Статистическая механика композитных материалов
..pdf/уГ'-«Г?Н/л12
Рис. 23. Зависимость модуля объемной деформации (2, 3) и коэффи циента линейного расширения (/, 4) полимера от коэффициента ва риации модулей объемной деформации надмолекулярных образова ний при степенях кристалличности 0,6 (кривые /, 2) и 0,2 (кривые
3, 4)
Рис. 24. Зависимость средних температурных напряжений в аморфной (Л 2) и упорядоченной (3, 4) областях от коэффициента вариации модулей объемной деформации надмолекулярных образований при степенях кристалличности 0,6 (КЗ) и 0,2 (2, 4)
Зависимость средних температурных напряжений от коэффициента корреляции г линейная (рис. 26). Она про является сильнее при больших, значениях Более низ
кие напряжения соответствуют положительной корреля ции между а1 и у}.
Полученные результаты указывают на возможность в некоторых статистических задачах механики композит ных материалов пренебрегать неоднородностью компо нентов, если она оценивается коэффициентом вариации 0,05—0,1. Очевидно, более существенное влияние на на
пряжения |
в элементах структуры |
оказывает |
их распо |
||
ложение. |
|
|
|
порядка безусловного |
|
Центральные моменты второго |
|||||
распределения деформаций |
и напряжений. |
Для зада |
|||
ния тензора L= |
( е°е0/ ) |
достаточно найти |
моменты |
||
< фф' ) |
Тензор |
( ФФ' ) |
определяется составляющими |
||
< ®ijpqQ>mnr8 ) I |
причем каждый из |
сомножителей пред- |
|||
141
рЛ'ЧО'*Н/м2
Рис. 25. Зависимость среДних температурных напряжении в аморфной (/) и упорядоченной (2) областях полимера от степени кристалличности
Рис. 26. Зависимость средних температурных напряжений в аморфной (1—3) и упорядоченной (4—6) областях полимера от коэффициента корреляции модулей объемной деформации и ко эффициента линейного расширения надмолекулярных образований при различных степенях кристалличности и коэффициентах вариа ции модулей объемной деформации:
1 >4— Р= 0,6; V' i = 0 , I ; 2,5— Р= 0,2; v |
х= 0,1; |
3,6— Р =0,2; v j = |
0,3 |
и |
х |
х |
|
ставляет собой ряд (см. п. 6 |
гл.. 2). |
Ограничимся |
пока |
первым слагаемым этого ряда и будем рассматривать только хаотически армированную (квазиизотропную) среду. Так как
то вычисление искомых компонентов сводится к вычисле нию моментов вида
/ |
dpi'p? |
dphrs \ |
_ Г |
Г |
dGjф(х, |
х') |
\ |
dxj |
дхп / |
J |
J |
dxj |
|
|
|
|
V V |
|
|
|
142
Тензор Грина предполагается заданным соотношением (2.56). Корреляционные функции упругих свойств
предполагаются локальными (обращающимися в нуль на границе макрообласти), другие ограничения на них не на кладываются.
Метод вычисления моментов вида (4.17) в рассматрива емом случае предложен И. М. Лифшицем и Л. И. Розенцвейгом в работе [53]. Там же вычислены некоторые свертки
/ д р О) |
(W1* \ |
этого тензора. Полностью тензор |
у вычис |
лен М. Л. Комиссаровой и Д. М. Мехонцевой [87, 143]. Другие методы вычисления исследованы в работах [99, 144, 145].
Принимая во внимание, что тензор корреляционных мо ментов напряжений равен К = < l Dl°' > , где |° = | — р, запишем выражения для составляющих этого тензора че рез средние деформации ei} (см. (2.77)):
K i j m n — ( Ъ $ т п ) — ( M i j a f r + P f j a f i ) eapevft> |
(4- 18) |
Здесь hijpq— tiоправка к средним модулям упругости Cijmn рассматриваемой среды (см. п. 1 гл. 3).
Как видно из выражения (4.18), тензор М легко вычис ляется, если найден тензор моментов < ФФ' > Действи тельно, учитывая изотропию тензора С, имеем
гmnrs = /2 < ФааР(1Ф№га > 6„6m„+4m? < ФирчФтпп > 4-
М‘
“h 2//TZ ( ( ®
) & ij Н- ( ®*7Pg®ijpq^aarsccrs )
143
Вычисление моментов, входящих в тензор Р, как легко видеть, не отличается от вычисления моментов, входящих в поправки h.
Окончательно центральные моменты второго порядка распределения безусловных напряжений записываются в виде
K i j m n “ |
А \в ц £ т п |
“Ъ^2 (^ im ^ jn “t“ |
”Ь |
+ (^з^аа + |
AkeаЭ^ар) |
+ (Льеар^ар “Ь А^аа) X |
|
X i^irrfijn “Ь ^in&jm) "Ь ^ieaa (emn^ij “Н eifimn) "Ь
+ А в(еmct^na^ij “Ь ^ia^jofimn) + А9 (eim8jn + ^in^jm +
+ e)nfiin + €jifiin) ^аа + |
Ai0 (piafimafijn “Ь |
“Ь ^iafinofijm“~t~ |
(4.19) |
“Ь |
где At (i= 1, ., 10)—коэффициенты, зависящие от свойств и концентрации компонентов.
Конкретный вид тензора К определяется видом напря женного и деформированного состояния [146, 147]. Так, при одноосном растяжении тензор К имеет симметрию, характерную для модулей упругости трансверсально-изо тропного тела. При гидростатическом сжатий тензор К изотропен. Аналогичный (4.19) вид тензора К получен в работе [144], где вычисления (в корреляционном прибли жении) производились другим методом.
Следует обратить внимание на то, что при вычисле нии L и К в корреляционном приближении никаких кон кретных предположений относительно вида координатной зависимости корреляционной функции свойств не вводи лось. Следовательно, результат справедлив для произ вольных моментных функций. Форма и взаимное располо жение элементов структуры в корреляционном приближе нии так же, как и в локальном приближении для моментных функций высших порядков, не учитываются.
2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ (ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПРЕДЕЛЬНЫХ СУММ)
Распределение перемещений и деформаций. Рассмот рим метод решения статистически нелинейной задачи 11, поставленной в п. 4 гл. 2.
144
Пусть Rh, mh, Dh—детерминированные величины и
fhN)(y — mA) = exp
Функцию
f(y) = 2 R , A N)( y - m h), k=1
(У—tnh)2 ' 2 Dh
J f { y ) d y = 1 (4.20)
назовем плотностью полинормального (или я-нормалыю- го) закона распределения.
Примем следующие ограничения: 1) статистическая мо
дель V* принадлежит к классу В2 (см. п. |
3 гл. 1); 2 ) моду |
ли упругости 0 (х) заданы формулами |
(1.13) и имеют ма |
лые по сравнению с единицей коэффициенты вариации (ма лые дисперсии); 3) радиус области статистической зависи мости (радиус описанной вокруг этой области сферы) слу
чайной функции kh(x)—гк = /&е*, где ll — положительная постоянная, 0 < е* < 1 .
Ограничения позволяют установить свойства решения задачи II: 1 ) составляющие х*(х) вектора перемещений внутренних точек тела Г* в любой данной точке М(х) имеют нормальные законы распределения {N}\ 2) состав ляющие fifj(x) тензора случайных деформаций в той же
точке имеют |
я-нормальные законы распределения, где |
п — число компонентов в композите. |
|
Переходя |
к доказательству, рассмотрим флуктуации |
Х°(х) случайного вектора перемещений х(х)> определен ные формулой (2.51). По условию дисперсии модулей упругости 0ijmn малы. Следовательно, достаточно огра ничиться только первым слагаемым итерационного ряда
%° (х) = |
(*G(x, x').(V.0 ° ..e )'d r . |
(4.21) |
' |
v |
|
Интеграл в правой части равенства (4.21) |
преобразу |
|
ем по формуле |
Остроградского—Гаусса. Учитывая, что |
||
Gij (х, хх) - 0 ПРИ М (х) |
находим |
|
|
Xt (*) = |
- [ д<3‘^ |
а- ) - elveAvdV' |
(4.22) |
|
V |
|
|
10. Зак. 6/4 |
145 |
Функция yG(x, х') имеет особенность |
г_2(г = |
|х — х'|) |
|||
в точке М(х) тела V*. Чтобы выделить особую точку, |
ра |
||||
зобьем область V на две части: 1) шар Ve радиуса е* ( 0 |
< |
||||
1); 2 ) область V*, не содержащую |
шара. |
Полагаем |
|||
Р, (,) = Г |
aC||f f v x') |
в ^ я |
г |
|
|
J |
дха |
|
|
|
|
Ve |
|
|
|
|
|
Тогда вместо выражения (4.22) имеем |
|
|
|
||
Xi (х) —Рi (х) + |
J --- 14>дх^ |
— ®vapyeflydV' |
(4.23) |
||
По условию задачи требуется найти закон распреде ления интеграла (4.23). Для решения этой задачи исполь зуем.метод предельных сумм[ 106, 107]. Основная идея метода состоит в том, что интеграл (4.23) заменяется эквивалентным ему пределом частичных сумм, состоящих из независимых в статистическом смысле слагаемых, за тем к ним применяются предельные теоремы теории ве роятностей.
Поскольку функция yG(x, х') имеет интегрируемую осо бенность г" 2 и функции 0 °(х), е(х) ограничены по модулю, интегралы (4.22) и (4.23) можно представить как пределы частичных сумм, причем РДх)->-0 при £*->0. Имеем
Xl(x) = |
pl (x)+ Иш |
у |
Q;$ye$AVh. (4.24) |
|
m - o o |
jbmA |
Qxa |
|
AVk -+0 k = l |
|
|
Чтобы |
слагаемые суммы (4.24) были статистически не |
||
зависимыми, выберем элементы |
объема ДУ^, равными эле |
||
ментам ДПУ тела У* класса |
В2 (п. 3 гл. |
1). |
При е*->0 |
Дu V-+dn V. Полагая, что каждое слагаемое |
отнесено к |
||
центру элемента ДУЛ= ДПУ, и учитывая, |
что |
в пределе |
|
радиус этого элемента равен радиусу статистической зави симости, нетрудно убедиться в том, что слагаемые суммы статистически независимы.
По теореме Ляпунова для сумм статистически неза висимых случайных величин закон распределения при не ограниченном увеличении числа слагаемых асимптотиче
146
ски приближается к нормальному закону, если слагаемые суммы удовлетворяют условию Линдеберга [148].
Введем обозначения:
еГ>= 2 |
D<m)= < (slm)- < d m) > ) 2 >; |
h=l |
|
|
mt = i d "0 >; |
f\h) (у)—плотность распределения случайной величины т)1Л). Условие Линдеберга в принятых обозначениях
|
1 |
СУ— тд 26к) (y)dy |
О |
lim |
|||
т -+о |
D'm) |
|у — m i | |
(4.25) |
при любом достаточно малом положительном е* и является необходимым и достаточным, чтобы Fir°,(*/)->{iV}, где стрел
ка означает асимптотическое приближение к интегральному нормальному закону распределения {N}.
Покажем, что случайные величины |
действительно |
удовлетворяют условию Линдеберга. |
По условию задачи |
случайные величины 0 ,°/,™имеют ограниченные по модулю
реализации и средние деформации effl малы (поскольку рас сматривается геометрически линейная задача). Особая точка
М (х) тензора Грина в формуле для величины r)(;ft) не принад лежит рассматриваемой области V*. Отсюда следует, что
величины |
G(x, хш ) ограничены по модулю. Поэтому |
|
существует ограниченная положительная |
постоянная Q та |
|
кая, что |
|
|
|
to(tk)l<Q A r*. |
(4-26} |
Неравенство (4.26) определяет границы интервала зна чений переменной у (—Q&Vh^ y —mi <QAV^), где f ^ i y ) ^
0. За пределами этого интервала f\h) (у) = 0.
ю* |
147 |
Вследствие того, что по условию &Vh — Д1 V ^ е%, при достаточно малых значениях параметра е* справедливо не равенство D;m)> e |Q для любого конечного значения дис персии D\m\ Поэтому интегралы в условии Линдеберга (4.25)
равны нулю. Слагаемые г]/ft) суммы (4.24) действительно удовлетворяют условию Линдеберга. Учитывая, что рг(х)-> - > 0 при е*->0 , находим f ix° (*/)->- что и требовалось.
Выясним, каков закон распределения составляющих тензора случайных деформаций. По формулам (2.19) и
(4.22) получаем |
|
|
|
|
|
е°;- (х) = — j |
G,,( |
(х, |
х') &l'a^ |
ydV' |
(4.27) |
V |
|
|
|
|
|
Индексы в скобках означают симметризацию: |
|
||||
G m ( i , j ) n ' (х> х ) — ~ |
d2Gmi (х, |
х') |
d2Gmj(x,' х') |
|
|
|
dxjdx'n |
dxidx'n |
|
||
|
|
|
|||
Функция Gm{itj)n' (х, х') |
под |
знаком |
интеграла |
(4.27) |
|
имеет особенность г-3. |
Поэтому |
интеграл |
существует лишь |
||
в условном смысле (в смысле главного значения). Для его вычисления применяем известную из теории потенциала про цедуру. Область V разделяем на две части: Уг— шар ради
уса г = /0е*, VQ— остальную часть области.
Полагаем |
е*’, = еiV + e l/1; |
(4.28) |
|
|
|
||
e t*/ |
(х ) — |
^ Gq>(i,j)(X' (х > х ) ©фа |
|
|
|
Ке |
|
ei/ |
(х) — |
j* G<p(i,/)a' (х» х ) |
|
|
|
Ко |
|
Интеграл по шару Vе, ограниченному сферой Se, преоб разуем по формуле Остроградского—Гаусса:
ei/ (х) — J (I,i)(x> х ) |
,adV — |
Ке |
|
J Gydj) (х, х ) ©фару^Рт latAS |
(4.29) |
•^е |
|
148
Объемный интеграл в правой части равенства (4.29) стре мится к нулю при так как функция Gm(U)(x, х') имеет интегрируемую особенность г"2. Остальные функции имеют ограниченные реализации.
Поверхностный интеграл по сфере S t можно вычи слить методами классического анализа, поскольку особая
точка М(х) находится |
в центре шара и, следовательно, |
||
не принадлежит области интегрирования. Положив |
|||
К ijtnnpq ~ |
J ®m (l,j) (^» |
* ) ^pq IndS , |
|
se |
|
|
|
находим |
|
й |
(4.30) |
Bii - |
к |
||
где ®итп—модули упругости, определяемые в соответствии с теоремой о среднем значении интеграла.
Область V0 не содержит особой точки Л4(х). Поэтому объемный интеграл по области VQможно представить пре делом частичных сумм
|
т |
|
е.71 (х) = Ит ( - |
1) 2 ° ф (‘./)а' (х> |
(4-31) |
bV/i-O |
k=l |
|
Выбираем элементы объема ДУ/„ как и ранее, равны ми элементам ДПУ среды класса В2, чтобы слагаемые суммы (4.31) были статистически независимыми.
Нетрудно убедиться в том, что суммы (4.31) удовле творяют условию Линдеберга теоремы Ляпунова для пре дельных распределений сумм независимых случайных ве личин. Отличие от формулы (4.24) состоит в том, что в
данном случае дисперсия слагаемого ец в формуле (4.28) остается конечной при е*->-0. Таким образом, сла гаемое, соответствующее особой точке М (х), дает такой же вклад в дисперсию суммы (4.28), как и остальные слагаемые, выделенные в формулу (4.31). Это характер ное свойство условно сходящихся интегралов, известное из теории потенциала.
По теореме Ляпунова имеем
(4-32)
Согласно формуле (1.17), функция 0 ,дпп(х) имеет закон распределения {Л}:
,(Х)(*/) = {В}д-
149
Поскольку закон распределения {б}д устойчив по отно шению к линейному преобразованию аргумента [148], имеем
(4 М )
По той же причине из формул (4.30) и (4.33)- следует
Fu.f (У) = |
(4-34) |
В итоге формула (4.28) представляет сумму двух слу чайных величин, причем первая из них распределена по закону {B}q, а вторая по закону {N}. Вследствие специ ального выбора элементов объема AVh и радиуса* шара
Ve величины е*/ и гif11 статистически независимы. По те ореме умножения вероятностей статистически независи мых величин их совместный закон распределения равен произведению частных законов распределения:
^ p°i ; п {уi, Уг) = |
(УдР, ; n W ' |
ei/ ,Етп |
|
Закон распределения суммы статистически независи мых случайных величин находим по формуле для компо зиции законов распределения:
= F |
о |
Ы - |
ieLJ |
1е<\/I ° п1Еи |
По формулам (4.35), (4.32) и (4.34) получаем
F |
]1Е;ч> ) |
= {B}q * {Щ. |
|
= |
Свертка
{B}q* w = m q
(4.35)
(4.36)
эквивалентна ^-нормальному закону распределения. Деформации компонентов композитной среды. Дефор
мации малой окрестности любой внутренней точки М(х) тела V* называются «условными» деформациями компо нента k, если в этой точке находится компонент k с веро ятностью Р = 1 (см. п. 1 гл. 4). При этом по формуле (1.16) Kh= l и 0 = 0 4
Условные деформации e(/i) являются деформациями отдельных компонентов (&=1 , 2 , ..., п) в отличие от без условных деформаций е элемента dn V
150