Статистическая механика композитных материалов

Функция (2.16) обладает следующим свойством. Если относительные макроперемещения V точек тела V* детер­ минированы (ц1 = и), то ф°(х)==0.

Для доказательства выберем начало координат (xt) в точке М — центре шара ДV При таком выборе системы

координат абсолютные перемещения точек сферы A'S сов­ падают с относительными перемещениями по отношению к точке М. Следовательно, составляющие %г вектора

тождественны флуктуациям составляющих т)1 вектора ц1

относительного макроперемещения точек сферы. По условию вектор TJ1 детерминирован: т]1О= 0. Но тогда (х') = О

под знаком интеграла (2.16). Следовательно, ср,(х) = 0, что и требовалось.

Другое свойство состоит в следующем. Пусть тело V* — односвязная область с конечными линейными раз­ мерами; М (х) — внутренняя точка тела У*, расположен­ ная на расстоянии Кг'^.1ф„ от границы 5 тела V*; отно­ сительные макроперемещения точек границы S детер-_ минированы; #*Дх, х ') — непрерывная при М (х')65 функция. Тогда при любом сколь угодно малом значении параметра е* справедливо равенство

Действительно, в общем случае абсолютные переме­ щения у(х') точек М(х') границы 5 заданы в какой-ли­

бо произвольной системе координат (хс) с началом в точ­ ке О', не связанной с данным телом. Не изменяя суще­ ства задачи, можно выбрать новую систему координат (Xi) с началом в точке Л4(х) (осуществить параллельный перенос первоначальной системы координат). В результа­ те после переноса системы координат под знаком инте­

рала (2.17) будем иметь величины r)t?°(x). Но по условию относительные макроперемещения т)(х) детерминированы:

61

= < Xi ) — моменты первого порядка случайных перемеще­ ний, заданные на множестве реализаций в соответственных

Действительно, случайное абсолютное перемещение х,- (х) точки М(х) можно найти как предел суммы относительных случайных перемещений концов непересекающихся от­

резков Дкг длиной (/0е*)2, образующих в сумме отрезок ОМ:

точки, равное перемещению точки О, так как в перенос­

62

образует тензор случайных деформаций е = iapeaP. Анти­ симметричная часть

эквивалентна случайному вектору поворота элемента dV среды как абсолютно твердого тела.

В тензорных обозначениях геометрические соотноше­ ния (2.19) записывают в виде

означает транспонирование. Для симметричного тензора е, как известно, е* = е, для антисимметричного (о: со* = —а>.

В рассматриваемой далее линейной теории деформа­ ции величины еij с вероятностью Р= 1 малы. Под этим подразумевается малость почти всех реализаций этих ве­ личин в соответственных точках Mz тел Vz статистической модели У*.

Макро- и микродеформации. Макроскопическими, по определению, являются деформации элементов dl V тела V*£B2, микроскопическими — элементов dllV

В эксперименте макродеформации соответствуют де­ формациям образцов из композитных материалов, а ми­ кродеформации — деформациям элементов структуры. В дальнейшем случайные макро- и микродеформации обозначены соответственно е1 и е11.

Эргодичность случайных деформаций. Поскольку век­ тор перемещения как отмечено выше, задан на множе­ стве реализаций в соответственных точках Mz тел Vz ста­ тистической модели У*, аналогично задан тензор в слу­ чайных деформаций. Естественно возникает вопрос: при каких условиях те или иные статистические характери­ стики тензора деформаций можно определить по реализа­ циям в одном теле У*. Ответ на этот вопрос связан с по­ нятием эргодичности случайных функций (п. 3 гл. 1 и

п. 1 гл. 2).

Свойство эргодичности случайных деформаций имеет существенное практическое значение. В частности, если составляющие тензора деформаций еij эргодичны по от­ ношению к моментным функциям первого порядка Vij =

63

= <eij>, то последние можно измерить эксперименталь­ но на одном образце композитного материала или вычи­ слить по реализациям в одном теле. В этом случае результаты расчета можно применить к отдельным кон­ струкциям или изделиям.

Пусть U— длина отрезка, первоначально параллель­ ного оси Xi, га — относительное удлинение элемента dxi. Тогда относительное удлинение отрезка в направлении оси Xi определится выражением

Если Vij при i=/=j есть половина относительного сдви­ га параллелепипеда, составленного из отрезков длиной

(2.20)

Из предыдущей формулы видно, что формула (2.20) справедлива как при f=й=/, так и при i= j.

Формула (2.20) аналогична формуле (2.4). Поэтому поле случайных деформаций имеет аналогичные эргодические свойства.

Положив vu (x) = ( еи (х) > и LWj (х, х') = < е*. (х)х Xe°if (хг) ) , нетрудно убедиться в том, что статистически

однородное в широком смысле поле ei; (х) эргодично по отношению к начальному моменту первого порядка v;j при конечном радиусе корреляции, если выполнено условие

При радиусе корреляции г* = 0 имеем

Существенное различие между условиями эргодично­ сти (2.21) и (2.22) заключается в том, что первое из них может быть выполнено только в случае, если тело имеет

64

У словие (2.23) будет выполнено, если полож ить

0<C a<l; 1°— характерные размеры области корреляции

чайной функции е” (х).

Если область статистической зависимости—эллипсоид или

размер зерна), /° ej+a = 4 мм (характерный размер области корреляции), 1\ = 50 мм (минимальный размер расчетной части образца). Решая два уравнения с двумя неизвестны­

AlV В пределе, при е*->0, моментные функции (2.24) будут удовлетворять условию (2.23). Следовательно, в мо­ дели V* класса В2 функция еЧ (х) будет локально-эргоди-

ческой по отношению к функции vjj (х).

Таким образом, в реальных технических материалах условие локальной эргодичности может быть выполнено лишь приближенно. Оно будет тем точнее, чем меньше характерные размеры частиц структуры композита по сравнению с характерными размерами изделия.

66

Далее, пусть макроскопические деформации в|. данного тела V* детерминированы (е}. = еи). Тогда моментные функ­ ции микродеформаций порядка т

сплошных сред дифференциальным уравнениям совмест­ ности деформаций. Пусть

Полагая, что с вероятностью Я=1 тела Vz имеют совме­ стные деформации, можно представить условия совмест­ ности случайных деформаций тела V* уравнениями

маций.

Переходя к тензорным обозначениям, уравнения

рого ранга) [88].

Если статистическая модель У* принадлежит к классу В2, дифференциальные уравнения совместности (2.26) можно составить как для макро- (ц1), так и для микроде­ формаций (ц11).

При детерминированных макродеформациях тензор несовместности макродеформаций т]г детерминирован. Если, кроме того, макродеформации совместны, то т]1 = 0. При этом микродеформации могут быть случайными, совместными или несовместными.

3. ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Обобщенный закон Гука. В линейно-упругих средах напряжения а и деформации е связаны с модулями упру­ гости 0 или коэффициентами упругости (податливости) П соотношениями обобщенного закона Гука

записанного для составляющих тензоров о и е, или соот­ ношениями

для самих тензоров. Смысл операции свертывания, обо­ значенной точками, расшифровывается выражениями (2.28).

В уравнениях (2.28') случайные тензоры четвертого ранга 0 и П представляют физические свойства среды. Поэтому в отличие от уравнений равновесия (2.2) и гео­ метрических соотношений (2.19) теории деформаций уравнения (2.28) принято называть физическими. Рас­ пределения постоянных упругости 0 и П исследованы в п. 5 гл. 1.

Макро- и микросвойства композитной среды. Соглас­ но основным свойствам статистической модели У* класса В2, модули упругости 0 1, экспериментально определяе­ мые на образцах из композитных материалов (на элемен­ тах ДХУ), являются макроскопическими. При е*-*0 эти величины — модули упругости элементов dlV статистиче­ ской модели У*. Соответственно величины 0 П, экспери*

68

ментально определяемые на образцах из компонентов (на элементах ДПУ), являются микроструктурными модуля­ ми упругости. При е*-Я) они становятся модулями упру­ гости элементов du V статистической модели К*.

Чтобы тензор модулей упругости 0 был детерминиро­ ван, необходимо и достаточно положить равными нулю дисперсии его составляющих. Свойства упругого тела 1/* класса В2назовем макродетерминированными, если свой­ ства элемента AlV с центром описанной сферы в точке М(х) тела V* детерминированы: 0 1(х)=С 1(х) независи­ мо от величины х при е*->0.

Тело К*, по определению, макроскопически однородно в широком смысле, если Cx(x)=const относительно х.

В макрооднородных телах физические свойства макродетерминированы. При этом свойства элементов структу­ ры могут быть как детерминированными, так и'случай­ ными.

%В дальнейшем будем предполагать, что модули упру­

чениями реализаций, поскольку в реальных телах посто­ янные упругости принимают ограниченные по модулю значения. Дисперсии случайных величин, имеющих ко­ нечные реализации,очевидно, ограничены.

Тело V* будем называть макрооднородным в узком смысле, если поле тензора 0 п (х) статистически однород­ но в узком смысле (см. п. 3 гл. 1).

Тело К*, по определению, макроизотропно, если тен­ зор макромодулей упругости 0 1 — изотропный. Матрица составляющих изотропного тензора содержит три раз­ личных элемента, из которых два независимы вследствие соотношения

Среднее значение модуля упругости, вычисленное путем осреднения по координатам элемента AlV при е*-^0

69

формуле (2.30). Поскольку эта формула аналогична фор­

Справедливо также обратное утверждение: если функ­

70