Статистическая механика композитных материалов

Рис. 4. Гистограмма распределения длин проме­ жутков между волокнами в стеклопластике

Следует отметить, что по своему смыслу рассмотрен­ ные величины могут иметь только усеченное нормальное распределение. Возможность аппроксимации их распре­ делений нормальным позволяет упростить ^вычисления моментных функций (см. и. 4).

Близость распределения диаметров стеклянных воло­ кон в нити к нормальному видна из кривых распреде­ ления, полученных в работе [30]. Коэффициент вариа­ ции диаметров находится в пределах 10—15%.

В работе [30] показано также распределение углов между прямыми, соединяющими центры соседних воло­ кон; это распределение близко к нормальному с пара­ метрами 50° и 15°, 1.

2. МОДЕЛИ ТЕХНИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

Принципы построения моделей в механике известны из литературы [31—34]. Здесь отметим лишь принципы, полезные для оценки качества различных конкретных моделей: 1) адекватность оригиналу; 2) обсчитываемость; 3) соответствие.

По принципу адекватности оригиналу модель тем более совершенна, чем большим количеством свойств оригинала она наделена. Однако степень близости мо­ дели к оригиналу не может быть'неограниченной, по­ скольку всякая полезная для задач механики модель

11

должна быть обсчитываемой (принцип обсчитываемости). В частности, для решения задач типа 0.1—0.3 (см. предисловие) должен существовать математический ап­ парат, соответствующий свойствам данной модели.

Чем более близка к оригиналу модель по принципу адекватности, тем сложнее построить необходимый для описания ее свойств математический аппарат. Модель необсчитываема, если для описания ее свойств нет под­ ходящего математического аппарата.

Взаимосвязь между некоторой общепринятой (услов­ но называемой «старой») моделью и «новой» моделью, более совершенной по принципу адекватности и удов­ летворяющей принципу обсчитываемости, устанавлива­ ет принцип соответствия. Суть era состоит в том, что математический аппарат, описывающий свойства новой модели, должен быть более общим по сравнению с тем,

задач сопротивления материалов и строительной меха­ ники нужна более сложная модель — сплошная дефор­ мируемая среда (модель 1.2).

Понятие однородности* модели 1.2 означает, что лю­ бые два бесконечно малых элемента объема dV в ис­ ходном (до приложения внешней нагрузки) состоянии имеют одинаковые физические свойства. В расчетах элементов конструкций эти свойства принято считать из­ вестными из эксперимента. По классификации Н. Н. Давиденкова и Я. Б. Фридмана [35] они относятся к числу макроскопических. Для решения задач типа 0.2 и 0.3 модель 1.2 непригодна, так как она не имеет харак­ терных свойств внутренней структуры реальных компо­ зитов.

Чтобы учесть в расчетах элементов конструкций ха­ рактерные свойства композитов типа стеклопластиков — низкое сопротивление сдвигу связующего между слоями арматуры и деформированию в направлении, перпен­ дикулярном этим слоям, можно ввести в модель 1.2

12

дель имеет элементы с линейными размерами только первого и второго порядков малости [54, 55]. В модели У* класса Сп обычно* п= 1.

Композитные материалы состоят из армирующих компонентов с конечными характерными линейными размерами и связующего. Поэтому модель У*£СП имеет наиболее близкую к реальным композитам структуру по сравнению с другими моделями. Модель этого типа при­ менялась для вычисления "постоянных упругости в рабо­

сложного математического аппарата; 2) применение ее

структуры предельно малы, а число элементов структу­ ры бесконечно велико. По технологическим критериям реальные композитные материалы, близкие по структу­ ре к модели Вп> имеют наиболее высокие показатели прочности и пластичности.

3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА КЛАССА В2

Элементы структуры. В поликристаллических телах и зернистых композитах размеры кристаллитов или зерен одного порядка. В атом случае под характерным размером элемента структуры (зерна) будем подразу­ мевать его средний размер.

Наполнители композитных материалов имеют не только зернистую, но также волокнистую или пластин­ чатую фо-рму. Обычно из волокнистых и листовых ком­ позитов изготовляют пластины и оболочки.* Минималь­ ные и максимальные размеры элементов структуры в таких материалах существенно различные. Под харак­ терным размером изделия здесь будем понимать его

i5

ставляют обычно от 5—10 мкм до 0,1 мм. Это в среднем на 2 порядка меньше толщины изделия. По аналогии с терминами, принятыми для поликристаллических и зер­ нистых структур, будем называть элементы среды, ли­ нейные размеры которых равны характерным размерам элементов структуры (компонентов) композитного мате­ риала, микроскопическими.

Волокнистые наполнители применяются иногда в виде пучков волокон (нитей), жгутов, тканей и т. п., пропитанных связующим. Толщина таких элементов в среднем лишь на порядок меньше толщины изделия.

Структура статистической модели класса В2. Физи­ ческие свойства в точке тела, напряжения, деформации,

= dxxdx2dxз. Например, напряжения в точке тела имеют смысл средних напряжений на гранях элементарного параллелепипеда dV Это непосредственно видно из процедуры вывода дифференциальных уравнений рав­ новесия в теории упругости.

Если все тела VZ£L (реализации статистической мо­ дели) идеально однородны (не имеют внутренней структуры), для постановки задач механики твердых деформируемых тел достаточно ввести элементы dV од­ ного какого-либо (например, первого) порядка малости. В этом случае статистическую модель У* будем назы­ вать моделью класса Вх. Если, кроме того, все тела VzGL имеют одинаковые физические свойства и одина­ ково нагружены, то модель У* тождественна классиче­ ской (детерминированной) модели 1.2.

Конструкция статистической модели У* класса В2 в случае зернистого композита аналогична той, которая применяется* для описания свойств поликристаллических металлов [5, 54—59]. Статистическая модель У* при­ надлежит, по определению, к классу В2) если она состо­ ит из элементов dlV и dllV с линейными размерами со­

16

ответственно первого и второго порядков малости, име­

Вследствие того, что элементы dlV и dllV отличают­ ся порядком малости, нетрудно заметить, что при е*->0 число элементов арматуры в данном элементе А1 V не­ ограниченно увеличивается.

Статистическое описание модели. Рассмотрим ком­ позитный материал, моделируемый средой класса В2. Введем следующие предположения.

1.Данный тип структуры может быть воспроизведен

нсколь угодно большом количестве однотипных (оди­ наковых по форме и размерам) тел Vz, составляющих множество L.

2.Наличие в некоторой точке Л4(х) тела VZ£L, за­ данной детерминированным радиусом-'вектором х, впол­ не определенного компонента k не обязательно, однако

событие М (х) 6Lh (здесь Lk— множество точек компо­ нента ky обладает статистической устойчивостью: для достаточно больших совокупностей тел VZQL частота события M(x)6L/t незначительно колеблется около не­ которого постоянного числа Ри.

Указанные предположения позволяют считать собы­ тие M(x)6Lh случайным и применить к его исследова­ нию аппарат теории вероятностей. Тогда величина Ри есть вероятность данного события, удовлетворяющая основным аксиомам теории вероятностей.

числа однотипных образцов со структурой Vz.

3. Пусть М (х) £Lk—случайное событие, тогда свойство 0

ее функция распределения. Величина 0 не обязательно ска­ лярная, ее можно считать тензором ранга m, a F (t) — функцией совместного распределения 3т составляющих тензора 0.

совместного распределения семейства ©(xj, 0 (х 2), ..., 0(х,),

[60], выполнение этих условий необходимо и достаточ­ но для того, чтобы совокупность функций распределения F(t 1, /2, ..., tn) задавала случайную функцию.

18

чайное поле. По своему физическому смыслу слу­ чайное поле Хи(х) задает распределение компонента k в композитном материале.

dy

Плотность распределения fK'(y) случайной индикатор­

ной функции Хк (х) в данной точке М (х) тела У* опреде­ ляется как производная от функции распределения:

кости называть биномиальными.

Случайная индикаторная функция Хк (х) задана в точке М (х) тела У* (статистической модели), если задана функ­ ция-распределения (1.1) или плотность распределения (1..2). Если рассматривать Хк (х) как функцию радиуса-вектора х,

то мерой множества ее реализаций будет многоточечный за­

1/* класса Въ в которой одноточечный закон распределения

для вычисления модулей упругости композитного материала типа стеклопластика по модулям упругости компонентов и их взаимному расположению. Многоточечная функция сов­ местного’ распределения значений случайной функции Хк (х)

% = Рь' у Ph( l —Ph) = V p k l { \ - P h).

или компонента с номером т соответственно Хк (х) =*=0. На границе между связующим и наполнителем функция Хк (х) ^меняется скачкообразно. В сплошной среде эти скачки эквивалентны разрывам первого рода.

В точках разрыва реализации случайной функции Хк{х) вс имеют производных в смысле классического

20