Статистическая механика композитных материалов

материала в трансверсальной плоскости при значениях дисперсий деформаций:

/- 0 ,7 5 * 10е; 2— »10е; 3 -1 ,4 • 10е

Рис. 34. Зависимость поврежденности однонаправленного компо­ зитного материала от растягивающих напряжений при значениях дисперсий деформаций:

/ — 0,75 • 10е; 2— 10е; 3— 1,4 • 10е

вым при нагружении по мягкому и жесткому способам (путем увеличения напряжений).

Вычисления проводили для материала со следующими свойствами компонентов: Ех = 6,6-109 Н/м2; Ег — 2,85-109 Ц/м2; п1=0,32; /г2 =0,3; р*= 4 - 107 Н/м2; р* =4,5-207 Н/м2.

Эти постоянные характерны для эпоксидно-фурановой ком­ позиции, для которой экспериментально построено распре­ деление деформаций в компонентах (см. п. 4 гл. 4). Дис­ персию деформаций принимали равной экспериментальному значению 10_6, а также близким к этому значениям. Кроме того, в расчетах варьировали свойства компонентов и их концентрацию.

Типичные диаграммы растяжения, вычисленные по изложенному методу, показаны на рис. 33. Зависимости микроповрежденности от. истинных напряжений приве­ дены на рис. 34. Макроскопическое разрушающее на­ пряжение р* оказывается меньше предела прочности обоих компонентов (разброс прочности компонентов для исследуемого материала оценивается коэффициен-

181

1

Рис. 35. Зависимость разрушающего напряжения р* (1) и по­ врежденное™ Q* (2) от дисперсии деформации

том вариации 5 —1 0 % и при расчетах не учитывается). С увеличением дисперсий деформаций- (и напряжений) прочность композиции уменьшается, а микропо­

компонентов приводит к увеличению прочности компо­ зиции, однако микроповрежденность Q* остается прак­ тически неизменной. Увеличение и уменьшение исходной

рассмотренном примере прочность наполнителя меньше прочности связующего, а коэффициент Пуассона боль­ ше, чем у овязующего. Такое соотношение, вообще го­ воря, не характерно для высокопрочных композитных материалов. С увеличением концентрации арматуры микроповрежденность Q* несколько увеличивается.

Хотя компоненты материала предполагались линей­

182

Вычисленные и построенные экспериментально (на образцах, описанных в п. 4 гл. 4) диаграммы деформи­ рования приводятся на рис. 36. Применялись два спосо­ ба регистрации перемещений [166]: путем фотографи­ рования рисок на образце и последующего измерения расстояний между ними под микроскопом и путем из­ мерения сопротивления тензорезисторов с большой ба­ зой.

3.РАЗРУШЕНИЕ ТЕЛ

СНАЧАЛЬНЫМИ ТРЕЩИНАМИ

нагрузки при нормальных расчетных условиях эксплуа­

собностью оказывать сопротивление внешним силам на стадии макроскопического разрушения, когда на участ­ ках концентрации напряжений появляются макротре­ щины.

Проблема живучести элементов конструкций разра­ батывается в двух основных направлениях: 1 ) путем изучения процесса накопления повреждений в первона­ чально неповрежденном теле, .возникающих от действия внешних нагрузок; 2 ) путем изучения равновесия тел с

183

начальными макротрещинами (механика разрушения [168—171] ). Здесь приводятся некоторые результаты исследований, предпринятых для разработки второго направления.

Тензоры макроскопических напряжений р(х), дефор­ маций е(х) и перемещений и(х) в точке Л4(х), задан­ ной радиусом-вектором х, данного тела V в задачах ме­ ханики разрушения связаны уравнениями

где для линейно-упругого материала

С — тензор мак'ромодулей упругости. В случае упругопластического материала при активной деформации (de> 0 ) уравнение состояния p = f(e) нелинейно. При разгрузке от точки (е°, р°) фазового пространства {е, р} уравнение состояния линейно:

жений от внешней нагрузки р(х), если внешние по от­

странстве {р} замкнута в том смысле, что любая траек­

функцией сопротивления S i= f(ei) (рис. 37).

Отметим, что равенство (5.24) справедливо для всех внутренних точек области Vs и может быть нарушено на ее границе Sv-

Точки тела V, внешние по отношению к данному

184

/

гружения. Тензор р(х), описывающий условия нагруже­ ния элемента dlV, назовем жестким, если податливость

эксперимента известно, что условие (5.24) выполнено в области упругих (0 ^ |е |^ |е т|) и пластических дефор­ маций (|ет|^ |е |^ |е в|) вплоть до предельной поверхности прочности материала (ев, SB). Здесь |е| — модуль шести­ мерного вектора деформаций в подпространстве {е}; ет, ST, ев, SB— точки предельных поверхностей пластичности и прочности в подпространствах {е} и {р} фазового про­ странства {е, р}. Уравнение состояния p = f(e) на интер­ вале 0 ^ |е 1^ |е в| не зависит от жесткости тензора р(х).

Если |е|>|ев|, то при жестком тензоре р(х) условие равновесия (5.24) нарушается, сопротивление материа­ ла разрушению стеновится неустойчивым, образующая­

верхности полного равновесного разрушения материала:

185

37). В точке А жесткому тензору р соответствует дина­

весного разрушения.

Промежуточная жесткость тензора напряжений р(х)

щей ветви диаграммы р\(ё\).

Замкнутая функция сопротивления материала была построена сначала по результатам расчета повреждений в системе параллельно соединенных волокон [172], за­ тем получена экспериментально при растяжении стан­ дартного образца из поликристаллического металла (стали) по специальной методике, обеспечивающей со­ хранение равновесия (5.24) [173].

Система нагружения элемента dlV — участка ра­ счетной части стандартного образца, где возникает макротрещина,— даже при растяжении на абсолютно жесткой машине слишком податлива. Податливость обусловлена относительно большой (по сравнению с радиусом) длиной расчетной части образца.

Мягкий тензор напряжений для элемента dlV впер­ вые экспериментально получен в работе [174] на мо- ' дельном материале — крупнозернистом поликристаллическом цинке. Если известна полностью равновесная диаграмма напряжений данного технического материа­ ла, полученная на стандартном образце, по ней нетруд­

186

растяжение. Однако стандартные испытательные маши­ ны имеют сравнительно малую жесткость нагружающих устройств и сама методика испытаний не преду­ сматривает необходимости сохранения условия равно­ весия (5.24). Поэтому общепринятые нелинейные урав­ нения состояния соответствуют жесткому тензору р.

механики разрушения можно получить результаты, про­ тиворечащие эксперименту.

Экспериментально установлено, что растянутая пла­ стинка с начальной поперечной щелью или макротрещи­

при растяжении пластинки макротрещина может быть равновесной (иметь малые приращения длины dl при малых приращениях нагрузки dQ) только в том случае, если“жесткость тензора р достаточно мала (Do— малая величина). При условии Р\ = Р2>0, рз = 0 уравнение р=

187

Рис. 38. Схема растяжения пластины с начальной щелью

Рис. 39. Эпюры напряжения p2(*i):

механики разрушения. Если пластинку из первоначаль­ но сплошного (неповрежденного) материала, не.имею­ щую щелей или макротрещин, растягивать на специ­ альной достаточно жесткой машине по методике, обес­ печивающей сохранение условия равновесия (5.24), то

188

Рис. 40. Диаграмма растяжения первоначально неповрежденной плас­ тинки

Рис. 41. Эпюра остаточных напряжении

при некоторой нагрузке Q=Q' в ней появится равновес­ ная макротрещина заданной длины 2/о. Ее нетрудно зафиксировать, если разгрузить пластинку. Эту макро­ трещину будем называть естественной, поскольку она получена при условиях нагружения, аналогичных тем, которые будут использованы в дальнейшем для изуче­ ния несущей способности пластинки с начальной макро­ трещиной.

На рис. 40 показана диаграмма растяжения перво­ начально неповрежденной пластинки.'На участке М2М3...

189

макротрещины и е2= е\ < оо; е\ — предельная деформация

равновесного разрушения материала при растяжении вдоль оси х2. (см. рис. 37). Фазовая точка (е, р) состояния эле­

мента dlV материала у конца макротрещины принадлежит границе Sy области Vs.

Равновесная эпюра II позволяет обосновать резуль­ тат эксперимента на пластинках с начальными макро­ трещинами: несущая способность таких пластинок мо­ жет быть конечной (отличной от нуля).

Чтобы установить характерную особенность естест­ венной макротрещины, отличающую ее от искусствен­ ной макротрещины или щели, после нагружения перво­ начально неповрежденной пластинки до точки М3 и раз­ грузки по линии M3N3 (рис. 40), используем эпюру II (см. рис. 39) для определения остаточных напряжений с

максимальное сжимающее напряжение р2 (плоское на­ пряженное состояние сжатия).

В процессе повторного нагружения пластинки, имею­ щей естественную макротрещину, по линии N3M3 вплоть

ны. В точке М3 они уравновешены .напряжениями от внешней нагрузки, и поэтому возможно дальнейшее уве­ личение размеров трещин.

Эпюра III (см. рис. 39) построена для случая, когда от­ резок АВ (см. рис. 38) представляет искусственную началь­ ную щель (пластинка с такой щелью до начала нагруже­ ния не имеет начальных напряжений). Уже при малой нагрузке Q размер щели 21 увеличивается (если жесткость А, достаточно мала) за счет образования равновесной ес­ тественной макротрещины (ДI = хр— 10). Поэтому эпюра III начинается из точки х(хр, 0), где р2 = 0. Максимум эпюры

190