Статистическая механика композитных материалов

l —n = 2; 2—11 = 3; 3—n = 4; 4—ti = 5

Рис. 6. Зависимость коэффициента вариации v ^ от Р= ( X >

анализа. Но они дифференцируемы неограниченное число 'раз в классе обобщенных функций. В дальнейшем под дифференцируемостью функций Хи(х) подразумева­ ется дифференцируемость «в классе обобщенных функций.

Случайные поля. Пусть 0(х) — случайная функция, заданная на статистической модели V* композитного материала, например, тензор модулей упругости.

Случайное поле 0(х) назовем статистически одно­ родным, если многоточечные законы распределения (в случае модулей упругости анизотропного тела /г-точеч­ ный закон распределения имеет 21/г измерений) оста­ ются неизменными при параллельном переносе системй точек Л4(х!), М(х2), ..., Af(xn). Случайное поле, имею­ щее указанное свойство, называют также статистически однородным в узком смысле [63].

21

ментной функцией порядка я(п=1, 2, ...) случайной функции 0(х) является функция

Функцию 0(х), удовлетворяющую условиям: 1) Ма) (х) = = const относительно х; 2) /С<2) (х, х') = К(г) (х — х'), на­

зывают статистически однородной в широком смысле. Случайное поле физических свойств 0(х) реальных

композитных материалов может быть как анизотропным (зависящим от определенных направлений ов компози­ те), так и изотропным. В случае статистически однород­ ного поля «-точечный закон распределения инвариантен относительно параллельного переноса точек, но может изменяться три повороте системы точек относительно заданной для тела У» системы координат (*ь *2) *з).

Эргодичность. Важным свойством статистически од­ нородных (стационарных) случайных функций является эргодичность. Статистические характеристики случай­ ных функций, обладающих этим свойством, Могут быть определены в результате изучения только одной доста­ точно представительной реализации. Средние по одной реализации ((пространственные или временные), пред­ ставляющие собой, вообще говоря, случайные величины, при некоторых условиях сходятся к соответствующим математическим ожиданиям. В теории вероятностей доказываются эргодические теоремы, формулирующие условия сходимости. Моментную функцию статистиче­ ски однородного случайного поля, эргодического по от­

22

ношению к корреляционной функции, можно предста­ вить в виде [64]

К(4,(Х1, х2, Х„ х*) = [D<*>-3 (D«>)*] f i23,k \-

+ (D{2))2(/12/34 + / 13/24 + / 14/23)»

ского по отношению к моментным функциям произволь­ ного -порядка, однако соответствующие выражения гро­ моздки.

4. СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ СТРУКТУРЫ

Моментные функции. Пусть Xh(х) — индикаторная функ­ ция множества Lh точек, принадлежащих компоненту к. Если случайное поле Xh(х) статистически однородно, моментная функция первого порядка < Хк (х) > = Рк = const относительно х; центральные моментные функции порядка

п2 зависят лишь от расстояний между точками М (хА),

, М ( х п).

Исследуем моментные функции случайного поля Хк (х)у. характеризующего структуру композитного материала. Для простоты опустим индекс к и будем обозначать X' = Х(х'), X" = Я(х") и т. д., Х° = X— Р\ Р = < X )

Корреляционная функция случайного поля Х(х) равна

23

Так как (ХХ'Х"^ = Р им", то

М 3)(х, х', x") = P lr i ' ' - P ( P n ' + Pii'' + P l’i'') + 2P3.

- (1-7) Аналогично получаем выражение для моментных функций

более высоких порядков. Например,

моментных функций свести к задачам нахождения гео­

щего 'распределение арматуры >в однонаправленном

распределение хорд можно получить, пользуясь извест­ ными соотношениями для параметров и плотности (или

для хорды, случайным образом пересекающей круг слу-

24

чайного радиуса, равномерно распределенного в проме­ жутке [0, г], имеем

интегралы, которые в элементарных функциях не берут­ ся. Еще сложнее найти распределение длин промежут­ ков между кругами, расположёнными случайным обра­ зом. В общем случае длина участка, заполненного свя­ зующим, есть функция случайных величин: расстояния между центрами кругов, диаметра кругов и угла, харак­ теризующего направление хорд по отношению к пря­ мой, соединяющей центры кругов.

Пусть средние значения длин хорд и промежут­ ков связующего равны соответственно а и Ь, тогда отно-

Обозначим P w ~ Р (XА/ = 1) через Р {А^А2) —это есть вероятность произведения случайных событий At и Л2, со­ стоящих в том, что точки М (х) и М(х') попадут на во­ локно. Тогда корреляционная функция имеет вид

Kl2)(x, х’) = Р {А,Аг) - Р\

Вероятность произведения случайных событий А\ и Аг запишем по теореме умножения

25

Рис. 7. К построению корреляционной функции (х, х')для стеклопластика

а—точки М и М' принадлежат одному волокну; б—точки М и М' принадлежат соседним волокнам

где Лг | — событие, состоящее в том, что вторая точка

попадает на то же волокно, что и первая; А\ | At — собы­

тие, состоящее в том, что вторая точка попадает на сосед­ нее волокно, и т. д. Задача вычисления корреляционной функции сводится к вычислению условных вероятностей

Р{А12\А,).

Рассмотрим случай, когда / = 1, т. е. обе точки попа­ дают на одно волокно (рис. 7, а):

26

личины. Распределение £i находится по распределению хорд

волокон> Рассмотрим случай, когда вторая точка попадает на

соседнее волокно (рис. 7, б):

ры (длина участка, занятого связующим). Из независимос­ ти величин ||\ rji, \г следует

Р (Al \Al) = P ( ^ < t ) P ( ^ t ) = Ft (Oil - (Ob

где F^(t) и F#(t)— функции распределения £ = £i -f-rji и

ft = £1 + 'Hi + ^2 соответственно, которые находим как ком­ позиции законов распределения слагаемых. Аналогично рассматривая другие условные вероятности, получаем кор­ реляционную функцию в виде

Средние значения и средние квадратические отклоне­ ния величин £г и 'Q'i находятся по соответствующим па­ раметрам распределения длин участков, занятых арма­ турой (а, а) и связующим <(&, 5) но формулам

<~ — b (i — 1) а +

27

fx (i)

Рис. 8. Нормированная кор­ реляционная функция, вы­ численная по распределени­ ям хорд и промежутков между волокнами. Точки — экспериментальные значения

-0,5

По данным экспериментальных исследований микро­

нормальное распределение (согласно теореме Крамера), если их сумма = £ j +1" — нормально распределенная

величина. Построенная по этим результатам нормированная

корреляционная функция Д (/) = [D^2) ]_1 К[2) (t) показа­ на на рис. 8. По виду она соответствует функции, пост­ роенной экспериментально для того же стеклопластика.

Изложенный метод может быть применен для построе­ ния моментных функций любого порядка. Однако вычисле­ ние вероятностей для более чем двух точек оказы­ вается сложным. Аналогичные задачи определения геомет­ рических вероятностей решаются методом статистических испытаний (методом ]у1онте-Карло) [65, 68, 69].

В работе [68] по методу Монте-Карло на ЭВМ «Минск-32» исследовали зависимости вероятностей Ри* и Р\\'\» от расстояний между точками. В квадрате 1 х 1 случайным образом размещали 1356 кружков радиусом г = 0,008112452;

резка при /^2,25г и 10000 бросаний при t > 2,25г. По­ лученную зависимость Pi\'(t) аппроксимировали функцией

28

Проблема построения моментных функций компо­ зитных материалов обсуждалась .также в работе [3]. Рассмотрен подход, основанный на предположении, что включения образуют пуассоновское поле точек (случай малой концентрации включений).

Экспериментальное исследование структуры стекло­ пластиков. Некоторые данные об одномерных распреде­ лениях, характеризующих структуру стеклопластиков, приведены в п. 1 гл. 1. Здесь изложены результаты по­ строения моментных функций для стеклопластиков двух типов: однонаправленного на основе жгута ЖСР и хао­ тически армированного марки СНК-2-27 [66, 67].

Поверхности образцов после тонкого шлифования и полирования обрабатывали в течение 5 мин в концент­ рированной азотной кислоте для получения четкой гра­ ницы между стекловолокном и связующим. На микро­ скопе МИМ-8 поверхности микр'ошлифов фотогра­ фировали на пленку Микрат (увеличение микроскопа составляло 500Х). Затем на фотоотпечатки с общим увеличением элементов микроструктуры около' 1000Х наносили квадратную сетку с ценой деления 2 мм (при­ мерно 0,2 среднего диаметра изображения волокна).

Реализацию случайной функции Я(х) регистрирова­ ли в узлах сетки (реализация (равна единице, если узел находится на изображении стекловолокна, и нулю, если узел попадает на связующее). Результаты заносили в таблицу, каждая строка которой соответствовала одно­ му участку шлифа (одной реализации функции А,(х)) протяженностью 0,1—0,2 мм (50—100 точек на фотоот­ печатке). Всего для составления таблицы использовали по 50—100 реализаций. Следовательно, общее число точек, по которым строили момейтные функции, 2500— 10000. Для сравнения строили также моментные функ­

29

ш ш

ш

Рис. 9. Типичные комбинации точек при вычисле­

7-го порядка включительно для некоторых конфигураций

ными координатами, имеют разброс. Коэффициент вариации составляет около" 10% для однонаправленного стеклоплас­ тика и 20% для СНК-2-27. Разброс является следствием экспериментальных ошибок и технологических причин, ко­ торые обсуждаются, например, в работах [6, 10, И —13, 29].

Для стеклопластиков с более равномерной пропиткой армирующих материалов связующими разброс содержания арматуры может быть пренебрежимо мал, следовательно,

для таких материалов величины Р, D[n) и К[п) можно счи­ тать постоянными относительно координат. Отсутствие ста­

корреляции значений этих величин, взятых в соседних точ­ ках (см. рис. 10). Коэффициент корреляции убывает с уве­ личением расстояния между точками.

Экспериментальные данные (см. рис. 11 —13) указы­ вают на возможность представления моментных функ-

30