Статистическая механика композитных материалов

Решение задачи (5.10) представляется в виде

е°Ф = (ф</> + ЧГФ)>

где

Изложенный метод решения статистической краевой задачи теории упругости композитной среды с повреж­ дениями аналогичен методу упругих решений в теории малых упругопластических деформаций [34], посколь­ ку повреждения фактически вводятся через объемные

171

силы, Вычисления согласно этому методу заканчива­ ются, как только с заданной точностью будут найдены величины ра) или е<л

Макроскопические модули упругости двухкомпо­ нентного материала с повреждениями типа пор. Пусть Р 1 , Pz, Q — объемные концентрации прочных элементов

структуры компонентов 1, 2 и пор. Для простоты запи­

<Я1 > = Л ; <Kz> = P2', <A*>='Q. Средние модули уп­

ругости среды с повреждениями

ции и сдвига для среды с повреждениями отличаются от поправок для сплошной среды лишь значениями кор­ реляционных моментов упругих свойств.

<xX>=-p,pt.

откуда после преобразования получаем формулу (5.12).

172

В результате находим макромодули объемной "деформа­ ции и сдвига хаотически армированной двухкомпонентной среды с повреждениями:

К° = К — [K**PiP2 + (KiPi+KlP2)Q\ (/C+4/3G)-1;

и сдвига компонентов. Выражения для соответствующих величин в произвольной итерации / получим, поставив над К, G, Ри Р2, Q индекс (/).

Выражения для модулей с учетом моментов более высоких порядков не приводятся ввиду громоздкости.

Аналогично вычисляются макроскопические модули однонаправленно армированной среды с изотропными компонентами. В данном случае в формулах для попра­ вок корреляционного приближения^ (3.26) следует за­

C°m3 = l + q{l*(l*+т*)Р,Р2 +

4-14 (4 4" щ) Pi 4- 4 (4 4“ пь) P2] Q}*

G3333 = / 4- 2m 4 - q ll**PiP2 + G2IPI4-/2P2) Ql;

G2323 = tn + f [m*2P tP2 4 - {miPi+mlPz) Q].

Вычисления показывают, что пористость особенно сильно влияет на свойства в плоскости, перпендикуляр­ ной волокнам. Влияние пористости Q=0,05 на модули Юнга вдоль волокон и перпендикулярно волокнам при различном содержании стекловолокна в стеклопластике

173

Е-Ю~Ю,Ш 2

Рис. 32. Влияние пористости Q= 0,05 на модули Юнга однонаправленного стеклопластика вдоль волокон (/) и перпендикулярно волокнам (2).

Штриховые линии — без учета пори-

Ofi 0,5 0,6 0,7 Р

штрихами) указаны по данным ,[129].

Средние напряжения в компонентах поврежденного материала. Поскольку (см. п. 1 гл. 4) для вычисления средних напряжений в компонентах требуются те же интегралы, что и при вычислении поправок, нетрудно обобщить процедуру, изложенную выше, на вычисление

величин вида С*- • < > , входящих в выражение для напряжений в компонентах. Эта процедура сводится в конечном счете к замене центральных моментов второго порядка упругих свойств. В результате для средних на­ пряжений в компонентах хаотически армированной среды (с учетом лишь корреляционного приближения) получим

Приведем также соотношения, необходимые для вычисления средних напряжений в компонентах одно­

174

/ -f 3m

8m (l + 2m)

Композитные Среды с повреждениями типа трещин.

По аналогии с действием, дислокаций (согласно А. М. Косевичу [160]) действие повреждений на напряженное и деформированное состояние среды сводится к дейст­

Ч"1»= — Е- fdefv'-[G -e- • (1 + Ф)]'б(х — x*)dV' +

17S

+ 2 J def (v'-G)•[©••(! + Ф)]' 6 (x — x*) dV' =

V

- 2 j*def n'-[G-9- • (I + Ф )]'б(х — x*)dS' —

— S j yd ef G- в '• • (I + Ф)' 6 (x — x*) dV'

V

Первое слагаемое в правой части равно нулю на основании свойств функции Грина. Кроме того, функ­ цию у* def G представляем в виде суммы сингулярного и регулярного слагаемых:

y-defG(x, х') = GcS(x — х') + Gp(x, х').

Тогда интегрирование дает

» = —2Gc6 (х - х*).в* • • (I + Ф*) — 2G; -. 0* • • (I + Ф*)•

мацию в точке за счет увеличения средней деформации в результате разрушений, третье характеризует влияние на деформацию в данной точке повреждений в соседних

условия прочности компонентов, находятся поврежденности

«со<2>= е(1) (х*) и деформации е(1)'

Для произвольного приближения / можно записать

+ Х(о(Р (х*) б (х — х*).

376

В приближении / решается система уравнений вида

При этом е<я»е(Ы).

В отличие от модели разрушения, исследованной в работе [165], модули упругости 0 и С здесь рассматри­ ваются неизменными во всех приближениях. Это соот­ ветствует предположению о малости величины Qv. Если такое предположение не оправдывается, необходимо учитывать изменение свойств 0 и С в результате обра­ зования пустот.

Граничные условия, используемые при вычислении величин е<я, вводятся так же, как в работе [165]. Суще­ ственным является то, что -макроскопические модули упругости, вычисляемые по формулам вида

С° = С + < 0°..(Ф + ЧО>,

оказываются зависящими от напряженного состояния. Для хаотически армированной среды тензор С° остается изотропным только при всестороннем равномерном рас­ тяжении-сжатии. Во всех других случаях тензор С° при­ обретает тот или иной вид в зависимости от приложен­ ной нагрузки.

Решение краевой задачи для среды с трещинами (5.19) дает предельные состояния /?*, начиная с которых последовательность е, eW, е(2), становится расходя­ щейся. Следовательно, начиная с некоторого значения z*, расходится ряд, задающий меру микроловрежденности z. По .совокупности предельных напряженных со­ стояний строится уравнение предельной поверхности макроскопического разрушения. Однако надо иметь в виду, что построенный таким образом критерий макро­ скопического разрушения будет справедлив лишь для однократного нагружения (или многократного при не­ изменном напряженном состоянии). Повторное нагруже­

ние другой системой сил приводит к иному характеру микроповреждений, поэтому имеющаяся поврежденность со должна учитываться как начальная.

армированного (изотропного) материала. Пусть модули

случайные^поля. Напряжения и деформации, отнесенные к элементам структуры материала,— также случайные поля, характеристики распределения которых находятся в результате статистических краевых задач теории уп­ ругости (гл. 2 ). Если распределение напряжений в ком­

поненте &= 1 , 2 нормальное с параметрами р(п \ S (M , T O , принимая, согласно работе [54], ответственными за разрушение растягивающие напряжения в элементах структуры, вычислим вероятность разрушения компо­ нента по формуле

растяжении компонента к.

Величина Qh представляет собой долю разрушенных элементов структуры компонента к. В дальнейшем бу­ дем полагать, что разрушенный элемент структуры пол­ ностью теряет несущую способность, т. е. анизотропию сопротивления элемента с трещиной учитывать не бу­ дем. Если Р\ и Я2— объемные доли компонентов в ма­ териале, то по формуле полной вероятности найдем меру поврежденное™ материала

Q — P\Qz + Я2Q2*

Доля прочных элементов структуры компонента к равна

Pb = Ph( l - Q h).

Разрушение части элементов структуры приводит к перераспределению напряжений. Это можно учесть, по­ строив решение статистической краевой задачи теории упругости для среды с повреждениями типа пор (5.9).

178

Заметим, что итерации по К° и б*'* строятся независимо,

поэтому каждому б,(/) соответствует ряд по К0 Первый член этого ряда дает удовлетворительные результаты, если свойства компонентов отличаются несущественно и

Я°Ф = ДФ — [К*2Р(рР{Р + Q‘/> (К]Р\П+

+ K W ) \ (ЮР + 4/3G1/»)-1;

С°Ф = G(P — 2/5 (ЮР + 2G'/>) [G^P^P^ + (G]P^]+

+ G|P(2,-)) Q'/’j [G</> (ЮР + 4/3G'/»)]-1,

где

Переход к модулям Юнга и коэффициентам Пуассона осуществляется по формулам

Если нагружение производится по способу монотон­ ного увеличения перемещений, то средние (и макроско­ пические) деформации еп остаются в итерациях неиз­ менными. Напряжения и поперечные деформации изме­ няются, поскольку изменяются макроскопические по­ стоянные упругости E°w и п°{.у

Р<П = еиЕ°“'-, еЩ = еЦ>='-п*Ре

где рФ = р’ФРФ + р’Ф'фФ; р\ : 11 — средние напряжения

в среде с повреждениями, вычисленными по формуле (5.15). Имея в виду лишь иллюстрацию сходимости решения, из­ ложенного выше, деформации (продольные и поперечные) в обоих компонентах считаем нормально распределенными,

их дисперсии равными и не зависящими от нагрузки. Коэф­ фициенты корреляции между продольными и поперечными деформациями принимаем равными' нулю. На основании этого дисперсии напряжений в компонентах записываем так:

линейной связи между напряжениями и деформациями в компонентах принимаем нормальный закон распреде­ ления напряжений. Тогда* вероятность разрушения эле­ ментов структуры (можно вычислить по формуле (5 .2 0 ).

Дисперсии напряжений в компонентах считаем неиз­ менными в каждом приближении. Физически это озна­ чает, что концентрация, напряжений, обусловленная появлением трещин, не учитывается. Такое допущение

родное поле напряжений.

Вычисления проводятся до тех пор, пока полученное значение будет отличаться от предыдущего не более чем на заданную малу^о величину. Сходимость последова­ тельности приближений в общем случае не исследована, однако результаты проведенных расчетов показывают, что для некоторых материалов эта последовательность сходится достаточно быстро, и уже во втором приближе­

нии получаем напряжения р и с точностью не ниже 2 %.

назовем макроскопическим разрушающим напряжением при растяжении. Поскольку «нагружение» осуществля­ ется по мягкому способу — путем увеличения переме­ щений, то в результате вычислений удается построить участок диаграммы деформирования за пределом проч­ ности и постепенно достичь Q= 1, при этом рп =*0. Кро­ ме того, ввиду единственности решения упругой задачи участок диаграммы растяжения должен быть одинако­

во