Статистическая механика композитных материалов

ности наполнителя характеризуется соотношением сла­ гаемых в квадратных скобках. Это влияние невелико, если средние модули наполнителя и связующего отлича­ ются существенно и коэффициент вариации упругих

К 1

свойств наполнителя мал. Так, при Р = 0,5, ^ 7 - = 10, uxi =

= 0 ,1 добавка к среднему модулю объемной деформации

неоднородность оказывает все более существенное влия­ ние на макроскопические свойства материала.

Для учета последующих приближений необходимо знать центральные моменты высших порядков модулей упругости 0 (х). На основании формулы (1.16) имеем

Обозначим далее

п[л]

мые); s — число сомножителей в произведении. В частности, DQ2*' = De2); D'e3} = D^3); = (D^2))2;=

= D(e5) — 2D(£ )Dg). Здесь учтено, что D^0) = 1 , D^> = 0 . Используя алгоритм вычисления поправок, изложен­ ный выше, и формулу (3.17), запишем макроскопические

модули сдвига и объемной деформации материала:

101

довать сходимость рядов, содержащих моменты D©1, суммы которых дают ряды (3.18). Поэтому условие сходимости ряда К° запишем в виде

Аналогично получаем условие сходимости ряда G0, полагая, что G' — верхняя граница модуля сдвига наполнителя:

2G* (К + 2G) (Gr— G)

(3.20)

При детерминированных свойствах наполнителя (К' = К 1

G' = G1) из условий (3.19) и (3.20) получаем значения кон­ центраций наполнителя Р, при которых ряды К и G0 схо-

102

Учет анизотропии наполнителя. Рассмотрим двухком­ понентный материал, один из компонентов которого (свя­ зующее) имеет детерминированные и изотропные свойст­ ва, другой (наполнитель) — анизотропный (кристалличе­ ский), причем орты кристаллографических осей равномерно распределены на поверхности сферы. Такой материал имеет изотропные тензоры средних и макроско­ пических модулей упругости (см. п. 5 гл. 1). Вид моментных функций случайных модулей упругости 0(х) такой же, как и в случае неоднородного наполнителя. Структу­

ра тензоров — центральных моментов модулей

упругости 0 1 наполнителя — зависит от симметрии кри­ сталлической решетки.

В корреляционном приближении формула для поправ­ ки к средним модулям упругости выражается формулой

где cr = Ci 111 — Ci i22 —2 C1 2 1 2 ; Cijmn — кристаллографиче­

Nijmn = - 28i}6mn + 3 (8im8jn + 8in8jm).

Поправку к средним модулям объемной деформации получим, вычислив /ii/фф ='3/г^1). Из формулы (3.22) находим р =0. Следовательно, поправка корре­

ляционного приближения к модулям объемной деформа­ ции в случае кубической симметрии кристаллов напол­ нителя совпадает с поправкой, вычисленной для мате­ риала с детерминированными свойствами компонентов.

103

Используя формулу (3.22), нетрудно убедиться, что при кубической симметрии кристаллов наполнителя модуль объемной деформации материала К0 определяется фор­ мулой (3.10), как в случае изотропного наполнителя с детерминированными свойствами.

Поправка к средним модулям сдвига в корреляционном приближении hal) находится по формуле (3.15), в которой

модулей сдвига © 1212 кристаллов наполнителя с кубической симметрией составляют обычно 0,1—0,3 [5, 111], при этом доля слагаемого, учитывающего анизотропию наполнителя, я поправке корреляционного приближения — от 2,5 до 10%

Макроскопический модуль сдвига G° исследуемого материала с учетом моментов высших порядков распре­ деления свойств можно вычислить по формуле (3.18), если ввести следующие обозначения:

— (— 2)Л 1].

Что касается сходимости полученного ряда, то здесь остается в силе условие (3.20), записанное для предыду­ щего случая. При Р = 1 получаем формулу для макромо­ дуля сдвига поликристалла с кубической симметрией зерен, которая, однако, не,совпадает с формулами, выве­ денными в работах [101, 111] ввиду иных предположений о характере моментных функций.

Для кристаллического наполнителя с гексагональной симметрией имеем [53]

104

где с\ — кристаллографические постоянные упругости:

[111]. Вычисления, проделанные для поликристаллов с кубической и гексагональной симметрией зерен [111], показывают, что влияние моментов высших порядков на макроскопические модули упругости невелико (в преде­ лах 10%), поэтому при вычислении макроскопических модулей упругости композитных материалов с анизотроп­ ным наполнителем можно ограничиться учетом слагае­ мых, содержащих корреляционные моменты свойств 0 Т.

105

Е(СПО'10,Шг

Рис. 17. Зависимость модуля Юнга (/,2) и модуля сдвига (3, 4) хаотически армированного стеклопластика от содержа­ ния стеклянного волокна:

1, 3 -п о формулам (1.27); 2, 4—то формулам (3.10)

Рис. 18. Зависимость постоянных упругости однонаправленного стеклопластика от объемного содержания стекловолокна (по

Другой метод вычисления макроскопических модулей упругости композита, позволяющий учесть анизотропию армирующих элементов, изложен в ([112].

Выражения для макроскопических модулей упругости квазиизотропных поликристаллов с гексагональной сим­ метрией упругих свойств кристаллитов могут быть исполь­ зованы для вычисления макромодулей упругости компо­ зитов, состоящих из хаотически ориентированных в про­ странстве однонаправленных нитей, жгутов, лент. Эти элементы структуры также обладают гексагональной симметрией упругих свойств (они, как правило, трансвер­ сально-изотропны). Если свойства элемента известны (например, вычислены по формулам п. 2 гл. 3), то зада­ ча, как и в случае поликристаллов, сводится к нахожде­ нию средних значений модулей и поправок. Средние зна­ чения находятся по формулам Фойгта (1.27), поправки корреляционного приближения — по формуле (3.23), где следует положить Р = 1, поправки последующих прибли­ жений — по формулам работы [109].

Результаты вычисления модулей упругости хаотиче-

106

ски армированного стеклопластика по формулам (3.10) и (1.27) приведены на рис. 17. Упругие модули однонаправленных элементов, входящие в формулы

пт = 0,2; п11= 0,37. Изложенные выше методы могут быть обобщены на случай нелинейного поведения компонентов i[l 13—117].

Вычисление макроскопических модулей упругости пу­ тем решения статистической краевой задачи теории упру­ гости в перемещениях дает «верхнюю» границу модулей [16, 102]. Нижнюю границу получают, вычисляя упругие податливости из задачи в напряжениях.

2. МОДУЛИ УПРУГОСТИ ОДНОНАПРАВЛЕННОГО АРМИРОВАННОГО МАТЕРИАЛА

Однонаправленный материал с изотропными компо­ нентами. Пусть в композитном материале, состоящем из двух изотропных компонентов с детерминированными

емному содержанию арматуры Р воспользуемся ме­ тодом, изложенным в предыдущем параграфе. Тензор Грина G(x, х') одноосно армированной среды с изотроп­ ными компонентами задан матрицей (2.60), компоненты его не зависят от х3. Нормированная корреляционная функция f(,r) рассматриваемой среды также не зависит

от *з(г = У(xi—х[)2+ (х2>—х *2 )2). Учитывая это, записыва­

ем поправку корреляционного приближения к средним модулям упругости в виде (3.2), причем

107

и вычисляя интегралы в полярной системе координат (г, ф\ получаем

/Д/ \

^1212 = ^2121 = я ( М — у I ; /3131 = /3232 - KQ,

остальные компоненты 1цтп равны нулю. Рассматриваемая среда в отношении упругих свойств

является трансверсально-изотропной. Для задания тен­ зора макроскопических модулей упругости следует опре­ делить пять независимых постоянных:

Сцтп = CAAnn + с\ {Sinfijn + ^irAm) +

+ САз^УЗ^тЗ^пЗ + С\ Аз^З^тл. + $1$тЗ$пз) +

/ift— поправки к средним значениям модулей cft.

108

Таким образом, в корреляционном приближении поправ­ ки к средним модулям, дающие пять независимых посто­ янных упругости, равны

материала: Е\ — модуль Юнга в плоскости, перпендику­ лярной направлению армирования (в плоскости изотро­

пии); Е з— Модуль Юнга в направлении армирования; П\ 2 — коэффициент Пуассона в плоскости изотропии;

/х 1з — коэффициент Пуассона, характеризующий сжатие в плоскости, перпендикулярной направлению армирова­

ния, при растяжении в направлении армирования; G 12—

модуль сдвига в плоскости изотропии; G i3— модуль сдви­ га в плоскостях, параллельных направлению армиро­ вания.

Запишем технические постоянные упругости через компоненты тензора макроскопических модулей Сцтпш

109

Нетрудно убедиться, что поправка к среднему модулю Юнга вдоль направления армирования х3

- 0.

Следовательно,

Формула (3.28) дает значение макромодуля Юнга, совпадающее со средним по Фойгту (1.19), а также с ре­ зультатами, полученными различными авторами [14, 16, 17, 46]. Справедливость соотношения (3.28) для одно­ направленных стеклопластиков, не имеющих заметных искривлений волокон, подтверждается и эксперименталь­ ными данными [14, 17, 118, 119].

Как и для хаотически армированного материала, для однонаправленного композита вычисление макроскопи­ ческих модулей с учетом лишь корреляционных момен­ тов дает весьма грубое приближение, если свойства ком­ понентов отличаются значительно. Вычисление поправок последующих приближений (с учетом моментов высших порядков) для однонаправленных материалов аналогич­ но вычислению для хаотически армированных компо­ зитов.

Повторяя операции, изложенные в предыдущем па­ раграфе, при условии предельно локальной координатной зависимости моментных функций высших порядков, по­ лучаем

h\'i>,, = [qn (l* + G*)n+i + ^G*"*1] P (1 — P) (1—2 P f-1\

I1W22 = [qn(/* + G*)n+l — gnG*n+i] P (1 — P) (1 — 2P)n~i;

/t МЗЗ = qnl* (l* 4- G*)n P(l — P ) ( l — 2Py*"1; (3.29)

/12323 = fnG*n+1P (1 — P) (1 — 2P)n~1;

/г3333 = f l * 2(/* + G*)"-1 P (1 — P) (1 — 2P)n~1.

Соответствующие ряды для макроскопических моду­ лей упругости сходятся, если выполняются неравенства

ПО