Физика. Ч. II Основы электромагнетизма учебное пособие

углами 1 и 2 с положительным направлением оси 0x,

откладываемыми против часовой стрелки. Тогда вектор I0, равный сумме этих векторов, будет иметь параметры результирующего колебания: его длина равна амплитуде, а угол с положительным направлением оси 0x начальной фазе результирующего колебания. Таким образом, сумма двух гармонических колебаний одинаковой частоты, амплитуды которых равны I01 и I02 , а начальные фазы 1

и 2 , представляет собой гармоническое колебание той же самой частоты с амплитудой

Точно так же складываются напряжения при последовательном соединении элементов цепи.

Итак, складывать токи и напряжения в цепи с переменным синусоидальным током нужно векторно. Законы для последовательного и параллельного соединения двух элементов можно записать в виде

Приведем несколько примеров.

Сначала еще раз рассмотрим цепь, состоящую из активного сопротивления, индуктивности и емкости, соединенных последовательно (рис. 4.5). Пусть амплитуда силы тока в цепи равна I0 (сила тока будет одинакова для всех

трех элементов). Отложим вектор I0 вдоль оси x (рис. 4.9).

241

X реактивное сопротивление цепи. Далее по теореме Пифагора находим величину результирующего вектора U0 :

Найденная формула в точности совпадает с формулой (4.23). Используя векторную диаграмму, легко найти сдвиг фаз между током в цепи и суммарным напряжением на

концах цепи. Сдвиг фаз равен углу между векторами I0 и U0 . Из прямоугольного треугольника

Для нормального функционирования электрической схемы параметры всех ее элементов должны быть точно рассчитаны. Как правило, расчет электрических цепей с переменным током, содержит больше нюансов по сравнению со схемами питания постоянным током. Например, вблизи резонанса напряжение на отдельном элементе схемы может во много раз превышать амплитуду напряжения генератора.

Пример 4.5. Рассчитать допустимую амплитуду напряжения генератора U0 в электрической цепи на рис.

4.5, если пробой конденсатора наступает при напряжении U 500 В. Параметры схемы: C 10 мкФ, L 1 Гн, R 3 Ом, частота генератора 50 Гц.

243

Решение. Циклическая частота генератора 2 , индуктивное и емкостное сопротивление:

Вывод: амплитуда напряжения генератора ~ 8 В приведет к пробою конденсатора, выдерживающего напряжение 500 В.

Пример 4.6. К генератору переменного синусоидального тока подключен резистор с сопротивлением R . Во сколько раз изменится амплитуда силы тока генератора, если к резистору подключить катушку с индуктивным сопротивлением X L R а) последовательно, б) парал-

лельно? Активным сопротивлением катушки пренебречь. Решение. Соответствующие схемы представлены на рис. 4.10, а, б. Векторная диаграмма для схемы – нарис. 4.10 – построена аналогично диаграмме на рис. 4.9. Вдоль оси 0x

отложим вектор амплитуда тока I0 . Тогда векторы амплитуд

244

ды напряжения в цепи U0 вдоль оси 0x (см. рис. 4.11, б).

Тогда, поскольку ток и напряжение на активном сопротивлении колеблются в одной фазе, вектор амплитуды силы то-

Рис. 4.11. Векторные диаграммы токов и напряжений для цепей, представленных на рис. 4.10, а, б

ка I0R через сопротивление R будет направлен также вдоль

оси 0x. Поскольку колебания тока через индуктивность отстают от напряжения по фазе на / 2 , вектор амплитуды си-

лы тока I0L будет направлен антипараллельно оси 0y. По закону параллельного соединения амплитуда суммарного тока генератора I0 I0R I0L . Т.к. векторы I0 R и I0L взаимно перпендикулярны, то I02 I02R I02L , и с использованием закона Ома для отдельных участков цепи получаем

из чего можно сделать вывод о том, что амплитуда силы тока генератора при параллельном включении в цепь ка-

246

тушки увеличится в 2 раза. Заметим, что если бы вместо индуктивности мы параллельно включили в цепь еще одно такое же активное сопротивление R , то суммарное сопротивление уменьшилось бы в 2 раза, а амплитуда силы тока генератора возросла в 2 раза.

4.4.4. Эффективные напряжение и ток

Силу переменного тока (напряжения) можно охарактеризовать при помощи амплитуды. Однако амплитудное значение тока непросто измерить экспериментально. Силу переменного тока удобно связать с каким-либо действием, производимым током, не зависящим от его направления. Таковым является, например, тепловое действие тока. Поворот стрелки амперметра, измеряющего переменный ток, вызывается удлинением нити, которая нагревается при прохождении по ней тока.

Действующим, или эффективным, значением пере-

менного тока (напряжения) называется такое значение постоянного тока, при котором на активном сопротивлении выделяется за период такое же количество теплоты, как и при переменном токе.

Свяжем эффективное значение тока с его амплитудным значением. Для этого рассчитаем количество теплоты, выделяемое на активном сопротивлении переменным током за время, равное периоду колебаний. Напомним, что по закону Джоуля – Ленца количество теплоты, выделяющееся на участке цепи c сопротивлением R при постоянном токе

I за время t , определяется по формуле Q I 2 R t . Пере-

менный ток можно считать постоянным только в течение очень малых промежутков времени dt . Поделим период колебаний T на очень большое число малых промежутков времени dt . Количество теплоты dQ , выделяемое на со-

противлении R за время dt : dQ I 2 R dt . Общее количе-

247

ство теплоты, выделяемое за период, найдется суммированием теплот, выделяемых за отдельные малые промежутки времени, или, другими словами, интегрированием:

Q T I 2 R dt .

0

Сила тока в цепи изменяется по синусоидальному закону

Опуская вычисления, связанные с интегрированием, запишем окончательный результат:

Q 12 I02 RT .

Если бы по цепи шел некоторый постоянный ток I , то за время, равное T , выделилось бы тепло Q I 2 RT . По опре-

делению постоянный ток I , оказывающий такое же тепловое действие, что и переменный, будет равен эффективному значению переменного тока Iэф . Находим эффективное

значение силы тока, приравнивая теплоты, выделяемые за период, в случаях постоянного и переменного ток:

Очевидно, точно такое же соотношение связывает эффективное и амплитудное значения напряжения в цепи с синусоидальным переменным током:

248

Например, стандартное напряжение в сети 220 В – это эффективное напряжение. По формуле (4.29) легко сосчитать, что амплитудное значение напряжения в этом случае будет равно 311 В.

4.4.5. Мощность в цепи переменного тока

Пусть на некотором участке цепи с переменным током сдвиг фаз между током и напряжением равен ,

т.е. сила тока и напряжение изменяются по законам:

I I0sin t , U U0sin t .

Тогда мгновенное значение мощности, выделяемой на участке цепи,

P IU I0U0sin t sin t .

Мощность изменяется со временем. Поэтому можно говорить лишь о ее среднем значении. Определим среднюю мощность, выделяемую в течение достаточно длительного промежутка времени (во много раз превосходящего период колебаний):

PI0U0sin t sin t I0U0 sin t

sin t .

Сиспользованием известной тригонометрической формулы

sin sin 12 cos cos

получим

P 12 I0U0 cos cos 2 t .

Величину cos усреднять не нужно, т.к. она не зависит от времени, следовательно:

P 12 I0U0 cos cos 2 t .

249

За длительное время значение косинуса много раз успевает измениться, принимая как отрицательные, так и положительные значения в пределах от 1 до 1. Понятно, что среднее во времени значение косинуса равно нулю:

cos 2 t 0 , поэтому P 12 I0U0cos . (4.30)

Выражая амплитуды тока и напряжения через их эффективные значения по формулам (4.28) и (4.29), получим

Мощность, выделяемая на участке цепи с переменным током, зависит от эффективных значений тока и на-

пряжения и сдвига фаз между током и напряжением. На-

пример, если участок цепи состоит из одного только активного сопротивления, то 0 и P IэфUэф . Если участок

цепи содержит только индуктивность или только емкость,

то 2 и P 0 .

Объяснить среднее нулевое значение мощности, выделяемой на индуктивности и емкости, можно следующим образом. Индуктивность и емкость лишь заимствуют энергию у генератора, а затем возвращают ее обратно. Конденсатор заряжается, а затем разряжается. Сила тока в катушке увеличивается, затем снова спадает до нуля и т. д. Именно по той причине, что на индуктивном и емкостном сопротивлении средняя расходуемая генератором энергия равна нулю, их назвали реактивными. На активном же сопротивлении средняя мощность отлична от нуля. Другими словами, провод с сопротивлением R при протекании по нему тока нагревается. И энергия, выделяемая в виде тепла, назад в генератор уже не возвращается.

Если участок цепи содержит несколько элементов, то сдвиг фаз может быть иным. Например, в случае участка

250