Статистическая механика композитных материалов
..pdf[2 eJ»k)M x m) - c m] > , |
(1.20) |
h=1 |
|
однако исследование их в общем случае (для произ вольной многокомпонентной среды) представляет опре деленные трудности. Наиболее простой вид моментные функции свойств в (я) имеют для двухкомпонентной среды с изотропными компонентами, свойства которых детерминированы (например, для стеклопластиков).
|
Пусть |
С1 и С11 — свойства |
арматуры и |
связующего |
|
(С ^ С 11); |
= |
1— X = V. |
<Х> = Р . |
Тогда С = |
|
= |
С1Р + |
Сп (1 — Р). Флуктуации свойств равны 9°(х) = |
|||
= |
С*Х° (х), где |
С* = С1 — С11, Х° = X— Р. Отсюда видно, |
|||
что координатная зависимость моментных функций свойств 0 (х) полностью определяется координатной зависимостью моментных функций случайного поля А,(х):
К ^Ч хь |
хт ) = с г |
СМ ГЧх!, |
Х т ) . |
Более сложный вид имеют моментные функции |
|||
свойств двухкомпонентного |
материала, |
если свойства |
|
одного из компонентов случайны вследствие неоднород ности и анизотропии частиц. Пусть в 1 — случайное свой
ство |
наполнителя (арматуры), Сп — детерминирован |
|
ное |
свойство связующего, |
Я (х)— индикаторная функ |
ция подмножества L1 точек |
наполнителя. Предполагая, |
|
что в пределах данного элемента структуры .реализации свойств в 1 постоянны, имеем
0 (x) = e4(x) + c " [ i - i ( x ) ] .
Математическое ожидание статистически однородно го поля в(х) постоянно относительно координат и равно
С = |
< 0 ) = СгР + С 11 (1 — Р), |
||
где С1 = ( 0 1 ) = |
const относительно х. |
в точке М (х;): |
|
Находим флуктуацию свойства 0 |
(х) |
||
|
0о(х ,)= С ? А ; + |
0 Г Р |
(1.21) |
и по формуле ( 1 .2 0 ) записываем корреляционную°функцию(
имея в виду, что значения 0 1 статистически не зависят от X (расположения элементов структуры):
41
Kk2) (X 1)X2) =C?C5M 2 ) (x1I X2) + < 0'l°02° > M 2’ (X t, X2).
Здесь < 0 Г 0 Г ) = О(021)(х1, x2)— корреляционный момент
свойства 0 1 ; УИ12) (xlt х2) = < A(Xj) Я,(х2) ) — начальная моментная функция второго порядка индикаторной функции
X(х). Координатная зависимость функции /Сх,2> (Xl, х2) и М*,2) (х,, х2) исследовалась в п. 4.
Если значения 0 1 в различных элементах структуры статистически независимы, то
< 0 Г 0 Г > л 4 2,(Х1, |
х2) = < 0Г©2° > |
PiP2l, |
122 |
|
( . ) |
где Р\ = Р — вероятность попадания точки М (xt) на не которую частицу наполнителя; Р21 — условная вероятность попадания точки М (х2) на ту же частицу. В отличие от случая, рассмотренного в п. 4, здесь учитывается только первое слагаемое суммы (1.9), поскольку при попадании точек М (хА) и М (х2) на различные частицы наполнителя, согласно предположению, равны нулю корреляционные
моменты < 0 i°0 2 ° ) |
|
функций |
( 1 .2 2 ) по |
Простые координатные зависимости |
|||
лучаются, если отрезки |
(см. (1.10) |
и рис. |
7) распре |
делены по экспоненциальному закону или закону Релея. При экспоненциальном распределении
следовательно, < 0 1°0 2 ° > М[2) (хи х2) = < 0 Г©2* > Ре~аг,
где г = | Xj — х2|; а — параметр распределения. Такой вид имеет, в частности, корреляционная функция, описываю щая распределение мартенсита в стали [72].
При распределении li по закону Релея с параметром h
|
Fr (r) = |
l - e ~ htr* |
|
|
|
|
si |
|
|
|
|
< е ! ° е Г > |
л С > ( Х1, X 2) = |
< 0 Г 0 Г |
> P <r h*r‘ |
||
Перемножая |
флуктуации |
(1.21) |
в |
точках 7W(xi), |
|
М(х2) и М(х3) |
и гприменяя |
оператор |
математического |
||
42
ожидания, получаем моментную функцию третьего по рядка свойств 0 (х):
Ке3) (х1( Ха, |
х3) = С*С*С* /Сл.3’ (xj, х2, |
х8) +М ,3) (х1( х2, х3) |
|
(< е Г е Г е Г > + cf < 0 Г 0 Г > + с 2* < 0 Г 0 Г > + |
|||
+Сз* < 0 |
Г0 Г > ) - |
Р [С? < ©Г0 3 ° > |
Ml2) (ха, х3) + |
+С 2* < 0 Г0 |
Г > м !2) (Xl) х3) + с! < 0 |
Г0 Г > м12 )(х„ Ха)]. |
|
Выражения для моментных функций высших поряд |
|||
ков получаются еще |
более громоздкими. Эксперимен |
||
тальные данные о координатной зависимости этих функ ций отсутствуют. Для аналитического построения ука занных зависимостей необходимо вычислить вероятность того, что некоторые т точек принадлежат случайным образом ориентированному элементу структуры задан ной (вообще говоря, случайной) формы.
Условные моменты. Заметим, что всюду при вычис лении моментов в 1 математическое ожидание берется по множеству L1 точек, принадлежащих компоненту I, т. е. это условные моменты. Рассмотрим методы вычисления условных моментов.
Закон и моменты распределения свойств компонен тов могут быть заданы на основании экспериментальных данных или априори. Возможно также вычисление мо ментов, если задано распределение анизотропных эле ментов структуры по направлениям. Эта задача анало гична задаче о распределении свойств однофазных по ликристаллов, исследованной в работах [5, 16, 59, 73— 76]. Необходимость решения данной задачи возникает при. построении статистических моделей композитных материалов, армированных нитевидными кристаллами.
Пусть Сijmn — компоненты тензора модулей упругости некоторого элемента структуры в кристаллографической
системе координат (*ь*2 ,хз). При неупорядоченном рас положении элементов структуры модули упругости, отне сенные к системе координат (хь х2, х3), связанной с телом (так называемой лабораторной), — случайные величины,
поскольку случайны углы между осями х[ и Xj. Модули упругости в лабораторной системе выражаются через кри сталлографические постоянные по формулам преобразования
®ijmn ~ |
> |
(1.23) |
43
где ки = cos (х;, x'j); по повторяющимся греческим индек сам предполагается суммирование от 1 до 3. Обычно в ка честве трех независимых параметров, определяющих вза имное положение осей кристаллографической и лаборатор ной систем координат, принимают углы Эйлера (р, ф, О.
Зная распределение углов Эйлера, находим распределе ние и моменты модулей упругости 0 гЛпп как функции слу
чайных величин. В частности, для |
математического |
ожида |
|
ния имеем |
|
|
|
Я 2я 2я |
|
|
|
С < л п п - j j |
Щ О Ар, Ф, |
« (« . V, t) d u d v d t, |
(1 .24) |
ООО |
|
|
|
гДе /ф,Ф,#(и* |
О — плотность |
совместного распределе |
|
ния углов Эйлера.
Композитный материал, хаотически армированный в пространстве. При хаотическом расположении элементов структуры в пространстве все направлении кристаллогра
фических осей х[ равновероятны. Концы орта оси х3 рас пределены с равномерной плотностью на сфере единичного
радиуса. Поэтому (см. п. 4 гл. 1) U(t) |
sint. |
Плотность совместного распределения углов Эйлера |
|
можно представить в виде |
|
/ф,ч>,ф(м. у. О = U { t ) f ( v \ t ) f { u \ v , |
t), |
где / ( пЮ и f(u\v, 0 — плотности условных |
распределе |
ний. Так как при фиксированном тЭ' углы ф и ср равномер
но распределены в интервале |
от 0 до 2 л, т ° / ( у| 0 |
==" ^ ' > |
||
f ( u \ v , 0 |
= 17 - |
|
|
|
Т а к и м |
образом [7 3 ], |
|
|
|
|
/Фф.о(“. о. 0 |
= -r -r -sin t- |
О-25) |
|
|
|
|
8л2 |
|
В дальнейшем вместо составляющих тензора модулей |
||||
упругости |
0 ,;mn и тензора податливостей \himn будем рас |
|||
сматривать элементы |
и л Рд соответствующих |
им мат‘ |
||
риц модулей и коэффициентов деформации (здесь |
р, Я = |
|||
= 1, 2, |
6). |
|
|
|
44
Переход от тензорных обозначений постоянных упру
гости к матричным осуществляется |
по следующему прави |
|
лу замены |
индексов: 11->1; 22->2; |
33—^3; 23, 32->-4; 31, |
13->5; 1 2 , |
2 1 -> 6 . Кроме того, при переходе к тензорным |
|
обозначениям упругих податливостей появляется множитель:
Uijmn = 2 “ftjtpq, где k |
равно |
числу |
индексов р, |
р > 3. |
Например, П1122 = я12; |
П1112 = |
^ ; |
П3212 = |
При |
|
|
2 |
4 |
|
переходе к матричным обозначениям модулей упругости множитель отсутствует.
Для вычисления моментов первого порядка свойств npq нужно найти математические ожидания произведений
Вследствие |
равновероятного |
распределения кристаллогра |
|||||||||||
фических |
осей |
выполняются |
соотношения: < Mi |
> = |
|||||||||
-- < Mi ) = < Mi > = < М2 |
) = < Мз ); |
< М3 М2 |
) = |
||||||||||
= < М2 Мз > = < М2 |
Мз > |
И т. д. Применяя формулу (1.25), |
|||||||||||
находим |
|
|
я 2я 2я |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
sin4 |
v sin61 dudvdt |
|
|
|||
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
я 2я 2я |
|
|
|
|
|
|
|
|||
< Л-32 ^33 ) |
Шcos2 |
v sin31cos4 dudvdt= |
|
|
|||||||||
8л2 |
15 |
||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( M1 M2 M3 ) = ( M2 M3 ) — ( М2 Мз ) — 0 |
и т. д. |
|
|
||||||||||
В результате |
получаем моменты |
первого порядка слу |
|||||||||||
чайных величин npq{ ( |
npq > |
= spq): |
|
|
|
|
|
||||||
Sn — s2 2 |
— S3 3 — |
lo |
(3s j -f- 3s1 1 |
-j- 2sj j j) , |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S44 —S55 —560 — jg |
(^SI _b SII |
|
^SIIl)» |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д1.26) |
|
S23 = |
S3i = |
S12 = |
— |
f S i |
~ |
S II |
+ |
^ S I 1 1 |
|
|
|||
S14 — |
|
— S56 — |
|
|
= s2 4 = |
|
|
— ^34 — |
|
|
|||
45
где s { — sn + s22 + s33, sn —s44 + s 55 Ь S 6 6 , |
sUI |
s23 + |
+ s3 i + si2 * Между величинами spq имеется |
связь 2 |
(5 И — |
— s23) = S44, характерная для постоянных упругости изот |
||
ропной среды. Аналогичные вычисления дают моменты пер
вого порядка модулей упругости |
( < ftPq > = cpq): |
|||||
= |
С22 = ^33 = “77" |
~^^сп + |
^cni)» |
|
||
|
* |
1о |
|
|
|
|
С44 = C55 = с6в = — |
(Cj + |
Зсj j |
с111), |
|
||
|
|
|
|
|
|
(1.27) |
^23 = |
^31 = ^12 “ |
1- |
(+ |
+ |
4^J J J ) , |
|
C14 — —C$Q— —C24 — |
£34 |
0 » |
||||
г д е Cj = Cn + |
C22 ~b C33’ |
C \ \ = |
СЛ4 "I" C55 |
C66* C11I |
= C23 “Ь |
|
+C31 + ClV
Соотношения (1.26) и (1.27) были получены Фойгтом [77]'. Вычисление моментов второго порядка также сводится к нахождению интегралов от тригонометриче ских функций углов Эйлера [59, 73].
При вычислении моментов распределения коэффи циентов линейного теплового расширения (и других свойств, заданных тензором второго ранга) некоторого компонента с анизотропными элементами структуры (кристаллами), хаотически ориентированными в прост ранстве, используется аналогичный метод [78]. Случай ные коэффициенты линейного теплового расширения ац выражаются как функции случайных углов Эйлера, оп ределяющих положение кристаллографических осей, на основании формул преобразования
аи = = а и (ф, Ф),
где а\.— кристаллографические постоянные. Используя
плотность распределения углов Эйлера в виде (1.25), находим математические ожидания а и ( < а и > = аи):
ап — а 22 — азз ~~ я; я12 —#23 |
—ам — |
||
1 |
(а\ 1+#22 + азз ). |
Таким |
образом, моменты |
где а = — |
|||
3 |
|
|
|
46
первого порядка коэффициентов линейного теплового рас
ширения |
образуют шаровой тензор: |
= |
где Sij— |
символы Кронекера. |
|
|
|
Композитный материал с текстурой вращения. Опре |
|||
деленный |
практический интерес представляет |
случай, |
|
когда анизотропные (кристаллические) элементы струк туры ориентированы преимущественно в одном направ лении (например, в материалах, армированных ните видными кристаллами). Плотность концов ортов кри сталлографических осей на сфере в таком материале не постоянна и определяется видом текстуры. Если рас пределение ортов осесимметрично, то имеет место тек стура вращения.
В работах [59, 79—81] плотность распределения углов Эйлера принята в виде
Лр, *, ф(“. ». 0 = ~ r r f (Osin/, 8л2
где функция f(t) должна удовлетворять условию норми ровки
я
уJ f{t)s\ntdt = 1.
О
Вработе [82] при вычислении моментов распределения коэффициентов податливости плотность распределения углов Эйлера задавалась в виде
1 Лр, ♦, в («. о = 4п2 М О .
где /о ( 0 — плотность распределения угла О, определяемая из эксперимента либо задаваемая априори.
Пусть /ф (t) = a cos*/; а, k — постоянные (k — четные целые числа, 2). Постоянную а находим из условия
а 1 cos* tdt = 1
В результате имеем
м о = — ft'.! cosл,t.
п(ft — 1)11
47
Задавая различные значения /г, можно изменять вид функции f$(t) с целью приближения к эксперименталь ным данным. При &->-оо имеем случай одноосной ориен тации, для которого
U, +, *(«. у- 0 = - ^ - 6 ( 0 ,
где &(0 — дельта-функция [83].
Методы описания текстур и другие подходы к вычи слению моментов распределения свойств композитных материалов рассмотрены в работе [16].
Структуру композитных материалов, содержащих во локна круглого сечения, удобно задавать плотностью совместного распределения углов сферической системы координат (О, ф). Пусть Ф — угол между направлением волокна х'3 и направлением армирования х3, ф — угол,
измеряемый в плоскости *1*2. Если микрошлиф изготов лен таким образом, что его плоскость параллельна плос кости *1*2, то угол ф может быть измерен непосредствен но (как угол между большой полуосью эллипса, полу ченного, в селении волокна, и осью х{). Угол ft находится из соотношения ft = arccos Ь/а, где а и b — большая и ма лая полуоси эллипса.
Если распределения # и ф независимы, то плотность совместного распределения равна
«) = |
&(*)/„(«), |
причем для текстуры вращения |
|
“) = |
2п fb (0 - |
Средние значения физических постоянных композит ного материала, для которого экспериментально по строены гистограммы распределения углов Ои ф сфери ческой системы координат, можно вычислить по форму лам математического ожидания дискретной случайной величины, т. е. не подбирая подходящие аппроксимации плотностей распределения.
Г л а в а 2
НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
1. СЛУЧАЙНЫЕ н а п р я ж е н и я
Случайные напряжения в точке тела. В теле У* выделим параллелепипед ДУ с ребрами Дх;. Освободим его от связей с остальными точками тела и заменим действие
связей случайными силами. Пусть векторы й (1) = (Qi1*, Q20 ,
йз*') равны равнодействующим случайных поверхностных сил на гранях параллелепипеда ДУ— площадках AS4 =
=АхгАх3\ AS2 = Ax3Axt; AS3= Дл^ДхгВеличины
|
— |
Игл |
Q)° |
(С |
/ — Ь 2, 3) |
|
|
|
|
О;; = |
|
|
AS; |
|
|
||
будем называть случайными напряжениями. |
параллеле |
|||||||
Рассматривая |
равновесие элементарного |
|||||||
пипеда, |
нетрудно убедиться, |
что тензор случайных |
на |
|||||
пряжений симметричен: Oij = Oji. Отсюда очевидна |
сим |
|||||||
метрия |
тензора |
начальных |
моментов первого порядка |
|||||
m = <a>: nii}=mji. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Случайные напряжения |
на |
площадках |
с линей |
|||||
ными размерами А1*; = |
где |
— характерные размеры |
||||||
тела, 0 |
1 (п- |
2 гл. |
1 ), |
в эксперименте |
называются |
|||
макроскопическими, |
если размеры площадок велики по срав |
|||||||
нению с размерами элементов структуры композитного ма териала. При условии е*-*-0 те же напряжения являются макроскопическими в статистической модели класса Вп.
Микроструктурными, или микроскопическими, назы ваются напряжения о//, действующие на площадках An S/f линейные размеры которых Allxt = /* е* в эксперименте и
4. Зак. 674 |
49 |
при 6 ^ 0 в статистической модели V* класса Вп. При
этом площадки Ап5^ имеют размеры, равные характерным размерам элементов структуры (в среднем).
Уравнения равновесия и граничные условия. Соглас но принятому в п. 3 гл. 1 условию, все тела Vz статисти ческой модели (реализации тела 1/*) имеют равные раз меры и форму. Поэтому тело У* ограничено детермини рованной границей 5. Следовательно, направляющие косинусы tii (i= 1, 2 , 3) внешней нормали п к границе 5 также детерминированы в исходном (ненагруженном) со стоянии данного тела. Имея в виду линейную задачу те ории упругости, в дальнейшем будем относить внешние силы и внутренние напряжения к исходному, недеформированному состоянию тела.
Из условия равновесия элементарного тетраэдра по ана логии с классической (детерминистической) теорией напря
жений нетрудно найти граничные условия |
для |
макроско |
|
пических а!/ |
и микроструктурных о!/ напряжений. Обозна |
||
чив через cl |
и oh1 случайные напряжения |
на |
наклонных |
гранях тетраэдров с линейными размерами |
соответственно |
||
первого и второго порядков малости, получим |
|
||
|
Oh = tlaO<xki O’k = Па(Уак |
|
(2 *1 ) |
Соотношения (2.1) справедливы также, если напряже
ния о{ и ok1 действуют на площадках, расположенных на границе S тела V*.
В случае, если дисперсии напряжений ok равны нулю
и, следовательно, сами напряжения детерминированы (ol = = рк)у будем называть соответствующие граничные условия
(2.1) макродетерминированными. При этом напряжения о \1
Oh,h и aim могут быть как случайными, так и детерминиро ванными.
Из условия равновесия для реализаций случайных напряжений в точках множества LM соответственных то чек статистической модели (см. п. 3 гл. 1 ) нетрудно по лучить в случае неоднородного поля напряжений диффе ренциальные уравнения равновесия
дха + ф, = о, |
(2.2) |
где Ф, — случайные объемные силы.
50