Физика. Ч. II Основы электромагнетизма учебное пособие

1.10. Конденсаторы

Конденсатором называется система из двух изолированных друг от друга проводников. Эти проводники обычно называют пластинами, хотя они могут иметь любую форму. На практике конденсаторы используются как накопители зарядов или «резервуары», в которых содержится энергия электрического поля, используемая в тех или иных целях. Если на пластины поместить одинаковые по величине, но противоположные по знаку заряды q и q , то между

пластинами возникнет разность потенциалов 1 2 U . Емкостью конденсатора называется величина

Единица измерения емкости в СИ C = 1 Ф (1 фа-

рад). 1 Ф – это очень большая емкость. На практике величина емкости редко превышает одну миллионную часть фарада.

Емкость конденсатора зависит от его геометрических характеристик, вида диэлектрика между пластинами и не зависит от сообщаемых ему зарядов. Докажем этот факт

расстояние между пластинами

51

гораздо меньше их линейных размеров, то можно считать, что электрическое поле между пластинами однородно

иравно по величине (см. пример 1.4 и формулу (1.20, б)

Е,

0

где qS поверхностная плотность заряда на пласти-

нах, S площадь пластин. Тогда разность потенциалов между пластинами (см. (1.21)).

Подставляя эту величину в формулу (1.27) для емкости плоского конденсатора, получим:

Для того чтобы получить заданную емкость, можно использовать не один, а сразу несколько конденсаторов. Систему из нескольких конденсаторов называют батареей конденсаторов. Емкостью батареи конденсаторов называется величина C0 q0 U0 ,

52

Итак, емкость группы параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.

При последовательном соединении конденсаторов (рис. 1.26) отрицательная обкладка первого конденсатора соединена с положительной обкладкой второго, отрицательная обкладка второго – с положительной обкладкой третьего и т. д. В этом случае на всех конденсаторах одинаковыми будут заряды: q1 q2 q3 q0 . Действительно, если

от источника напряжения на левую обкладку первого конденсатора придет заряд q , то вследствие явления индук-

ции (см. пример 1.7) на его правой обкладке возникнет заряд q , а на левой обкладке

второго конденсатора соответственно заряд q и т.д. В целом

единенными с источником напряжения) будет складываться из напряжений на каждом конденсаторе: U0 U1 U2 U3 . Используя формулу (1.27), получим:

q0 q1 q2 q3 . C0 C1 C2 C3

53

Формула (1.30) показывает, что емкость группы последовательно соединенных конденсаторов всегда меньше емкости каждого из этих конденсаторов в отдельности.

Предлагаем читателям самостоятельно обобщить формулы (1.29) и (1.30) и вывести соответствующие выражения для произвольного числа конденсаторов.

Понятие емкости можно использовать также при рассмотрении на уединенного заряженного проводника. Если предположить, что вторая обкладка находится очень далеко (на бесконечности), то ее потенциал будет равен нулю и напряжение между обкладками такого конденсатора будет равно просто потенциалу уединенного заряженного проводника U 1 2 1 . Таким образом, емкостью уе-

диненного заряженного проводника называется величина

Например, для емкости уединенного заряженного металлического шара, находящегося в диэлектрической среде

( k q R ), получим:

Пример 1.10. Два проводника с емкостями С1 и С2 и потенциалами 1 и 2, расположенные далеко друг от друга, соединяются проводящей проволокой. Определить потенциалы проводников после соединения. Считать, что электроемкость проволоки пренебрежимо мала.

54

Решение. При соединении проводников с различными потенциалами проводящей проволокой часть заряда одного проводника перетекает по проволоке на другой проводник так, что потенциалы проводников выравниваются. Действительно, в равновесии (отсутствии токов) потенциал любой точки проводящей системы, состоящей из проводников и проволоки, будет одинаков (см. пример 1.8).

Этот факт полезно уяснить и с точки зрения закона Ома, который будет обсуждаться в следующей главе. Прохождение тока по проволоке прекратится, когда разность потенциалов (или напряжение) на ее концах будет равна нулю.

Если проводники расположены далеко друг от друга, то потенциал каждого из них можно рассчитывать как потенциал уединенного проводника при помощи формулы (1.31). Пусть q1 и q2 заряды проводников до соеди-

нения, а q1 и q2 заряды проводников после соединения. Тогда, используя закон сохранения заряда, находим потенциал проводников после соединения:

q1 q2 q1 q2 C1 1 C2 2 C1 C2

C1 1 C2 2 .

C1 C2

Электроемкость проволоки пренебрежимо мала, поэтому мы не учитываем ее заряд. Полученный результат показывает, что если электроемкость одного из проводников очень велика по сравнению с электроемкостью другого проводника ( С1 С2 ), то его потенциал меняться

практически не будет ( 1 ). Например, при соединении

проводника с землей (заземлении) его потенциал становится равным потенциалу Земли, который принимают равным нулю.

55

1.11. Энергия электрического поля

Для того чтобы зарядить конденсатор, очевидно, нужно затратить некоторую работу. Следовательно, заряженный конденсатор обладает энергией, которая и будет равна работе, затраченной на его зарядку. Возникает ряд вопросов. Откуда взялась эта энергия? Где и в каком виде она сосредоточена?

Убедиться в том, что в конденсаторе действительно запасена энергия, можно и экспериментально. Например, если обкладки заряженного конденсатора соединить проволокой, то она нагреется. В этом случае энергия конденсатора переходит во внутреннюю энергию проволоки под действием кратковременно текущего тока. К заряженному конденсатору можно присоединить лампочку, она на мгновение вспыхнет. И наконец, всем известно, какая громадная энергия выделяется при разряде молнии в гигантском конденсаторе «облако – Земля».

Для того чтобы ответить на поставленные в начале этого подраздела вопросы, рассчитаем сначала работу, необходимую для зарядки плоского конденсатора, а следовательно, и энергию плоского конденсатора. Возьмем плоский незаряженный конденсатор, обкладки которого разделены слоем диэлектрика, и будем небольшими порциями переносить электроны с одной обкладки на другую (способ переноса электронов роли не играет). При этом на одной обкладке появятся лишние электроны, и она будет заряжаться отрицательно, а на второй обкладке будет их недостаток, и она будет заряжаться положительно. Сейчас мы ставим мысленный эксперимент. Далеко не все мысленные эксперименты можно осуществить на практике, однако в физике они широко используются теоретиками для проведения математических расчетов. Итак, пусть в момент, когда обкладки уже были заряжены зарядом q , с одной

56

обкладки на другую был еще перенесен заряд dq .

Работа dA, необходимая для переноса заряда dq, не зависит от траектории заряда и противоположна по знаку работе электрического поля (см. (1.7)): dA dq( 2 1 ) dqU. Да-

лее воспользуемся определением емкости конденсатора (1.27): U qC . Тогда работа по переносу порции заря-

да dq с одной обкладки на другую dA qdqC . Интегри-

руя последнее выражение, находим полную работу, необходимую для заряжания конденсатора до заряда q:

Теперь вычислим объемную плотность энергии w (или энергию, приходящуюся на единицу объема конденсатора):

w WV SdW 02E2 .

57

Используя (1.24), т.е. связь между напряженностью

электрического поля Е и вектором электрического смеще-

ния D , полученный результат можно записать так:

Объемная плотность энергии конденсатора уже не зависит от его геометрических характеристик. Она выражается лишь через характеристики электрического поля конденсатора. Таким образом, можно предположить, что энергия конденсатора – это энергия электрического поля, заключенного между его обкладками. Тогда становятся ясными превращения энергии в опытах, описанных в начале этого подраздела. Всякий раз при разрядке конденсатора электрическое поле между обкладками исчезает, а энергия электрического поля переходит в другие виды энергии.

Выражение (1.33) для плотности электрического поля в какой-то точке пространства (небольшой области), доказанное нами для электрического поля конденсатора, является универсальным. В общем случае энергия неоднородного электрического поля, заключенная в некотором объеме V, рассчитывается через объемный интеграл:

В заключение отметим, что энергия электрического поля уединенного заряженного проводника

Это выражение можно получить примерно так же, как и выражение (1.32).

58

1.12. Потенциальность электрического поля. Теорема о циркуляции

В начале этой главы, изучая электрическое поле в вакууме, мы уже отмечали его потенциальный характер. Электрическое поле будет потенциальным и в веществе. Вообще, электрическое поле любой системы зарядов (свободных или связанных) является потенциальным. Напомним, что потенциальный характер электрического поля выражается в том, что работа по перемещению электрического заряда из точки 1 в точку 2 в электрическом поле не зависит от формы траектории и определяется выражением А q( 1 2 ) . Если

точки 1 и 2 совпадут, то А q( 1 2 ) 0 . Положение о по-

тенциальности электрического поля равносильно утверждению, что работа электрического поля по перемещению како- го-либо заряда по замкнутой траектории равна нулю.

С другой стороны, работу по перемещению заряда по какой-либо кривой L можно вычислить по формуле

циркуляцией электрического поля по замкнутому конту-

59

ру L . Мы получили, что циркуляция вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру L равна нулю. Это утверждение называется теоремой о циркуляции электрического поля, она доказывает, что электрическое поле, созданное любой системой зарядов, является потенциальным.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.

1.Какие частицы являются носителями электрического заряда?

2.Что значит зарядить тело? Изменяется ли при этом его масса?

3.Если потереть, например, детский воздушный шар, а затем приблизить его к потолку и отпустить, он станется висеть у потолка. Почему?

4.Сформулируйте закон Кулона.

5.С какой силой действуют два одноименных и равных по величине заряда на третий заряд, помещенный посередине между ними?

6.Зависит ли сила взаимодействия зарядов от среды, в которой они находятся?

7.Каким образом заряды, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, взаимодействуют?

8.Дайте определение напряженности электрического поля.

9.Что называется напряжением между двумя точками поля?

10.Объясните, что такое потенциал некоторой точки поля

ипотенциальная энергия заряда, находящегося в данной точке.

11.Как связаны две характеристики электрического поля – напряженность и потенциал?

12.Потенциал возрастает по мере удаления от точечного заряда. Каков знак заряда?

13.Сформулируйте принцип суперпозиции.

60