Статистическая механика композитных материалов

стоянное значение в шаре (A*V% при в*->0. Следователь­ но, она может быть вынесена за знак интеграла. Имеем

мент dV и освободим его от связей. Будем предполагать, что в общем случае его температура случайна. Обозна­ чим ее т(х). Деформации элемента dV при нагревании его на один градус определяются экспериментально и на­ зываются коэффициентами линейного расширения. Обо­ значим их а(/<) для компонента k композитной среды. Из­

вестно, что тензор а(/г>симметричен: а1-/) = а/?)-

Нагреем свободный от связей элемент dV от темпера­ туры Ti до температуры Т2 и обозначим т=Т2—%i разность случайных температур. Температурные (или тепловые)

71

деформации свободного элемента dV определяются, оче­ видно, формулой

После возвращения нагретого элемента dV на его первоначальное место в данном теле У* и восстановления связей с соседними элементами элемент dV может ока­ заться в стесненном состоянии. Вследствие этого в нем могут появиться напряжения, называемые температур­ ными.

Стесненное состояние элемента dV в теле V* обуслов­ лено тем, что его температурные деформации могут быть несовместными с деформациями соседних элементов. Чтобы проверить, в каком именно состоянии находится рассматриваемый элемент среды, подставим^температур­ ные деформации (2.34) в дифференциальные уравнения совместности деформаций (2.26). Если после подстанов­ ки получим тождество

у х (уХ е(т))*

то деформации е(х)(х) в различных точках тела совмест­ ны и, следовательно, температурных напряжений нет.

Если деформации (2.34) не обращают в тождество дифференциальные уравнения совместности (2.26), то они несовместны. Вследствие этого возникают темпера­ турные напряжения.

Допустим, что температурные напряжения не наруша­ ют сплошности среды. Тогда вводим суммарные дефор­

удовлетворяющие дифференциальным уравнениям совме­ стности. Последнее условие необходимо для того, чтобы уравнения (2.35) можно было рассматривать как физи­ ческие уравнения краевой задачи термоупругости. Здесь П — тензор коэффициентов упругости; а — напряжения,

72

Уравнение теплопроводности. Уравнения (2.36), (2.2) и (2.19) при заданных объемных силах и граничных усло­ виях образуют замкнутую систему уравнений для опре­ деления составляющих тензоров напряжений и деформа­ ций, а также вектора перемещений, если распределение

h = \

суть коэффициенты теплопроводности, элемента dV тела V*. Для случая, когда внутренние источники тепла от­ сутствуют, поле температур стационарно и коэффициенты теплопроводности не зависят от температуры, уравнение теплопроводности записывается в виде

д дх

(2.37)

дха дх$

или в тензорных обозначениях

Если тело V* принадлежит к классу В2у уравнение (2.37) можно составить отдельно для элементов dlV и dllV. При детерминированных физических свойствах и детерминированной средней температуре элементов dlV получим соответствующее макроскопическое уравнение теплопроводности

тельно радиуса-вектора х макроскопические коэффициен­ ты теплопроводности.

73

в уравнение Лапласа ДГ = 0, где Д= у -Е -у — оператор Лапласа (Е= (6*j)).

Уравнение теории малых упругопластических дефор­ маций. Коэффициенты в уравнениях обобщенного закона Гука (2.28) не зависят от напряжений и деформаций. Поэтому уравнения линейны в физическом смысле: опи­ сывают свойства линейно-упругих сред.

Законы деформации реальных композитных материа­ лов линейны лишь при достаточно малых деформациях. При некоторых не слишком малых деформациях они обычно нелинейны..

Если температура нагружения тела сравнительно ма­ ла по отношению к температуре плавления материала, его свойства достаточно точно можно описать уравне­ ниями теории малых упругопластических-деформаций. Они различны для активного и пассивного нагружений.

Под активным нагружением элемента dV среды под­ разумевается такое, при котором все реализации случай­ ных напряжений — возрастающие функции параметров нагрузки или времени. Если напряжения постоянны или убывают, нагружение пассивное.

Нагружение элемента dV простое, если все реализа­ ции случайного тензора напряжений изменяются прямо пропорционально одному общему параметру (пропорцио­ нальное нагружение).

Аналогичные понятия имеют смысл в терминах теории деформаций. В дальнейшем будем предполагать, что на­ гружение или деформирование всех элементов данного тела V* является простым или близким к простому. При этом теория малых упругопластических деформаций вполне соответствует эксперименту [34].

Для практического осуществления простого нагруже­ ния достаточно изменять все внешние силы, приложенные к телу, пропорционально одному параметру (теорема

А.А. Илыошина о простом нагружении [34]) . Физические уравнения при активном нагружении

вектора х точки М(х) тела V*. В композитной среде

0 (е )= 2 e (ftV A)) М х), k—1

74

относительно деформаций виде

ги = n i7'aP (a) tfafi-

Здесь a= (ofj) — тензор напряжений; П (a) — случайные функции радиуса-вектора х точки М (х) тела Г*, завися­ щие от тензора напряжений а;

П ( а ) = 2 n (ft)(a(V „ ( x ) ;

h = 1

jj(fc)(а^)) — случайные функции, описывающие свойства компонента к.

При разгрузке (пассивном нагружении) справедливы линейные зависимости между напряжениями и деформа­ циями

формаций величины, аналогичные модулям и коэффициентам упругости компонентов.

Уравнения вязкоупругости. Компоненты многих ком­ позитов при сравнительно высоких температурах нагру­ жения относительно температуры плавления материала обладают реологическими свойствами. Для описания достояния композитов с компонентами, имеющими реоло­ гические свойства, применяются уравнения вязкоупруго­ сти. Ограничимся кратким описанием уравнений линей­ ной вязкоупругости.

75

0

где

ViJmn = 2

A=1

Чцтп — случайные функции влияния компонента k\ t, t' — моменты времени;

(2.42)

формально аналогичны обобщенному закону Гука (2.28). Они представляют группу физических уравнений линей­ ной вязкоупругости композитных анизотропных сред с анизотропными компонентами, имеющими случайные реологические свойства и случайное расположение в про­ странстве.

По отношению к уравнениям (2.43) справедлив прин­

цип Вольтерра: операторы Tifmn и Гцтп можно фор­ мально рассматривать как постоянные упругости и ре­ шать задачу линейной вязкоупругости как задачу линей­ ной теории упругости, затем в решении задачи раскрыть действительный смысл этих операторов.

4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Постановка задачи. Уравнения равновесия (2.2'), рассматриваемые далее без объемных сил, геометриче­ ские соотношения теории деформаций (2.19') и физиче-

* Повторяющиеся латинские индексы здесь и далее не означают суммирования.

76

ские уравнения (2.28') образуют основную систему урав­ нений статистической краевой задачи теории упругости:

будем называть полной постановку статистической крае­ вой задачи для системы (2.44) в терминах многоточечных законов распределения.

При полной постановке задачи для тела V* с детер­ минированной границей 5 будем предполагать, что слу­ чайные физические свойства и случайные граничные условия заданы многоточечными законами распределе­ ния. Требуется найти многоточечные законы распределе­ ния Fno(у), Fпг(у)>Fnx(y) случайных напряжений а, де­ формаций е и перемещений х во всех внутренних точках тела К*; п = 1, 2,

Частичная (неполная) постановка краевой задачи со­ стоит в том, чтобы по заданным моментными функциями различных порядков случайным физическим свойствам тела и граничным условиям определить моментные функ­ ции случайных напряжений, деформаций и перемещений [1—5, 53, 89—92].

Преимущество полной постановки задачи по сравне­ нию с неполной состоит в том, что, во-первых, решение задачи имеет исчерпывающую в рамках теории случай­ ных функций информацию о статистических свойствах искомых функций, во-вторых, для вычисления обычных показателей надежности — вероятностей того, что слу­ чайные напряжения или перемещения не выходят за гра­ ницы допустимых значений, нужны полные статистиче­ ские характеристики этих напряжений и перемещений — законы распределения.

Уравнения относительно флуктуаций перемещений.

Система уравнений (2.44) в случае статистической моде­ ли V* класса В2может быть составлена отдельно для эле­ ментов dlV и dllV. Полагая, что граничные условия слу­ чайны, и учитывая, что тело К* макрооднородно, С° — макромодули упругости, для элементов dlV имеем

77

четвертого ранга. Разложение анизотропного тензора на изотропный и девиатор можно осуществить различными

рии тензоров модулей упругости свертку с defy можно за­ менить сверткой с ухЗдесь и далее е= <е>.

Метод функций Грина. Уравнения (2.47) преобразуем в интегродифференциальные посредством тензора Гри­ на G(x, х7), удовлетворяющего дифференциальным урав­

Здесь n = (дг); nt = cos (n, xt) — направляющие косинусы внешней нормали п к границе S области У (статистической модели V*).

78

Решаем уравнения (2.50) методом итераций..В первом приближении полагаем х°(1) = <р. Подставляя это выраже­ ние в правую часть равенства (2.50),находим второе приближение и т. д. В итоге получаем итерационный ряд

в котором Г1= ГГ1-1 — формальная запись повторного дей­ ствия оператора Г.

Итерационный ряд (2.51) действительно представляет решение системы уравнений (2.44) или эквивалентной ей системы (2.46) при следующих условиях: 1) задан тен­ зор Грина G(x, х') для тела Г*, свойства которого одно­ родны и изотропны, причем модули упругости совпадают

с С; 2) известны функции.е(х) — средние деформации; 3) итерационный ряд (2.51) сходится (с вероятностью

X(*)ls = XS(X)-

79

Далее, пусть задача II состоит в том, чтобы найти решение системы уравнений (2.44) при детерминирован­ ных граничных условиях x°(x)|s=0.

Уравнения (2.52) задачи I линейны в геометриче­ ском, физическом и статистическом смысле (не содержат произведений или степеней случайных величин). Они описывают свойства однородных анизотропных тел при случайных граничных условиях и детерминированных модулях упругости. Методы решения таких уравнений известны. В частности, приближенным методам решения этих уравнений посвящены работы [1, 15].

Система уравнений (2.44) линейна в геометрическом и физическом смысле, но нелинейна в статистическом смысле, поскольку соотношения обобщенного закона Гука содержат произведения случайных функций.

Допустим, что условия, при которых итерационный ряд (2.51) представляет решение основной задачи, вы­ полнены. Тогда, согласно (2.51), решение представимо в виде суммы решений для задачи I:

ки (тело занимает все пространство), составляющие тен­ зора Грина известны (тензор Сомилианы):

Здесь г = |х —хг|,

80