Статистическая механика композитных материалов
..pdfсти армирование эквивалентно так называемой «звезд ной» (трехнаправленной) ^кладке 1 1 1.
Реологические характеристики слоистых композитов исследовались в работах i[131, 132].
4. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
Коэффициенты теплопроводности. Уравнение стацио нарной теплопроводности хаотически армированной (изотропной в среднем и макроскопически) среды при отсутствии внутренних источников тепла (2.37) перепи шем в виде
|
у .к-ут°=у-П , |
(3.37) |
где к= |
< х > ;т°=т—Т\ Т = < т > ; |
П = к - ,у71+ х °-у (^+ |
+т°); |
у Г = const относительно х. |
Средние значения и |
дисперсии коэффициентов теплопроводности вычисляют ся по формулам, приведенным в п. 5 гл. 1 для коэффи циентов линейного расширения.
Для рассматриваемой среды с макроскопическими коэффициентами к° процесс теплопроводности описывает
ся уравнением |
(3.38) |
у к ° -у Г = 0, |
которое можно также получить, осредняя (2.37'):
< y x -V T > = (k + < и°-ф > )-уТ = О, |
|
|||
где ут° = ф-у7\ |
|
|
средним |
|
Величина < х°-ф > является поправкой к |
||||
коэффициентам |
теплопроводности. Она вычисляется из |
|||
уравнения (3.37) |
при условии детерминированной темпе |
|||
ратуры на границе 5 области V, заполненной рассматри |
||||
ваемой средой. При этом |
|
|
||
т° = j G(x, х ')(у П )' dV', |
|
|||
|
V |
|
|
|
где G(x, х ')—'функция Грина уравнения (3.37), |
откуда |
|||
следует |
|
|
|
|
ф = 2 |
Фа) |
= [v G (x> x')(yx°)'dV '; |
||
f = 1 |
|
V |
(3.39) |
|
Фш = |
| уG(x, |
х')(у • x°-q>(*“1))/ dV'. |
||
|
||||
|
v |
|
|
|
121
Средние коэффициенты теплопроводности хаотически армированной среды (с анизотропными компонентами) — изотропные тензоры. Решением уравнения
у - k-yG = 0; G \s = 0
для функции Грина является
G(x, х') = (4n k ry \
где г = |х — х'|.
Ограничиваясь далее двухкомпонентнои средой с изотропными компонентами, имеем
и°= к*Г; Г = Л —Р\ к* = к1— ku \ k*=k* (6и),
где Л1, k 11 — коэффициенты теплопроводности компонентов;
%— индикатор подмножества точек компонента I. Поправка
ккоэффициентам к в первом приближении равна
я2я
М/)= < >4фа/ > = - — (41л~ - J j fifjUnM<Pd&.
о о
В результате получаем
к\У = - к*2 Р { 1 - Р ) ( Щ ~ 1би-
Последующие приближения при условии предельно локальной координатной зависимости моментных функ
ций К |
(хь |
хп) строятся |
так же, |
как и в пМ rjr. 3. |
|||
Условием сходимости ряда для к° служит (1 |
2P)ko(3k) *< |
||||||
<1, т. |
е. ряд |
k° |
сходится |
при |
любых |
отношениях |
|
|
|
если |
только |
Р > 0,2. |
При |
этом мак |
|
роскопические коэффициенты теплопроводности равны |
|||||||
|
о |
|
k?P{\ — P) |
|
1 |
(3.40) |
|
|
кЧ |
|
3 k - ( i ~ 2 P ) k : |
J |
|||
|
|
|
|
||||
т. е. k° в случае хаотически армированной среды
изотропный тензор.
Пусть изотропные армирующие элементы с детерми нированными свойствами ориентированы строго вдоль оси х3, средний коэффициент теплопроводности к
122
изотропный тензор. Уравнения |
теплопроводности имеют |
вид (2.37), (3.38), но в данном |
дх° |
случае ^ = 0 . Выраже |
ние для ф аналогично (3.39), однако интегрирование про изводится не по объему, а по плоской области S (в пло скости XiX2), причем G(x, х') — функция Грина уравне ния теплопроводности — зависит лишь от расстояния г =
= |х—х'| между точками в плоскости х ^ 2: |
|
|
||
С(х, |
х') = |
1 |
|
|
In — |
|
|
||
|
|
2nk |
|
|
Вычисления дают |
|
|
|
|
k\j = kbи ~ |
|
К Р Ч - Р ) _ |
м |
(3.41) |
|
2k — k* (1 — 2Р) |
3 |
‘ |
|
Таким образом, коэффициент теплопроводности одно направленно армированного материала в направлении армирования равен среднему. В направлениях, перпенди кулярных направлению армирования, коэффициент теплопроводности меньше, чем для хаотически армиро ванного материала. Из условия сходимости соответству ющего ряда следует, что полученная формула для к°
1
справедлива при
Результаты вычислений по формулам (3.40), (3.41) показаны на рис. 22.
Коэффициенты теплопроводности ортотропных компо зитов слоистой структуры, составленных из однонаправ
ленных слоев, вычисляются |
по формулам (для главных |
|||
направлений) |
|
|
|
|
О |
0 |
0 |
о |
о |
£*11 = |
k \ u |
£*22 = |
k \ \ V |
+ £33 (1 — v)\ |
|
^*33 = |
£33^ + £11 |
(1 — v)> |
|
где k]j —коэффициенты, определяемые формулами (3.41); и—степень армирования в направлении оси х3 (см. рис. 19).
Коэффициенты линейного расширения и усадки. Вы числим макроскопические коэффициенты линейного рас ширения композитного материала, модули упругости 9(х) и коэффициенты линейного расширения а(х) кото-
123
Рис. 22. Зависимость коэффициентов теплопроводности стеклопластиков от объемного содержания стеклянного волокна [&х=1 Вт/(м-К); &п =0,3 Вт/ (м*К)]:
/—хаотически армированный стеклопла стик; 2—однонаправленный стеклопластик (в направлении армирования); 3—однона правленный стеклопластик (в плоскости, перпендикулярной направлению армирова
ния)
рого, отнесенные к элементам структуры,— заданные случайные поля '[133—136]. Пусть / — детерминирован ная разность температур естественного (ненапряженно го) состояния и эксплуатации. Применяя оператор мате матического ожидания к физическим уравнениям
| = 8- - {г — at),
получаем
р = С --е+ < е°--е°> — < в --а > /.. |
(3.42) |
При некоторых условиях средние напряжения р и де формации е равны макроскопическим (см. гл. 2), связанным соотношениями
|
|
р = С°--(е — а°/), |
|
(3.43) |
|
где |
С° — макроскопические |
модули |
упругости; а°= |
||
= (all) — макроскопические |
коэффициенты линейного |
||||
расширения. |
|
линейного |
расши |
||
Макроскопические коэффициенты |
|||||
рения а]) |
находим, приравнивая правые части |
уравне |
|||
ний |
(3.42) |
и (3.43) и решая полученное уравнение отно |
|||
сительно а°ц. В главных осях тензоров С° и а° имеем |
|||||
|
|
а}} ~ DJJD *. |
|
(3.44) |
|
Здесь D = Djj—определитель, полученный в резуль тате замены соответствующего столбца определителя D на
Ajj = CjjaрааЭ+ ( ®//офаар ) — < ®//аРеар ) t, (3.45)
124
где < 0//apeap > t — слагаемые < 0//аре«р > , содержащие множитель t и определяемые путем решения статистической задачи термоупругости.
Рассмотрим сначала двухкомпонентную среду с изо тропными компонентами, хаотически расположенными в
пространстве. Средние |
и макроскопические постоянные |
||
такой среды — изотропные тензоры, поэтому получаем |
|||
аи = -±-[К а+ К *а*Р (1-Р )}8и - |
|
||
А |
|
|
|
3п*К* |
00 |
S |
|
2 |
<г п |
|
|
к° |
|
||
<;=1 |
т — 1 |
|
|
|
|
||
где К— средний модуль объемной деформации; |
а—средний |
||
коэффициент линейного расширения (а = а 1Р + |
а 11(1—Р)); |
||
а1, а 11— коэффициенты |
линейного расширения |
компонен |
|
тов а* = ах— а11\ п* = А’о1— Ап а и ; К0— макроскопи
ческий модуль объемной деформации, |
вычисляемый по фор |
муле (3.10); |
|
dGiv (xm_1, xm) |
dVm; |
(m-l) |
|
дх/ |
|
Gij(x, x')—компоненты тензора Грина (2.56); Xm= Я(хт)—P. При условии предельно локальной координатной за висимости моментных функций получаем интегралы вида 1цтп (3.5). В результате макроскопические коэффи циенты линейного расширения после некоторых преобра
зований записываем в виде [133]
1111/ |
• P ) ] | V ( 1— Р ) + А ПР + j G + |
|
a0 = |[ ^ Ia IP + A “ a “ (l |
||
+ К*п*Р (1 — Р) |
K lK n + - | KG |
(3.46) |
Здесь G — средний модуль сдвига. Формула справедлива при условии, что ряд К° сходится, т. е. при условии (3.9).
Выражение для макроскопического коэффициента усадки Ь° получим, заменив в формуле (3.46) а1 и а11 на b1 и Ь11— коэффициенты усадки компонентов — соот-
125
ветственно. При этом для армированных и наполненных полимеров обычно можно принять Ь1 = 0, поэтому форму ла для Ь° упрощается:
Ьи к и (1— Р) |
K \ l — 2 Р ) - 2 К и Р + - ^ G |
ь° = |
(3.47) |
|
К хК п + y/CG |
Вычислим макроскопические коэффициенты линейно го расширения однонаправленно армированного двух компонентного материала с изотропными компонентами (направление армирования параллельно xs). Макроско
пические модули упругости Сijmn найдены в п. 2 гл. 3 (формулы (3.31)). На основании (3.44) имеем ,[133]
#11 = #22 = ИиСззЗЗ — ^33^1 1зз)£ i\
#зз = И 33(Сцц -f Ci 122) — 2i4ltCi 133]С"1; (3.48)
L — С3333 (Cjin + Ci 122) — 2Спзз.
Пользуясь представлением решения статистической краевой задачи термоупругости однонаправленно арми рованной среды и локальными моментными функциями, в результате интегрирования (при условии сходимости соответствующих рядов) получаем
Ап =3[Ка+К*а*Р{1—Р)+п*Р(1—Р)(1*+а*)к-{]'
А33=3 [Ka+K*a*P(l—P)+n*P{l—P) |
(3.49) |
h = l + 2m + (t* + G*) (1 — 2Р).
Условия сходимости рядов те же, что и рядов, задающих
макромодули Сцтп (см. (3.30)).
Подставляя (3.49) в формулы (3.48), находим макро скопические коэффициенты линейного расширения одно направленно армированного материала. Формулы для макроскопических коэффициентов усадки получаются в результате подстановки вместо а1, а11 коэффициентов усадки b1 и 6й.
Г л а в а 4
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СОСТОЯНИЯ
1. МОМЕНТЫ
Связь между условными и безусловными мо ментами. Случайный характер напряжений и деформа ций в композитном материале обусловлен двумя причи нами: присутствием разнородных по свойствам компо нентов и случайным характером формы и расположения элементов структуры. Введенные в гл. 2 случайные на пряжения %и деформации е отражают влияние обоих факторов, которые до сих пор не разделялись. Однако для исследования прочности элементов структуры потре буется ввести условия разрушения каждого компонента и рассматривать в связи с этим напряжения и деформа ции в компонентах. Если напряжения %и деформациц е заданы на некоторых множествах L^, Le, соответствую щих множеству L всех точек статистической модели (см. п. 2 гл. 1), то напряжения %к и деформации ги в ком поненте k заданы на подмножествах Le/t, соответст вующих подмножеству Lh. Следовательно, распределения этих величин являются условными распределениями (при условии M(x)GLh), распределения напряжений | и де формаций е — безусловными. Чтобы найти вероятность разрушения элементов структуры, относящихся к компо ненту й, нужно знать соответствующее условное распре деление— распределение случайной величины %j{.
Так же, как и свойства, все характеристики состояния композитного материала представимы в виде (1.13). Для определенности будем говорить только о напряжениях, хотя выводимые здесь соотношения справедливы для лю бых других величин, характеризующих состояние компо-
127
зитного материала, поскольку физический смысл величи ны при выводе этих соотношений не играет никакой роли.
Итак, случайные напряжения %в я-компонентном ма териале выразим через напряжения в компонентах, т. е. в форме (1.13):
|
k=1 |
(4Л) |
|
|
|
Предположим, что случайные величины £/* и Хц ста |
||
тистически независимы |
(такого |
предположения нельзя |
сделать относительно |
величин £ |
и Хк). Действительно, |
если £и — напряжение в компоненте k (в некоторой точке М(х)), а %к— индикатор подмножества Lk точек, принад лежащих этому компоненту, то очевидно, что величина Кк фиксирует лишь присутствие в данной точке компонен та й, в то время как-напряжения определяются харак тером напряженного состояния, формой и взаимным рас положением областей, занять^ различными компонента
ми, |
свойствами |
компонентов. Тогда |
математическое |
ожидание равно |
|
|
|
|
|
P = |
(4 -2 ) |
|
|
ft=i |
|
где |
ph = < ) ; |
Ph = < Хк > (см. п. 4гл. 1), поскольку ма |
|
тематическое ожидание произведения независимых случай ных величин равно произведению их математических ожи даний.4
Умножим левую и правую части равенства (4.1) на Я,;. |
|||
Учитывая |
свойства индикаторов Яг (А,гЯ,;, = Я;, |
если i — k, |
и |
\{kk = 0, |
если i Ф k) и меняя индекс i на k, |
имеем |
= |
= %h%. Применяя к этому равенству оператор математи
ческого ожидания, получаем < |
) В левую |
|
часть вводим флуктуации А* и |
и учитываем независимость |
|
lh и Xh. В результате |
получаем |
|
< |
) + pPh = PtJ*hi |
|
откуда следует формула для условного математического ожидания
Ри = Р + РГ1а й ° > . |
(4.3) |
128
Чтобы получить формулу для условных дисперсий, возводим в квадрат левую и правую части соотношения (4.1), а затем умножаем на Хь и применяем оператор ма тематического ожидания. Это дает
Вводя далее флуктуации, получаем
< *к°2 > + P hD[2)+2p < а ° > +PhP2=Pk (pl + М 2)).
Таким образом, условная дисперсия
D[2)= р* + D <2> _ pl + р Т \ < > -|-2р < А,Й° > ). (4.4)
Формулы (4.3) и (4.4) получены другими методами в ра ботах [99, 135].
Применяя изложенную процедуру для вычисления условных центральных моментов произвольного поряд ка т,находим
т |
|
т—1 |
£>('">= 2 сАр”"*(V <ГГУ >+£>«>)-2 |
||
i= 0 |
|
1’= 0 |
где D<0 = < (£7 |
> ; D(°) = |
1; D(1>= 0. |
В некоторых |
случаях, |
например для построения плот |
ности совместного распределения составляющих тензора на пряжений в компонентах, нужно знать также смешанные условные моменты. Вычислим условный корреляционный
момент Кк2)= < &Ч* > . гДе Л* = % — V- sft= < % > . Как и в предыдущих вычислениях, записываем
k=i
умножаем левую и правую части равенства на Хи при меняем оператор математического ожидания и вводим флуктуации. В результате получаем
Ki2)= /С(2) + ps — pAsft— |
|
||
- P k '( < |
> + s < Я Г > + p < |
>). |
|
Здесь K{2) — < I V ) |
Если |
положить £ = rj, |
то придем к |
формуле (4.4) для условной дисперсии. |
|
||
Вычисление смешанных |
условных моментов более |
||
9. Зак. 674 |
129 |
высоких порядков не представляет принципиальных затруднений.
Средние напряжения в компонентах. Вычислим услов ные средние напряжения, ограничившись вначале двух компонентной упругой средой с изотропными компонен тами. Безусловные -средние напряжения р известны, если решена классическая задача теории упругости (см. гл. 2 ). Вычисление условных средних напряжений р,( сводится,
таким образом, к вычислению моментов вида < Я° Г ) Учитывая, что в случае двухкомпонентной среды Г = Г ,
= Г , где Г = Я—Р, Я = Г , Р = Ри будем искать моменты вида < Ге° ) , поскольку при k = 2 изменяется лишь знак.
Учитывая, что флуктуация напряжений
Ъ°=1—р=в°- -е°+С- •8°+0°- -е+с- -е—С0- -е,
имеем
< Г |° > = < Г0°- -е° > +С- • < Ге° > + < Г0° > • е. (4.5)
Так как в случае двухкомпонентной среды 0° = С*Г, где
С* = С1 — С11; С1, С11—модули упругости компонентов, то (4.5) преобразуем к виду
< Г|° > —С* - • < Г*в0 > +С-- < Ге° > +С*. -еПГ- (4.6)
причем первое слагаемое в правой части содержит мо менты третьего и более высоких порядков распределения свойств. Согласно п. 6 гл. 2 , в случае макроскопически гладкого поля деформаций е°= Ф--е, где случайный функционал Ф записывается в виде ряда (2.71).
В корреляционном приближении момент (4 .6 ) равен
< ГГ > =С*- -eZ)ji2) + С- • < Г Ф 4> . -е,
причем с учетом формулы (3.2) для корреляционной поправки выражение можно переписать в виде
< Г |° >= D i2)(C* + C*.-I--C*)..e.
Тензор I задан интегралами (3.3) для хаотически арми рованной среды. Поскольку эти интегралы вычислены, то задачу определения условных средних напряжений можно считать решенной.
Для составляющих тензора средних напряжений в
130