Статистическая механика композитных материалов

носительно флуктуаций деформаций согласно (2.71) за­ писывается з виде

е° (х) = def j G (х, х')-(ув°- -е)' dV'

V

или

в] (х) = Фг -е(х),

если е (х)« const в области интегрирования (макроскопиче­ ски гладкая функция);

Пусть имеется некоторая реализация случайного поля структуры и свойств 0(х), ей соответствует реализация Fj(x) случайного функционала Фг(х). Последняя может быть вычислена в результате интегрирования правой ча­ сти (2.78) для конкретной реализации 0°(х).

Пусть R(s)(x) — реализация функции 0°(х) при усло­ вии, что М (х) принадлежит элементу структуры 5 данной реализации поля структуры; /i<s>(х) — индикатор множе­ ства точек элемента s. Реализацию флуктуаций 0°(х) за­ пишем в виде

Вводя тензор A(s) = defG(x, x')*R(s), преобразуем (2.79):

-2 J (V-A{s))'h{s)'dVr s=l V

Легко убедиться, что первая сумма в правой части

91

Г л а в а з

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ФИЗИКО­ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

1. МОДУЛИ УПРУГОСТИ НАПОЛНЕННЫХ и ХАОТИЧЕСКИ АРМИРОВАННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Корреляционное приближение. Общий метод вычисления макроскопических модулей упругости компо­ зитного материала, основанный на решении статистиче­ ской краевой задачи по методу функций Грина, изложен выше. Здесь с помощью данного метода вычисляются макромодули некоторых композитных материалов. Метод впервые был применен для вычисления макромодулей поликристаллов И. М. Лифшицем и Л. Н. Розенцвейгом [53].

Рассмотрим двухкомпонентную среду с изотропными компонентами, моделирующими структуру наполненных по­

модули упругости компонентов; D^2)= Р (1—Р); Р = ( X ) \ f(r) -- нормированная корреляционная функция, обращаю­ щаяся в нуль на границе макроскопической окрестности точки, радиус которой e j 0.

Согласно п. 6 гл. 2, макроскопические модули рассматри­ ваемой среды в общем случае равны

93

94

m = C2323.

Упругие свойства изотропной среды, как известно, полно­

деформации, средние значения которой выражаются через компоненты тензора С по формулам G = С2з2з; К = СШ 1 + +2/3С1122. Аналогично для поправок имеем hG= h2323] hK = = Лцн' + 2/3him . Используя формулы (3.3) и (3.4) и вводя

обозначения G* = G1 — G11; К* = К1— К11 (G1, G11, К1

К и — модули сдвига и модули объемной деформации компонентов), находим

hlal) = 2Р (1— Р) {а + 6) G*2; /г^’ = ЗР (1— Р) (а +46) К*2.

Вычисленные поправки корреляционного приближе­ ния не зависят от характера координатной зависимости корреляционной функции упругих свойств. Действитель­ но, в случае предельно локальной корреляционной связи между свойствами, когда

если г — 0 ;

(3.6)

если г^ О ,

получаем тот же результат при интегрировании:

Это означает, что результат фактически не зависит от реальной структуры материала: от формы и взаимного расположения элементов структуры.

95

Корреляционное приближение дает удовлетворительно совпадающие с экспериментальными значения макроско­ пических постоянных лишь при малой разности свойств элементов структуры [53]. Применительно к композит­ ным материалам ограничение распространяется и на кон­ центрацию армирующего вещества. При значительно от­ личающихся свойствах компонентов и малой концентра­ ции арматуры макроскопические модули упругости, вычисленные с учетом только корреляционных моментов, могут сильно отличаться от найденных экспериментально величин и даже принимать отрицательные значения, не имеющие физического смысла {61]. Поэтому для мате­ риалов типа стеклопластиков, модули упругости компо­ нентов которых отличаются на порядок и более, нужно учитывать поправки последующих приближений.

Учет моментов высших порядков. Для поправок вто­ рого приближения запишем

(3.7) где / (г±, г2, г3) — координатная функция (rt = |х — х'|, г2=

f(ru Гъ г3) произвольного вида не вычислены. Если при вычислении макроскопических модулей упругости учиты­ ваются моменты высших порядков, на координатные функции накладываются те или иные существенные огра­ ничения [61,99, 101—104, 108].

Рассмотрим подробнее случай предельно локальных мо.ментных функций, когда статистическая зависимость между случайными свойствами элементов структуры про­

является лишь на расстояниях ~ e f /0 при е*->0. Тогда координатную функцию f(ru г2, г3) можно представить в виде

если г±= г2 = 0;

если /4=^0 или гг Ф 0.

96

В этом случае интегралы по Г и V" в (3.6) вычисляются раздельно и можно записать

—C'ijafr Сффуб Срюшл Р (1 Р) (1 2 Р) / арфя1)/V6pCl),

где интегралы 1^тп даны формулой (3.5).

Для поправок второго приближения к средним моду­ лям сдвига и объемной деформации получаем

h{02) = 4Р (1— Р) (1—2Р) (а + bf G*3;

/$> = 9Р (1— Р) (1—2Р) (а + Щ 2 К*3.

Выражение для предельно локальной моментной функции четвертого порядка индикаторной функции А,(х) находим, осуществив предельный переход е*-Я) (предпо­ лагается эргодичность функции А,(х) по отношению к мо­ ментной функции второго порядка):

h(a3) = 8Р (1— Р) (1—2Р)2 (а + bf G*4,

h\р = 27Р (1 — Р) (1 — 2 Р)2 (а + Щ 3 К*1.

Легко убедиться, что в случае предельно локальных моментных функций, эргодических по отношению к моментным функциям более низкого порядка:

AS = 2 (л) Р(1 — Р) (1—2Р)п~1 (а + Ь)а G*n+1;

=3" (1 — Р) (1—2Р)п~ 1(а + Щп К*п+Х.

Следовательно, поправки hGи hK выражаются степен­ ными рядами. Эти ряды сходятся, если выполняются со­ отношения

2 |(а + Ь) (1—2Р)\ G*< 1 и |(а + Щ (1—2Р)\ К* <1

или соответственно

Для стеклопластиков условия (3.9) выполняются при Р > (0 ,2 —0,3). Тогда макроскопические модули сдвига и модули объемной деформации хаотически армированно­ го материала находятся по формулам

фициент Пуассона п° — выражаются через модули сдвига G° и объемной деформации К° следующим образом:

К формулам (ЗЛО) приводят вычисления и при неко­ торых других предположениях о характере моментных функций [16, 99, 102]. При этих предположениях, как и в случае предельно локальных моментных функций, не обнаруживается зависимость макроскопических модулей упругости от формы и расположения элементов структу­ ры. Предполагается [37], что влияние формы и упаковки элементов структуры на макроскопические постоянные несущественно. Попытки выявить эти эффекты в рамках моментной теории нельзя считать удачными [1 0 2 , 109, 110]. Ниже изложен метод, позволяющий хотя бы в кор­ реляционном приближении учесть эффекты, связанные с формой и расположением элементов структуры мате­ риала.

Влияние формы и взаимного расположения элементов структуры. Воспользуемся решением статистической краевой задачи теории упругости в реализациях (п. 6 гл. 2). В первом (корреляционном) приближении реали­ зации функционала (2.78) для двухкомпонентной среды с изотропными компонентами равны

F1(х,) = [(1— Я) Г — 21Г>1. . с*, М(х{) 6 L1;

98

Ss — поверхности, ограничивающие элементы наполните­ ля с номером s. Интегралы l^mn определены формулами

(3.3) и (3.5). Значения интегралов I/ зависят от фор­ мы и расположения элементов наполнителя по отноше­

нию к точке M(Xi). Поэтому суммы I/ для каждой точки М (х,*) различны. Они являются реализациями случайной величины с нулевым математическим ожиданием.

Пусть R(x^)— реализация флуктуации 0°(х) в точке

формы и взаимного расположения соседних элементов наполнителя, не учитываются, то формула (3.13) дает поправку, совпадающую с поправкой, вычисленной по формуле (3.2). Действительно, с учетом (3.11)

h(1) = P ( l — P)*C*.-I.-C* + (1— Р)(— P f С* I- -с* =

= Р(1 — Р)С*.Л..С*.

Для реализации изложенного метода определения по­ правок’ с учетом формы и взаимного расположения эле­ ментов структуры необходимо вычислить интегралы по поверхности элемента наполнителя. Если элементы на­ полнителя имеют форму шаров и эллипсоидов, то интег­

ралы могут быть записаны жв элементарных функциях. В общем случае вычисления возможны лишь численным интегрированием.

Учет неоднородности наполнителя. Рассмотрим влия­ ние неоднородности частиц наполнителя на макроскопи­ ческие модули упругости композитного материала, состоящего из двух изотропных компонентов. Пусть 0 1— изотропный случайный тензор модулей упругости напол­ нителя; Сп — изотропный детерминированный тензор модулей упругости связующего. Предполагаем, что реа­ лизации 0 1 в пределах одной частицы наполнителя по­ стоянны и свойства 0 1 статистически не зависят от рас­ положения элементов структуры (от индикатора X). Моментные функции свойств 0(х) рассматриваемой среды исследовались выше (см. п. 5 гл. 1). Далее .ограничимся случаем предельно локальной координатной зависимости

Выражение (3.14) отличается от (3 .2 ) слагаемым, со­ держащим момент DQ2I\ При Р= 1 формула (3.14) совпа­

дает с формулой для поправки к средним модулям упру­ гости неоднородной среды, составленной только из частиц наполнителя j[53].

Поправки к модулям сдвига и модулям объемной де­ формации композитного материала с неоднородным на­ полнителем в корреляционном приближении равны

h(a } = 2Р (а + Ь) [G*2(l— Р) + D p ];

(3.15)

h \ = P{a + Щ [К*2( 1 - Р) + D P ],

объемной деформации наполнителя. Влияние неоднород­

100