Физика. Ч. II Основы электромагнетизма учебное пособие

вый и медный электроды погружены в разные растворы – ZnSO4 и CuSO4 соответственно, соединенные пористой перегородкой. При работе этого элемента цинковый электрод растворяется, а на медном электроде выделяется медь, так что его состав не изменяется.

В других источниках электрической энергии могут происходить иные процессы, могут действовать иные сторонние силы. Однако роль и смысл сторонних сил всегда одни и те же. Сторонние силы поддерживают разность потенциалов во внешней цепи, а их работа по перемещению единичного заряда во внутренней цепи по определению равна ЭДС.

2.6. Закон Ома для неоднородного участка цепи

Неоднородный участок цепи, в отличие от однородного, включает источник тока (рис. 2.12). На таком участке цепи на свободные заряды кроме сил электрического поля

хождении тока, может быть единственным – нагревание сопротивления. Следова-

тельно, для неоднородного участка цепи

91

Это уравнение полезно сравнить с аналогичным уравнением для однородного участка цепи Аэл Q , которое ис-

пользовалось при выводе закона Джоуля – Ленца (2.6). В случае однородного участка работу совершает только электрическое поле.

Будем считать, что источник тока (рис. 2.12, а) разряжается, т.е. ток направлен от точки с потенциалом 1

к точке с потенциалом 2 . Пусть q – заряд, прошедший по

Q I 2 (R r) t . Учитывая, что q I t , из (2.17) получим:

Выражение (2.18) и представляет собой закон Ома для неоднородного участка цепи.

Вывод закона Ома для неоднородного участка в случае, когда источник тока заряжается, во многом аналогичен выводу, приведенному выше. В этом случае, очевидно, гдето в цепи есть иные источники, которые заряжают наш источник и обуславливают направление тока, показанное на рис. 2.12, б. Работа источника теперь будет отрицательной Аист q . Если химическая реакция в элементе обратима,

то, пропуская ток в обратном направлении, заряжая источник, можно восстановить исходное состояние элемента, т.е. восстановить запасы его энергии. В прямой химической реакции при разрядке источника энергия q выделяется,

а в обратной реакции точно такая же энергия поглощается

92

источником. Если в первом случае источник совершает положительную работу А q , то во втором случае ее следу-

ет считать отрицательной А q .

Работа электрического поля теперь будет равна Аэл q( 2 1 ) , т.к. положительный заряд переносится от

точки с потенциалом 2 к точке с потенциалом 1 . Записывая закон сохранения энергии и выполняя

Рассмотрим несколько частных случаев.

1) Исключим из участка цепи источник тока. Получим 0 , r 0 ; из (2.18) выведем закон Ома для однородного участка цепи:

1 2 IR U IR .

2) Соединим (закоротим) точки 1 и 2, тогда 1 2 ,

мы получили замкнутую цепь (рис. 2.9). Из (2.18) закономерно следует закон Ома для замкнутой цепи:

I (R r) .

3)Исключим из участка цепи внешнее сопротивление R . Тогда в случае разрядки источника из (2.18, а) получим, что разность потенциалов на его клеммах

1 2 I r

(сравните с полученной ранее формулой (2.15)). При достаточно больших токах напряжение на клеммах источника может оказаться больше ЭДС.

В случае зарядки источника из (2.18, а) получим, что разность потенциалов на его клеммах

2 1 Ir .

93

В заключение подчеркнем, что закон Ома для неоднородного участка цепи является, по сути, прямым следствием закона сохранения энергии (и конечно, закона Джоуля – Ленца).

2.7. Правила Кирхгофа

Простые электрические цепи достаточно легко рассчитываются с применением законов Ома и законов последовательного и параллельного соединения проводов. Более сложные разветвленные электрические цепи удобнее рассчитывать при помощи правил Кирхгофа.

Рассмотрим произвольную разветвленную цепь, на отдельных участках которой включены источники тока с известными характеристиками. Точка цепи, в которой сходится более двух проводов (рис. 2.13),

называется узлом.

Первое правило Киргхофа. Сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из узла:

Эквивалентная формулировка первого правила Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна

нулю Ii 0 . При этом втекающим и вытекающим из

узла токам приписываются противоположные знаки. В нашем случае (см. рис. 2.13): I2 I4 I1 I3 I5 .

Первое правило Кирхгофа, по сути, является следствием закона сохранения заряда. Оно также отражает тот факт, что при постоянном токе в узле не происходит нарастающее во времени накопление заряда того или иного знака. Для этого нужно, чтобы количество заряда, втекающее

94

в узел в единицу времени, было равно количеству заряда, вытекающего из него.

Второе правило Кирхгофа. В произвольном замкну-

том контуре алгебраическая сумма ЭДС, действующих в этом контуре, равна сумме падений напряжений на отдельных участках этого контура:

Некоторые слагаемые в (2.20) как слева, так и справа могут быть отрицательными. При решении конкретных задач токи на отдельных участках первоначально расставляются произвольным образом. Затем произвольным образом выбирается положительное направление обхода замкнутого контура (по часовой или против часовой стрелки). Если ток течет вдоль положительного направления, его берут со знаком «+», если против положительного направления – со знаком « ». Если ЭДС действует вдоль положительного направления, т.е. при обходе контура источник проходится от клеммы « » к клемме «+», то значение ЭДС берется со знаком «+», и наоборот. Если в результате расчета сила тока получится отрицательной, то значит, что мы не угадали направление тока на данном участке и его просто следует изменить на противоположное. Сама же величина тока, независимо от того, как мы расставим токи в начале решения задачи, получится правильной.

Для доказательства второго правила Кирхгофа рассмотрим произвольный замкнутый контур в цепи, который в общем случае может включать в себя внешние сопротивления и ЭДС на каждом участке (от узла до узла). Положительным будем считать направление по часовой стрелке. Пусть для определенности наш контур включает три участка (рис. 2.14). Направление токов расставим произвольно. Применим закон Ома (2.18) к каждому из трех неоднородных участков цепи. Для первого участка 2–1 работа элек-

95

трического поля положительна, а работа источника (он заряжается) отрицательна, поэтому:

( 2 1 ) 1 I1R1 I1r1 .

На втором участке цепи 2–3 также работа электрического поля положительна, а работа источника отрицательна, поэтому

( 2 3 ) 2 I2 R2 I2r2 .

На третьем участке цепи 3–1 работа источника положительна, поэтому

нений, предварительно Помножив первое уравнение на 1. Потенциалы сократятся, в результате получим:

1 2 3 I1R1 I1r1 I2 R2 I2r2 I3 R3 I3r3 .

Последнее уравнение совпадает с формулировкой второго правила Кирхгофа (2.20) с учетом всех замечаний, сделанных по поводу знаков токов и ЭДС (выражения типа I r можно формально рассматривать как падение напряжений на внутренних сопротивлениях).

Отметим, что второе правило Кирхгофа, являясь следствием закона Ома для неоднородного участка цепи, по сути, является следствием закона сохранения энергии.

Правила Кирхгофа применимы и в том случае, когда в цепь включены неомические, т.е. не подчиняющиеся закону Ома (U IR ), элементы. Такие элементы еще называются нелинейными, поскольку зависимость напряжения на них от силы тока нелинейна. Нелинейными являются,

96

например, большинство радиотехнических элементов: диоды, транзисторы, электронные лампы. Расчеты ведутся так же, только падение напряжения на нелинейном элементе следует обозначать не IR , а U. Второе правило Кирхгофа

при этом имеет вид: i Ui .

Рассмотрим примеры.

Пример 2.9. Параллельное соединение источников тока. В схеме на рис. 2.15 1 = 14 В, r1 0,5 Ом, 2 = 12 В,

r2 1 Ом, R 5 Ом. Определить токи во всех ветвях.

Поскольку в задаче три неизвестных тока, необходимо три уравнения. Для этого достаточно рассмотреть какиелибо два замкнутых контура цепи и записать для них второе правило Кирхгофа.

Контур АВЕFA: 1 2 I1r1 I2r2 . Контур АВСDEFA: 1 I1r1 I3 R .

Отметим, что положительное направление обхода контуров задает последовательность букв, которыми они обозначены. Например, в контуре АВЕFA положительное направление обхода – по часовой стрелке. Напомним, что ЭДС первого источника взята со знаком «+», т.к. при движении вдоль контура по часовой стрелке он проходится от клеммы « » к клемме «+». ЭДС второго источника взята

97

со знаком минус, т.к. при движении по часовой стрелке он проходится от клеммы «+» к клемме « ». В правой части уравнения оба тока взяты знаком «+», поскольку они текут вдоль положительного направления обхода – по часовой стрелке. Такие же правила использованы и для конту-

ра АВСDEFA.

Перед решением полученной системы из трех уравнений удобно подставить в них известные величины:

I3 2,5 А, Т.к. все токи получились положительными, их

направления были случайно указаны верно.

Анализируя полученный результат, можно сделать вывод, что первый источник питает не только нагрузку R , но и заряжает второй источник. Второй источник играет роль «паразита». Однако такая схема все-таки иногда используется на практике. Например, в системах электрического питания автомобилей роль первого источника играет генератор постоянного тока, а роль второго – аккумулятор. Если на питание нагрузки расходуются небольшие токи (общее сопротивление внешней цепи велико), то генератор не только питает нагрузку, но и подзаряжает аккумулятор. При увеличении тока, потребляемого нагрузкой, направление тока I2 (см. рис. 2.15) может изменится, и аккумулятор

начинает разряжаться, работая синхронно с генератором. Допустим, что к нагрузке R на рис. 2.15 параллельно подключена еще точно такая же нагрузка. Тогда сопротивление внешней цепи становится равным R2 2,5 Ом. Третье

уравнение системы изменится, и решение становится другим: I1 4,47 А, I2 0,24 А, I3 4,71 А. Отрицательное

98

значение второго тока и свидетельствует о том, что он теперь направлен в сторону, противоположную указанной на рис. 2.15, т.е. разряжается.

Для лучшего уяснения всех нюансов, возникающих при применении правил Кирхгофа, рассмотрим пример достаточно разветвленной цепи.

Пример 2.10. В схеме на рис. 2.16 R1 R3 R4 1 Ом, R2 2 Ом, 1 2 В, 2 1 В. Определить токи во всех вет-

D, Н и В:

Узел D: I1 I5 I2 .

Узел Н: I3 I5 I4 .

Узел В: I3 I6 I1 .

Уравнение для узла F записывать нет необходимости, поскольку оно является просто следствием (линейной комбинацией) уравнений для узлов D, В и Н. Можно сформулировать общее правило: если в цепи имеется n узлов, то первое правило Кирхгофаимеетсмысл применить для(n – 1)-гоузла.

Поскольку взадаче шесть неизвестных, для ее решения нам необходимо записать шесть уравнений. Оставшиеся три уравнения получим, применяя второе правило Кирхгофа для каких-либо трех замкнутых контуров в цепи таким

99

образом, чтобы все ЭДС и сопротивления входили в систему уравнений. Учитывая, что внутренние сопротивления пренебрежимо малы, получим:

Контур АВНFGA: 2 I3 R3 I4 R4 .

Контур ВСDHB: 1 I1R1 I3 R3 .

Контур DEFHD: 1 I2 R2 I4 R4 .

Далее подставляем численные значения ЭДС и сопротивлений и решаем систему уравнений. Ответ: I1 57 А,

I2 67 А, I3 97 А, I4 27 А, I5 117 А, I6 47 А.

Токи I1 и I3 получились отрицательными, следовательно,

они направлены в стороны, противоположные указанным на рис. 2.16.

2.8.Закон Ома в дифференциальной форме. Электронная теория проводимости

Запишем закон Ома в другом виде. Для этого введем векторную величину, ориентированную по локальному направлению тока и называемую плотностью электрического тока:

где I ток, текущий в проводнике, а S площадь поперечного сечения проводника. В результате получим:

напряженность электрического поля в проводнике, получим:

100