Статистическая механика композитных материалов
..pdfявления предложены следующие критерии: 1 ) энергети ческий (Гриффитс); 2) силовой (Ирвин); 3) геометри ческий (Леонов, Панасюк) [168—171].
По энергетическому критерию динамическое разрушение обусловлено тем, что потенциальная энергия упругих де формаций W (2/0), зависящая от начальной длины щели 2 /0, достигает характерного для данного материала критическо го значения W*(2l0). По силовому критерию коэффициент
интенсивности напряжений = Q V л/0 становится рав ным вязкости разрушения К\с(210), по геометрическому кри
терию раскрытие макротрещины 6 (2 /0) равно |
критическому |
|
6h (2/0). Указанные предельные |
величины являются харак |
|
теристиками материала, аналогичными таким, как предел |
||
текучести или предел прочности [168]. |
|
|
Для оценки корректности |
критериев динамического |
|
разрушения воспользуемся |
результатами |
эксперимен |
тов на жестких испытательных машинах |
[173—174] по |
|
методике, обеспечивающей выполнение условия равно весия (5.24). Выше был описан способ получения есте ственной начальной макротрещины после нагружения первоначально сплошной пластинки до точки М3 и раз грузки по прямой M3N3 (см. рис. 40). Нагрузим пла стинку с начальной макротрещиной до точки М3. Тогда потенциальная энергия упругих деформаций, коэффи циент интенсивности напряжений и раскрытие макро трещин достигнут предельных значений. По силовому, энергетическому и геометрическому критериям должно наступить динамическое разрушение пластинки. На самом деле процесс разрушения пластинки может быть
как динамическим, так и равновесным |
(статическим). |
||
То или иное продолжение |
процесса |
выбирает экспери |
|
ментатор. |
можно |
продолжать на той |
|
Например, эксперимент |
|||
же жесткой машине, где была получена |
естественная |
||
макротрещина, и подобрать закон перемещения подвиж ного захвата машин так, чтобы условие равновесия (5.24) было сохранено в течение всего процесса растяжения пластинки. Тогда получим равновесное увеличение раз меров макротрещины до полного разрушения пластинки (спадающая равновесная ветвь диаграммы М2М4М5/?' на рис. 40). В этом случае жесткость D0тензора напряжений р(х) у конца трещины мала (мала податливость системы
191
нагружения), энергетический, силовой и геометрический критерии динамического разрушения не имеют смысла.
Нагружение пластинки с начальной естественной макротрещиной можно выполнить на обычной испыта тельной машине с малой жесткостью нагружающего устройства. Здесь после достижения точки М3 (см. рис. 40) равновесная стадия процесса нагружения перехо дит в неравновесную (динамическую) в соответствии с прогнозом по указанным выше критериям. Величина Do в данном случае сравнительно велика.
Результаты эксперимента свидетельствуют о том, что энергетический, силовой и геометрический критерии не устойчивости сопротивления материала макроскопиче скому разрушению не являются универсальными. Они справедливы в случаях, когда жесткость тензора на пряжений сравнительно велика. Кроме того, они имеют смысл только для тел с начальными щелями, надрезами или макротрещинами. Для приложений к расчетам: на живучесть элементов конструкций были бы полезными более универсальные критерии неустойчивости сопро тивления макроразрушению.
Сопротивление материала будем ‘называть устойчивым,
если фазовая точка (е, |
р) элемента dlV — малой окрестно |
|
сти данной точки М (х) |
тела V — находится |
внутри облас |
ти сопротивления Vs или в такой точке ее |
границы Sy , |
|
что выполнено условие (5.24) (р(е) — S(e)), и, кроме того, если \dp\<Cgv то |d e |< g 2, причем
р' = |
р + dp, е' = е + |
de, р (е') = S (е'); |
(5.25) |
|||||||
£i и § 2 — произвольные постоянные (0 < gk < |
оо). |
|
||||||||
В точке |
(е*, S*) |
функции |
сопротивления |
S = f(e) на |
||||||
границе Sy области Vs сопротивление |
материала неустой |
|||||||||
чиво, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р (е*) = S (е*); |
е' = |
е* + de; |
\de\ > 0; |
р (е') > |
S (е') |
(5.26)' |
||||
либо |
|
|
р (е*) = S (е*), |
Ие||е=е. > |
|
g2. |
|
(5 .2 7 ) |
||
|
|
|
|
|
||||||
Пр и м е р - |
1. |
Стержень ОВ- из квазихрупкого материала |
(при |
|||||||
растяжении |
не |
имеет шейки) растянут силой |
Q= vt |
(u = const, t — |
||||||
время, рис. |
42). |
Пусть |
элемент А1 V |
стержня |
имеет |
минимальную |
||||
прочность SB. Функция сопротивления этого элемента приведена на рис. 37. Требуется построить диаграмму напряжения р\(е{) стерж-
192
Рис. 42. Схема растяжения стержня
Рис. 43. Схема растяжения элемента
Al V'
ня — ту часть функции сопротивления, где сопротивление упругим, пластическим деформациям и разрушению устойчиво.
Аппроксимируем функцию сопротивления уравнением
Si = Ее,/, + а,е, (1 — а2е,) / 2 + b,e, (1 — Ь2е, + Ь3е\) / 3, (5.28)
Е —-модуль Юнга; a/t, ^ — постоянные, определяемые из условий ап проксимации;
|
Г 1, |
е3 е (0, |
ет>; |
/ |
= |
| |
1, |
е,£ (е т, |
еъ)\ |
|
|
1 0 , |
е ,£ (0 , |
ет); |
|
2 |
\ |
0 , |
е ^ ^ т - |
<?в)'> |
|
|
|
|
/з |
е ,£ (е В1 бр); |
|
|
||||
|
|
|
О, е^£ (ев, |
ер). |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
На |
участке / х = |
1 |
(ОМ на рис. |
|
37) |
имеем |
|
|||
|
Р Л |
= vt = F^Ee^ |
|
|
|
|
(5.29) |
|||
F0— площадь поперечного сечения |
стержня; |
e\ = de\ldt. При 0 < ц < |
||||||||
< о о из |
формулы (5.29) видно, что |
|
скорость деформации ёк ограни |
|||||||
чена и управляема посредством параметра ь. Очевидно, что выпол нено условие (5.25) критерия устойчивости. Поэтому на линейном
участке сопротивление материала устойчиво. |
по формуле (5.28) |
||
На участке пластических деформаций |
(/2= 1) |
||
находим |
= v/[FQax (1 —2а2ег) ]. |
(5.30) |
|
К |
|||
Если S T < S B (см. рис. 37), то |
|
|
|
dSi |
= ах (1 — 2а2еJ , |
2а2е1 < |
1 |
— — |
|||
de± |
|
|
|
13. Зак. 674 |
193 |
и, |
следовательно, при 0 < v < |
оо |
скорость деформации |
(5.30) |
ограни |
|||||||||
чена и управляема. В этом случае выполнено условие |
(5.25), |
сопро |
||||||||||||
тивление материала |
устойчиво. |
|
|
|
материал), то |
при |
е\ = ет,’ |
|||||||
|
Если ST= S D |
(неупрочняющийся |
||||||||||||
р{(ет) =Si (ет) |
получаем ei = oo. |
По |
условию (5.27) |
|
сопротивление |
|||||||||
материала пластическим деформациям неустойчиво. |
|
|
|
|
||||||||||
|
Полагаем 5Т < SD и на |
стадии |
макроскопического разрушения |
|||||||||||
(73 = |
1) проверяем процесс растяжения на устойчивость. Пусть е\ = |
|||||||||||||
= |
ев + dex (deL > 0). Тогда |
(е[)< SB |
(рис. |
37). Пусть, |
далее, t= |
|||||||||
= |
tB, |
если ех = |
ев, |
Pi = Sh. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||
SB = |
-z— *>Pi (^в + |
dt) = Pi (ej) = |
— |
{tB+ |
dt) = |
5B+ |
~=r~J > |
|||||||
|
|
* |
0 |
|
|
|
|
^ 0 |
|
|
|
|
^ 0 |
|
Отсюда |
следует |
неравенство |
p{(e {) > S \(e \), |
эквивалентное |
условию |
|||||||||
неустойчивости |
(5.26). Поэтому |
точка |
(ев, S B) является |
последней |
||||||||||
равновесной точкой искомой диаграммы рi(^i). Стержень будет ди намически разрушен ‘ в тот момент, когда напряжение от внешней нагрузки р\ достигнет предела прочности материала S B.
Полученный прогноз поведения стержня полностью соответст вует результатам стандартных испытаний технических материалов в указанных условиях нагружения (на машинах прямого действия, где нагрузка непосредственно приложена, к подвижному захвату).
П р и м е р |
2. |
Условия задачи |
те же, |
что |
в примере |
1, кроме |
||||||||
условий |
растяжения |
(рис. |
42). |
Полагаем, |
что |
они |
соответствуют |
|||||||
испытаниям |
стандартного |
образца |
на |
абсолютно жесткой машине |
||||||||||
непрямого действия. В этом случае жесткость D0 тензора напряже |
||||||||||||||
ний в элементе |
А 1У' равна |
податливости |
стержня |
(без |
элемента |
|||||||||
А1!/'). Кроме того, полагаем, |
что вариации |
макросвойств |
по длине |
|||||||||||
стержня достаточно малы и 5 Т< 5 П. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Сопротивление материала на восходящей ветви диаграммы pi(e{) |
||||||||||||||
устойчиво (см. пример 1). Проверку |
на устойчивость начнем с точки |
|||||||||||||
(ев, SB) |
( с м . |
рис. 37), когда |
t = tB и P\ = SB в |
элементе Al V' с ми |
||||||||||
нимальной |
прочностью. |
Очевидно, |
что |
pi = const |
относительно х |
|||||||||
(вследствие |
того, |
что |
материал |
квазихрупкнй). |
Поэтому |
в осталь |
||||||||
ных элементах стержня напряжение меньше предела прочности ма
териала. |
С увеличением |
деформации |
(еi = eB-\-de{) |
на равновесной |
||||||||
стадии |
растяжения (pi=Si) |
фазовая |
точка |
(elt р\) |
|
элемента Аг1/' |
||||||
движется по дуге АМ2 функции сопротивления 5| (е{) |
(рис. 37). При |
|||||||||||
этом фазовые точки других элементов |
А1 У' |
стержня |
движутся по |
|||||||||
прямым |
разгрузки (MiN{ на рис. 37), |
имея |
напряжение р\. |
|
||||||||
Таким образом, на стадии /3=1 элемент АТУ' нагружен по схе |
||||||||||||
ме рис. 43, где |
ОМ— пружина |
с |
жесткостью С0. Пусть ln = \MN\t |
|||||||||
L0 = \ON\ = \OB\ |
(см. рис. 42 и 43); |
Q — сила, |
растягивающая |
пружи |
||||||||
ну ОМ. Тогда при условии равновесия |
(5.24) |
получим |
Q= PIFQ= S1F0. |
|||||||||
Находим перемещение точки N (рис. 43). С учетом |
формулы |
(5.28), |
||||||||||
где /з=1, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и = at ■= е Л + ~ |
= |
« Л |
+ |
- ^ |
- |
(1 - Ь гег + |
Ь3е]). |
(5.31) |
||||
|
|
^ 0 |
|
|
|
'■'О |
|
|
|
|
|
|
194
По формуле (5.31) находим |
|
|
|
|
|
<?! = aCJh (ех) ; |
(5.32) |
||
h (е1) — С0/п -f- F |
(1 — 2b2eL+ |
3636j). |
||
Корни уравнения |
h (е2) = |
О |
|
|
|
= е п ( 1 ± / 1 - В о ) . |
(5.33) |
||
где |
е * |
J |
|
|
D |
36Э(С0/п 4~ ^ o^l) |
Ь2 |
||
|
Ьф ро |
’ вп ~ |
ЪЬ3 ' |
|
обращают скорость деформации (5.32) в бесконечность. Физический смысл имеет только меньший корень, так как динамическое разруше
ние элемента Al V' может быть только один раз. Полагаем
г * _ |
(Р2 ~~ З&з) |
0 |
зм„ |
Если С0 < С £ , то В0 1 и корни (5.33) действительные. Положив
е1==е", получим бесконечную скорость деформации (5.32). По усло
вию (5.27) сопротивление материала элемента А1V'7 будет неустойчи вым — наступает динамическое разрушение стержня. Если С0 > С0*.
то Вц > |
1 |
и корни |
(5.33) комплексные. В этом |
случае на интервале |
|
ев < |
< |
ер (рис. |
37) знаменатель дроби |
(5.32) |
не равен нулю, ско |
рость деформации |
ех ограничена (0 < а с |
оо) и |
управляема посред |
||
ством параметра а. Следовательно, искомая диаграмма полностью равновесна (0 ^ е± < ер) .
По условию задачи вариации макросвойств материала стержня ма лы. При уменьшении длины пружины справедливо равенство
^ 0 (^в — Pi) = С0 (ев ех)(L 0 — /п) .
С другой стороны, по закону разгрузки (5.23) имеем
5В — Pi = Е {ев — ех) , |
|
откуда |
(5.35) |
CQ= FQEI(LQ— /п). |
Если длина L0 стержня мала (L0= /n), то его жесткость (5.35) бес конечна велика: С0> С 0 . В этом случае сопротивление материала
должно быть устойчивым на всем интервале изменения деформации (рис. 37).
Экспериментальная функция сопротивления материала элемента А1 V" показана на рис. 37, а для стержня — на рис. 40 (где ордина ту Q нужно заменить на S\). При условии v = at (рис. 42 и 43) диа грамма р\(е\) для элемента A1V полностью равновесна (O s^e^ep),
13* |
195 |
для стержня она равновесна до точки М4 (рис-. 40) спадающей вет ви, где наступает динамическое разрушение образца (по прогнозу
это соответствует случаю С0<.С0у Чтобы получить полностью рав
новесную диаграмму p\(ei) для стержня, нужно специально подо брать функцию u(t) — закон перемещения подвижного захвата ма шины, обеспечивающий выполнение условия равновесия (5.24).
Вданном примере учет неоднородности макроскопических свойств материала имеет принципиальное значение для прогноза устойчивости сопротивления разрушению. Если применить общепри нятую в работах по механике разрушения модель — идеально одно родное тело, то прогноз будет противоречить эксперименту.
Всамом деле, если макросвойства материала стержня распре делены однородно по его длине, то не только напряжения, но также
идеформации всех его, элементов будут одинаковыми. Следова тельно,
и = at = |
а |
= const |
(5.36) |
ег = — |
|||
на всем интервале |
вплоть до |
полного разрушения. |
Оче |
видно, что выражение (5.36) соответствует условию (5.25), при ко тором сопротивление материала устойчиво. Этот вывод противоре чит упомянутому вьшщ эксперименту — динамическому разрушению стержня в точке М4- (см. рис. 40) функции сопротивления Si(ei).
Указанное противоречие свидетельствует g том, что даже малые отклонения макросвойств материала от их средних значений по объему тела могут вызвать локальную неустойчивость сопротивле ния разрушению. Поэтому для задач механики разрушения класси ческая однородная модель тела непригодна. Нужна обобщенная мо дель, макросвойства которой являются, вообще говоря, случайными функциями координат точек тела.
ЛИТЕРАТУРА
1.Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике. Изд. 2-е. М., Стройиздат, 1965.
2.Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М., «Наука», 1970.
3.Beran М. J. Statistical Continuum Theories. New York, 1968.
4.Kroner E. Statistical Continuum Mechanics. Springer-Verlag, Wien—New York, 1971.
5.Богачев И. И., Вайнштейн А. А.] Волков С. Д. Введение в статистическое металловедение. М., «Металлургия», 1972.
6.Андреевская Г. Д. Высокопрочные ориентированные стекло пластики. М., «Наука», 1966.
7.Современные композиционные материалы. Под ред. Л. Браутмана и Р. Крока. Пер. с англ, под ред. И. Л. Светлова. М., «Мир»,
1970.
8.Монокристальные волокна и армированные ими материалы. Пер. с англ, под ред. А. Т. Туманова. М., «Мир», 1973.
9.Упрочнение металлов волокнами. Под ред. В. С. Ивановой.
М„ «Наука», 1973.
10.Киселев Б. А. Стеклопластики. М., Госхимиздат, 1961.
11.Келли А. Высокопрочные материалы. Пер. с англ, под ред.
С.Т. Милейко. М., «Мир», 1976.
12.Дедюхин В. Г Ставров В. П. Прессованные стеклопласти
ки. М., «Химия», 1976.
13.Абибов А. Л. и др. Применение конструкционных пластмасс
впроизводстве летательных аппаратов. М., «Машиностроение», 1971.
14.Garg S. К-, Svalbonas V., Gurtman G. A. Analysis of Struc tural Composite Materials. New York, 1973.
15.Болотин В. В., Голъденблат И. И., Смирнов А. Ф. Строи тельная механика. Современное состояние и перспективы развития. Изд. 2-е. М., Стройиздат, 1972.
16.Шермергор Т. Д. Теория упругости микронеоднородных
сред. М., «Наука», 1977.
17. Скудра А. М., Булаве Ф. Я., Роценс К. А. Ползучесть и статическая усталость армированных пластиков. Рига, «Зинатне», 1971
197
18.Композиционные материалы в конструкции летательных аппаратов. Пер. с англ, под ред. А. Л. Абибова. М., «Машинострое ние», 1975.
19.Wolf Н. Ubersichtsbericht uber die Verwendung glasfaserver-
starkter Kunststoffe. Miinchen, |
1973. |
20. Muelhahn D., Theiber |
H M i s h c k e W. Untersuchungen uber |
die Anweildung von Kohlenstoffasem |
in hochbeanspruchten Flugzeug- |
bauteilen. Miinchen, 1973. |
4 |
21.Haferkamp H. Glasfaserverstarkte Kunststoffe. VDI-Verlag, Diisseldorf, 1970.
22.Александров А. П ., Журков С. H. Явление хрупкого раз
рыва. M.— Л., ГТТИ, 1933.
23. Бартенев Г . М ., Сидоров А. Б. Статистическая теория проч
ности стеклянных |
волокон.— «Механика |
полимеров», |
1966, № 1. |
24. Рогинский |
С. Л ., Стреляев В. С., Сачковская JI. J I . О функ |
||
ции распределения |
пределов прочности |
с'Гекляиных |
моиоволокоп.— |
«Механика полимеров;», 1970, № 1.
25.Зак А. Ф. Физико-механические свойства стеклянных воло кон. М., Гостехиздат, 1962.
26.Кортен X. Т. Разрушение армированных пластиков. Пер. с англ, под ред. Ю. М. Тарнопольского. М., «Химия», 1967.
27.Стреляев В. С. Статистические закономерности разрушения композиций на основе минеральных волокон и полимерных матриц
при квазистатическом разрушении. Докт. дис., т. 1, 2. М., 1971.
28. Овчинский А. С., Копьев И, М ., Б и Л сагаев Н. К . Метод по строения диаграмм деформирования композитных материалов с уче том статистического распределения прочности армирующих воло
кон.— «Механика полимеров», 1975, № 6.
29. Тарнопольский Ю . М., Скудра А. М. Конструкционная проч ность и деформативность стеклопластиков. Рига, «Зинатне», 1966.
30.Ван Фо Фы Г А ., Клявлин В . В ., Гордиенко В . Я. Исследо вание распределения волокон в ориентированных стеклопластиках.— «Механика полимеров», 1969, № 2.
31.Седов Л . И. Методы подобия и размер*100™ в механике Изд. 5-е. М., «Наука», 1965.
32.Назаров А. Г . О механическом подобии твердых деформиру
емых тел (к теории моделирования). Ереван, ИзА‘В0 |
АрмССР, |
|
1965. |
|
«ЖПМТФ», |
33. Работное Ю. Н. Моделирование пластичН00™- |
||
1961, № 2. |
* .. |
математиче |
34. Ильюшин А. А. Пластичность (основы |
общей |
|
ской теории). М., Изд-во АН СССР, 1963. |
|
* |
35. Фридман Я. Б. Выступления.— «ЗаводсКая лаборатория»,
1957, т. 23, N° 1.
36. Королев В. И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М., «Машиностроение*’ iyw>
37.Тарнопольский Ю . М., Розе А. В . Особе*,нос™ Расчета Де‘ талей из армированных пластиков. Рига, «Зинатне*’ 1УЬУ*
38.Рабинович А. Л . Введение в механику армиРованных поли
меров. М., «Наука», 1970.
39.Болотин В . В . Основные уравнения те0Рии а РмпР0Ва1Шых сред.— «Механика полимеров», 1965, «№2.
40.Ван Фо Фы Г. А. Конструкции из армир0**аН11ЫХ пластмасс-
Киев, «Техника», 1971.
198
41. Ван Фо Фы Г. А., Гуромский Н. Г К л я в л и н В. В. Расчеты и конструирование изделий из стеклопластиков. Киев, «Наукова думка», 1972.
42.Ломакин В. А., Колтунов М. А. Действие армирующих эле ментов при растяжении на деформацию и прочность стеклопласти ков.— «Механика полимеров», 1965, № 2.
43.Веет F. Festigkeitseigenschaften kreuzweise bewehrter Kunststoffe. VDI-Zeitschrift, 1959, Bd. 101, Nr. 12.
44.Уитниt Райли. Упругие свойства составных материалов,
армированных волокнами.— «Ракетная техника и космонавтика» (пер. с англ.), 1966, № 9.
45. Шаффер. Соотношения между напряжениями и деформа циями для армированных пластиков при действии внешних сил па раллельно и нормально их внутренним волокнам.— «Ракетная тех ника и космонавтика», 1964, № 2.
46. Puck A. Deformationsverhalten und Bruchmechanismus von unidirektionalem und orthogonalem Glasfaser-Kunststoff.— «Kunststoffe», 1965, Bd. 55, H. 12, S. 913—922.
47.Puck A. Zur Beanspruchung und Verformung mehrschichtiger Verbundstoff-Bauelemente aus Glasseidenstrangen und Kunststoffen. Diss. Berlin (West), 1966.
48.Кривоглаз M. А., Черевко А. С. Об упругих модулях твер
дой смеси.— «Физика металлов и металловедение», 1959, т. 8, вып. 2. 49. Хашин. Упругие свойства неоднородных материалов.—
«Прикладная механика», сер. Е (пер. с англ.), 1962, № 1.
50. Eshelby J. D. The Determination of the elastic Field of an ellip soidal Inclusion and related Problem. Proc. Roy. Soc., Ser. A, 1957, Vol. 241.
51.Конторова T. А., Френкель Я. И. Статистическая теория хрупкой прочности реальных кристаллов.— «ЖТФ», 1941, т. 11, вып. 3.
52.Weibull W. A statistical Theory of the Strength of Material. Stockholm, 1939.
53.Лифшиц И. M., Розенцвейг Л. Н. К теории упругих свойств
поликристаллов.— «ЖЭТФ», 1946, т. 16, вып. 11.
54. Волков С. Д. Статистическая теория прочности. М.—Сверд ловск, Машгиз, 1960.
55.Murzewski J. Plasticznosc i wytrzymalosc mikroskopowa niednorodnych osrodkow stalych. Warszawa, 1966.
56.Ломакин В. А. Плоская задача теории упругости микронеоднородных тел.— «Инженерный журнал. Механика твердого тела»,
1966, No 3.
57.Работное Ю. Н. Механика твердых тел и полимерных ма териалов.— «Вести. АН СССР», 1965, № 7.
58.Волков С. Д., Клинских Н. А. К теории свойств упругости
поликристаллов.— «Физика металлов и металловедение», 1965, т. 19, вып. 1.
59.Клинских Н. А. Физические уравнения теории упругости микроиеоднородпых сред. Автореф. канд. дис. Свердловск, 1964.
60.Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М., Гостехиздат, 1936.
61. Ставров В. |
П., Долгих В. |
Я В о л к о в С. Д. Об упругих по |
стоянных хаотически |
армированных |
пластиков.— «Механика полиме |
ров», 1967, № 2. |
|
|
199
62. Ставров В. Фомина Т. С. Об упругих постоянных стек лопластиков анизотропной структуры.— «Механика полимеров», 1968,
№ 4.
63. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика,
ч. 1. М., «Наука», 1965.
64. Ставров В. П. О статистических моделях стеклопластиков.— В кн.: Статистические методы расчетов на прочность, вып. 3. Сверд ловск,. 1969.
65. Кендалл М М о р а н П. Геометрические вероятности. Пер. с англ, под ред. Ю. В. Прохорова. М., «Наука», 1972.
66. .Ставров В. П., Волков С. Д. О моментных функциях, опи
сывающих свойства стеклопластиков.— «Механика |
полимеров», |
1968, |
№ 1. |
|
|
67. Ставров В. П., Фомина Т. С. К статистическому описанию |
||
микроструктуры стеклопластиков.— «Механика |
полимеров», |
1969, |
№ 2.
68. Москаленко В. Н., Масленников С. М. Свойства корреляци онных функций локальных характеристик микронеоднородных мате
риалов.— В кн.: Проблемы |
надежности |
в строительной |
механике. |
Вильнюс, 1971. |
Аппроксимация высших |
моментных |
|
69. Масленников С. М. |
|||
функций для характеристик |
композитных |
материалов.— В кн.: Но |
|
вые методы расчетов элементов конструкций на прочность. Сверд ловск, 1975.
70. Bose S. К., Mai А. К. Elastic Waves irfra fiber-reinforced Com posite. J. Mech.-Phys. Solids., 1974, Vol. 22, p. 217—229.
71.Лапшина И. Ф., Кривоспицкая В. И., Волков С. Д. Экспе риментальные законы распределения физических свойств структуры композитов.— «Механика полимеров», 1976, № 2.
72.Вайнштейн А. А. и др. Корреляционная функция мартенсит
ного превращения.— «Физика |
металлов и металловедение», |
1976, |
|
т. 41, № 2. |
|
|
|
73. Клинских Н. А. О распределении постоянных упругости в |
|||
однофазных |
квазиизотропных |
поликристаллах.— «Математические |
|
записки», 1963, т. 4, тетр. 2. |
|
сред. |
|
74. Александров К- С. Упругие свойства анизотропных |
|||
Докт. дис. М., |
1967. |
|
|
75.Bunge Н. /. Mathematische Methoden der Texturanalyse. Ber lin, Akademie-Verlag, 1969.
76.Pospich J., Jura J. Determination of the Orientation Distribu tion Funktion from Incomplete Pole Figures. Zeitschrift fur Metallkunde, 1974, Bd. 65, H. 4, S. 324—330.
77.Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik. Leipzig—Berlin, 1910,
964 S.
78.Клинских H. A.} Комиссарова M. Л. Корреляция упругих и тепловых свойств в поликристаллах.— В кн.: Статистические методы расчетов на прочность, вып. 2. Свердловск, 1969:
79.Pursey Н., Сох Н. L. Phyl. Mag., 1954, Vol. 45, No 362.
80.Tалашкевич И. П., Александров К. С. Влияние преимущест венной ориентации зерен на упругие свойства поликристаллов.— «Физика металлов и металловедение», 1962, т. 14, вып. 6.
81.Клинских Н. А. Упругие свойства текстурованных поликри
сталлов.— В кн.: |
Статистические методы расчетов на прочность, |
вып. 2. Свердловск, |
1969. |
200