Статистическая механика композитных материалов

применим решение статистической краевой задачи теории упругости в реализациях (см. п. 6 гл. 2). В корреляцион­ ном приближении^ получаем формулу, аналогичную

тензор Грина (2.60).

Пусть волокна арматуры имеют круглое сечение^По­ мещаем точку 7И(х) в центр круга (радиус круга может быть произвольным). Тогда n(0)= (fi) и I(0)= (Iijmn), при­ чем величины Iijmn определяются соотношениями (3.25), т. е. поправки, полученные путем решения задачи в реа­

лизациях, в частном случае совпадают с hjjmn из (3.26). В общем случае они содержат слагаемые, зависящие от формы сечений и взаимного расположения волокон. Ана­ лиз формул (3.13) показывает, что влияние отмеченных

териалу.

Однонаправленный материал с анизотропной армату­ рой. Более сложную проблему представляет вычисление модулей упругости однонаправленного материала, арми­ рующие элементы в котором анизотропны. Как следует из результатов п. 5 гл. 1, даже при кубической или гекса­ гональной. симметрии армирующих элементов тензор средних модулей упругости С= С1Р + СП(1—Р) не явля­ ется изотропным (в простейшем случае С — трансвер­ сально-изотропный тензор). Поэтому при вычислении поправок необходимо использовать тензор Грина для соответствующей анизотропной среды (с модулями С). Аналогичная задача возникает при вычислении макроско­ пических модулей упругости композитных материалов с текстурой вращения произвольного вида [82]. Средние

112

зенцвейга [53] применительно к одномерному случаю. Пусть плоская плита, неограниченная в плоскости х2х3, имеет конечную толщину в направлении Х\ и состоит из большого числа однородных тонких слоев, причем край­ ние слои одинаковы. На обе поверхности плиты действу­ ют равномерно распределенные силы.

ось. Хи уравнения совместности деформаций и физические уравнения, записываем компоненты тензора макроскопи­ ческих модулей упругости сплошного композитного ма­

114

По формулам (3.32) можно вычислить макроскопиче­ ские модули упругости слоистого материала произволь­ ной структуры при заданном расположении слоев по на­ правлениям (распределении косинусов Я1;). Если слои из однонаправленно армированного материала, их модули

упругости Сijnui вычисляются по формулам п. 2 гл. 3.

В общем случае слоистой структуры матрица косину­ сов Xij имеет вид

где ср — случайный угол поворота слоя относительно си­ стемы-координат, связанной с телом (хи х2, х3). Для не­ которых конкретных видов структуры плотности распре­ деления величин Хц приведены в работах [125—127].

Ортогональное армирование. Пусть однонаправленные

слои стеклопластика с модулями упругости С//тя (ось х направлена вдоль волокон) расположены параллель­ но плоскости х2х3 так, что направление волокон (х3) в

слое параллельно х2 с вероятностью v и х3 — с вероятно­ стью 1—v. Величина v численно равна степени армиро­ вания — объемной доле слоев, волокна в которых парал­ лельны х2. Так как направленность волокон слоя вдоль х2— случайное событие,-поставим ему в соответ­

Далее, учитывая, что для задания упругих свойств ортотропного материала нужно знать 9 независимых по­ стоянных, по формулам (3.32) находим:

116

ний) от степени армирования v. Экспериментальные зна­

117

Рис. 20. Зависимость модуля Юнга (1) и коэффициента Пуассона (2) ортотропных стеклопластиков АГ-4С (а) и 27-63С (б) от степени армирования без отклонении слоев (сплошные линшг) и при среднем квадратическом угле отклонения 5ф=0,1 (пунктирные линии)

Отличие экспериментальных значений от вычисленных можно объяснить отклонениями направлений слоев от заданных при укладке в пресс-форму и прессовании.

Влияние случайных отклонений. Пусть отклонения слоев от заданных направлений малы, поэтому можно принять

( A P — дисперсия ф). В этом случае, вычисляя по форму­ лам (3.33), получаем следующие зависимости модулей упругости ортотропного материала от Dv:

С\ 111 = Cl 11 Г. С2222 = Cl п ! v -)- Сзззз (1—V)--

— 2 [С] 111 v + Сзззз (1 у) — Cj 1зз — 2Сiзiз] Цр —

118

стости 5%, показано на рис. 21.

Равномерное армирование в плоскости (текстура вра­ щения). Этот случай соответствует равномерному рас-

119

Рис. 21. Зависимость постоян­ ных упругости однонаправленного стеклопластика слоистой структу­ ры от среднего квадратического угла отклонения слоев stp:

£ 3; 2—п2 з ' 3~ Е \ ; 4~ °2 Ъ

0,05 0,10 0,15 Sep

пределению угла <р по направлениям в плоскости армиро­ вания. При вычислении моментов распределения, входя­ щих в формулы (3.32), воспользуемся результатами п. *5 гл. 1. Тогда для макроскопических модулей упругости рассматриваемого композита получаем [12]:

'in i = СшГ, СП22 = Ci 1зз = — (Cj 122 + Сцзз);

Ci212 = Сiзiз = 2 Сi2 1гС1313 (Ci212 + С1 2 12) г\

С2233 = — (Ci 111 + С3333) ----С1313 +

+-7-Ci 133 — (Ci 122 —Сцзз) 2 (8 С1111)"1; 4

С°2323 = "Г" С1з1з -1— — (СJill + С3333 — 2Сцзз);

2 о

С2222 — Сзззз = С2233 + 2С2323.

I ^ налогичнь,й случай рассматривался в работах [125 130], причем в работе [130] найдены лишь средние зна­

В отношении упругих свойств равномерное в плоско-

120