как отмечено в п. 4 гл. 1 , име­ ет величину порядка средних характерных размеров эле­ ментов структуры. Поэтому в моделях классов Ап и Сп, где размеры элементов структуры конечны, величина г* также конечна. В случае модели Сп условию эргодично­ сти (2.3) нельзя удовлетворить, так как размеры тела ко­ нечны (не могут быть неограниченно большими). Следо­ вательно, поле напряжений в модели У* класса Сп не может быть эргодическим. Это значит, что средние на­ пряжения в любом сечении тела У* случайны.

54

Рассмотрим условия эргодичности поля случайных мик-

ким. При этом условии оно может быть статистически од­

нородным в локальном смысле —в пределах элементов dlV, и статистически неоднородным в масштабе всего тела V#-

Пусть AlS t — площадка в теле К*, представляющая се­

е*/;— линейные размеры площадок; 0 <е*<^ 1 . Случайное макроскопическое напряжение а|/, по опре­

делению, равно среднему напряжению в сечении (Д1^},-) элемента AV при е*->0 :

составляющие тензоров моментных функций порядка* п слу­

(A lSt )

Докажем это свойство. Формула (2.8) выражает среднее значение напряжения по реализациям на площад­

ке AJS; одного тела при е*->0. Требуется показать, что при условии (2 .1 0 ) эта величина детерминирована и равна среднему значению напряжения на множестве реализаций в соответственных точках множества LM статистической мо­ дели V* класса В2.

55

Чтобы величина' (2 .8 ) была детерминированной, необхо­ димо и достаточно, чтобы равнялась нулю ее дисперсия;

(л’5г>

Если условие (2.10) выполнено, то очевидно, что Da1^ =0.

(Д1^)

Пусть Li}(x) — множество реализаций случайных микро-

структурных напряжений а// (х) в элементах A1 Vz с цент­ рами в точках Мг (х) множества LM соответственных точек тел VZ£L модели К* класса В2- К обеим частям равенства (2 .1 1 ) применяем операцию осреднения по множеству реа­ лизаций Ьи (х). Учитывая, что среднее значение детерми­ нированной величины равно самой детерминированной вели­

чине и поле сг,•/ (х) статистически однородно в локальном смысле вследствие макрогладкости функции о*/ (х), т. е.

при условии (2 .1 0 ) макрогладкая функция сг// (х) действи­ тельно локально-эргодична по отношению к ее моментной функции первого порядка.

Из доказанного свойства видно, что если макронапряже­ ния детерминированы, то центральные моментные функции

второго порядка К.\щ (хь х2) случайной макрогладкой функ­

ции сг// (х) должны удовлетворять условию (2 .1 0 ). При этом радиус статистической зависимости г* случайной функ­

ции ац (х) должен быть достаточно малым. Для модели

56

.о

—-характерные размеры области статистической зависи­

Следовательно, моментные функции (2.13) удовлетворяют условию (2.10) локальной эргодичности макрогладкого по­

ля a\f (х) по отношению к начальной моментной функции первого порядка тЦ (х).

Условие корректности классической теории напряже­ ний. В теории напряжений, известной из курса механики сплошной среды, напряжения детерминированы (класси­ ческая теория напряжений). Понятие о напряжении в точке тела вводится путем изучения равновесия элемента d У сплошной среды, эквивалентного элемента dlV стати­ стической модели У* класса В2. При этом «классические» напряжения эквивалентны макроскопическим напряже­ ниям в модели У*, если последние детерминированы.

Рассмотренное свойство эргодичности статистической модели У* позволяет указать критерий, согласно которо­ му напряжения в классической теории действительно де­ терминированы и, следовательно, теория корректна. Та­ ким критерием является условие (2.10). Его физический смысл состоит в том, что объекты, вызывающие локаль­ ные возмущения поля напряжений (элементы структуры композитных материалов), должны иметь неограничен­ но малые размеры. Это условие необходимо для того, что­ бы радиус корреляции г* был неограниченно мал. Таким образом, классическая теория напряжений, строго говоря, корректна только для идеально однородных сред, не имеющих микроструктуры, либо для структурно-неодно­

57

родных сред — моделей У* класса В2у удовлетворяющих условию локальной эргодичности (2.10). Для реальных композитных материалов классическая теория напря­ жений некорректна, поскольку элементы структуры таких материалов имеют конечные размеры.

Локальная эргодичность микроструктурных напряжений в узком смысле. Для расчетов на прочность конструкций важно установить условия, при которых статистические характеристики поля случайных напряжений, заданные в общем случае на множестве реализаций в телах Vz £ L ста­ тистической модели, можно задать на множестве реализа­ ций в одном теле У*. Частичное решение задачи дает свой­ ство локальной эргодичности в широком смысле. При ус­

ловии (2.10) моментные функции первого порядка т)}(х) случайной функции а*/ (х) можно задать на множестве реа­

лизаций, действующих на площадке d[S t = lim AISi при *->0, которая принадлежит одному телу У*.

Естественно попытаться определить условия, при ко­ торых можно найти n-точечный закон Fп(у) совместного распределения составляющих тензора микроструктурных напряжений ап (х) по их реализациям в одном .элементе dlV тела У*. Рассмотрим для этого следующее свойство локальной эргодичности микроструктурных напряжений

ции (2.9) при любом значении п удовлетворяют условию

и центральные моменты более высокого порядка равны ну­ лю. В частности, из равенства нулю момента третьего по­

Е . - О (Д’5;)3

(A’Sj)

58

аналогичное (2.10). В общем случае имеем условие (2.14). Отметим, что под функциями (2.9), удовлетворяющи­ ми условиям (2.14), подразумеваются «собственные» моментные функции, аргументы которых хь х2, ..., хп могут принимать произвольные, но не равные между собой зна­ чения в пределах объема А1!/ при г*-+0. Если какие-ли­ бо два или несколько векторов хь х2 и т. д. равны (сов­ падают), то моментная функция (2.9) является «несоб­

ственной», или «вырожденной».

Чтобы удовлетворить условиям (2.14), можно поло­ жить*

(2.15)

—max|x/t — хг| при любых k и /. Величина гм имеет см^сл радиуса области статистической зависимости значений

случайной функции о}} (х) (см. п. 3 гл. 1). Если значения всех моментных функций (2.15) отличны от тождественного нуля в области, описанной сферой радиуса гм, то много­ точечный закон распределения Fn (у) при любом п опреде­ лен в рассматриваемой области, поскольку задание беско­ нечной совокупности моментных функций неограниченного порядка эквивалентно заданию соответствующего многото­ чечного закона распределения.

2. СЛУЧАЙНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

Случайный вектор перемещений. Пусть точка М2(х) тела Vz модели У* в результате внешних воздействий на тело Vz из первоначального положения переместилась в новое положение Mz(x'). Вектор и2 = х'—х будем рас­ сматривать как реализацию случайного вектора %(х) пе­

тела У* до его деформации.

Если при любом г векторы и2 равны по величине и на­ правлению, то вектор х= и (х) перемещения соответст­ венной точки М(х) тела У* детерминирован. В противном случае, если u ^ c o n st относительно г, точка М(х) тела У* имеет случайный вектор перемещения х(х)> заданный

59

на множестве реализаций uz в соответственных точках Мг(х) множества LM статистической модели.

Перемещение х(х) точки М(х) тела У* в произвольно выбранной детерминированной системе координат (хг), вообще говоря, не связанной с данным телом У*, но не­

М' (х') данного тела У* относительно любой другой точ­ ки Л1(х) того же тела назовем относительным, а переме­ щение точки М(х) по отношению к неподвижной системе координат (Х{) — переносным.

Полагая, что тело У* принадлежит к классу В2, в даль­

случайный вектор относительного перемещения т) (х) будем называть микроструктурным, если расстояние между точками

вектора TJ1(х) будем предполагать, что его модуль мал по сравнению с расстояниями между точками М и М' дан­ ного тела У*.

Векторы абсолютного, относительного и переносного перемещений как функции детерминированного радиусавектора точки тела У* являются случайными функциями

иобразуют векторные случайные поля (см. п. 3 гл. 1 и

п.1 гл. 2).

Вдальнейшем понадобятся следующие свойства случай­

ных полей перемещений. Пусть Д*У— шар с центром в

точке М(х) тела У*; Д!г = /0е*— радиус шара; Нп (х, х')— ограниченная по модулю непрерывная детерминированная

функция двух точек М(х) и М(х') тела У*; AlS — поверх­ ность сферы, ограничивающей шар Д!У;

абсолютного перемещения точки М (х),

60