Физика. Ч. II Основы электромагнетизма учебное пособие

то сила, действующая на него со стороны поля, направлена так же, как и напряженность поля. Если же заряд q отрица-

Таким образом, зная напряженность поля E в данной точке, можно определить силу F , действующую на заряд q,

помещенный в эту точку поля. Поэтому величина Е получила название силовой характеристики электрического поля.

При перемещении электрического заряда в поле кулоновская сила (1.4), действующая со стороны поля на заряд, совершает работу. Говорят, что работу по перемещению заряда совершает электрическое поле. Термин «работа поля» мы будем использовать чаще, чем «работа кулоновских сил». Электростатическое поле обладает очень важным свойством – потенциальностью. Это означает, что работа поля по перемещению заряда из одной точки поля в другую не зависит от траектории движения заряда, а зависит только от начального и конечного положений заряда. Так, работа поля при движении заряда по траектории 1a2 равна работе поля при движении заряда по траек-

тории 1b2 (рис. 1.2). Потенциальность электриче-

Напряжением U, или разностью потенциалов 1 2

между двумя точками поля 1 и 2 называется величина, равная отношению работы А электрического поля по пе-

11

ремещению заряда q из точки 1 в точку 2, к величине этого заряда:

Из данного определения следует, что напряжение между двумя точками поля численно равно работе по перемещению единичного положительного заряда из первой точки

во вторую. Единица измерения напряжения в СИ U = 1 В

(1 вольт). Например, напряжение между двумя точками 20 В означает, что если единичный заряд перенести из одной точки в другую, то поле совершит при этом работу 20 Дж.

Разность потенциалов между двумя данными точками поля – величина строго определенная. Само же значение потенциала в какой-то данной точке поля не определено однозначно, так же как, например, не определена высота какого-либо тела, пока не указано, относительно какого уровня эта высота откладывается, т.е. пока не указан нулевой уровень высоты.

Если какой-либо точке поля приписать нулевой потенциал, то потенциалы остальных точек поля будут иметь уже вполне определенные значения. Чаще всего нулевой потенциал приписывают точке, бесконечно удаленной от зарядов, создающих поле, или любой точке, соединенной проводником с Землей (заземленной точке).

Земля представляет собой проводящее тело огромных размеров. Она обладает значительным отрицательным электрическим зарядом. Равный ему положительный объемный заряд содержится в атмосфере, в слое высотой порядка десятков километров. У поверхности Земли напряженность поля приблизительно равна 130 Н/Кл. Считая Землю проводящим шаром и зная напряженность поля у поверхности, можно оценить величину заряда Земли:

12

qземли 6 105 Кл. Выражение «тело заземлено» означает, что оно соединено проводником с Землей. При таком соединении, хотя какой-то заряд и может перейти с тела на Землю или наоборот, потенциал Земли практически не меняется. Поскольку Земля по сравнению с любым земным телом простирается до бесконечности и потенциал ее постоянен в любой точке (т.к. Земля – проводник, подраздел 1.7), условились этот потенциал принимать за нуль. Заземлить проводник – значит сообщить ему потенциал бесконечно удаленных точек, т.е. нулевой потенциал.

Перенесем заряд q из некоторой точки в бесконечность или точку, потенциал которой условно принят за нуль. Тогда по уравнению (1.5) получим 0 A1 q

A1 q . Таким образом, потенциал некоторой точ-

ки – это работа, которую совершает поле при перемещении единичного заряда из данной точки в бесконечность.

Работа, совершаемая при перемещении заряда q из данной точки в точку нулевого потенциала A1 q ,

называется потенциальной энергией заряда в данной точке Wp, т.е.

И можно сказать, что потенциал некоторой точки численно равен потенциальной энергии положительного единичного заряда, помещенного в данную точку ( Wр q ). Из уравнения (1.5) следует, что работа элек-

трического поля по перемещению заряда q из одной точки в другую

13

Знание потенциала в данной точке поля позволяет рассчитать потенциальную энергию заряда q, помещенного в эту точку поля. Поэтому потенциал называют энергетической характеристикой электрического поля.

Итак, электрическое поле, являясь полем потенциальным, имеет две характеристики – векторную или сило-

вую Е и скалярную или энергетическую . Фактически

дальнейшее изложение электростатики сводится к нахождению этих характеристик для полей, создаваемых различными конфигурациями неподвижных зарядов.

Понятия «потенциальная сила», «потенциальное поле» и «потенциальная энергия» обсуждались ранее, в разделе «Механика». Работа любых потенциальных сил при перемещении взаимодействующих тел из положения 1 в положение 2 не зависит от способа перемещения тел относительно друг друга и всегда определяется выражением (1.8). Например, работа силы тяжести Атяж mgh1 mgh2 ,

Wп mgh – потенциальная энергия тела, центр масс кото-

рого поднят на высоту h относительно условно выбранного нулевого уровня; для работы силы упругости пружины

Аупр kx12 2 kx22 2 , Wп kx2 2 – потенциальная энергия

упругой деформации пружины.

Понятия работы и энергии тесно связаны. Энергия определяется как способность тела или системы совершать работу. Если совершить работу над системой, то энергия системы повышается на величину работы. Наоборот, если система сама совершает работу, то ее энергия уменьшается на величину работы. Этому общефизическому принципу вполне соответствует уравнение (1.8): работа поля (т.е работа самой системы каких-то зарядов или системы какихлибо масс) равна убыли потенциальной энергии системы.

14

1.3.Связь напряженности электрического поля

ипотенциала

Предположим, что нам известен потенциал электрического поля во всех точках пространства. Как найти напряженность поля в некоторой точке?

Выберем в пространстве, где существует электрическое поле, декартову прямоугольную систему координат. Перенесем некоторый пробный заряд q вдоль оси x на малое расстояние dx. Тогда работа электрического поля по перемещению заряда q из одной точки в другую

dА q x x dx qd ,

где х и ( х dх) – начальная и конечная координаты заряда,

аd x dx x – изменение потенциала заряда.

Сдругой стороны, по определению элементарная работа силы F (на небольшом участке траектории) есть ска-

и приращения радиус-лярное произведение векторов

вектора dr :

dA F,dr Fxdx Fydy Fz dz ,

где Fx , Fy , Fz проекции вектора силы на соответствующие

оси прямоугольной системы координат.

Поскольку заряд перемещается вдоль оси х, то его координаты y и z не меняются: dy 0, dz 0. Следовательно, получаем:

dA Fxdx qExdx .

15

Приравнивая правые части полученных для величины dA выражений: qd qExdx , для проекции вектора напряженности на ось x получим:

т.е. проекция вектора напряженности электрического поля на ось x равна производной потенциала по направлению

оси x, или, другими словами, равна градиенту потенциала в этом направлении.

Аналогично, смещая заряд вдоль оси y или вдоль оси z , можно найти величины проекций Ey и Ez :

Итак, все три компоненты вектора напряженности электрического поля известны:

т.е. две характеристики электрического поля – напряженность и потенциал – связаны друг с другом. Зная потенциалв каждой точке пространства, где существует электриче-

ское поле, можно определить вектор напряженности Е в каждой точке этого пространства, и наоборот.

16

Теперь определим потенциал поля точечного заряда, для которого формула (1.10) имеет следующий вид:

Er ddr ,

где Er проекция вектора напряженности электрического

поля на направление радиус-вектора, проведенного от точечного заряда в точку, где определяются характеристики поля. Подставляя в нее значение Er из (1.11, а), получим

дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

далее интегрируем:

где С – константа интегрирования. На бесконечно большом расстоянии ( r ) получим C . Имея в виду нулевое

значение потенциала бесконечно удаленных точек, полагаем С 0 . Таким образом, потенциал поля точечного заряда

Как потенциал, так и напряженность электростатического поля подчиняются принципу суперпозиции, который является важнейшим свойством электрического поля. Согласно этому принципу, напряженность поля (потенциал), создаваемая в какой-либо точке пространства системой за-

18

рядов, равна векторной (скалярной, с учетом знаков) сумме напряженностей (потенциалов), создаваемых в этой точке каждым из зарядов

i 1

Принцип суперпозиции для напряженностей полей точечных зарядов следует из того опытного факта, что сила

электрического поля F , действующая на «пробный» заряд q , равна векторной сумме сил F1 F2 , с которыми каждый из зарядов q1 и q2 действует в отсутствии другого на заряд q (рис. 1.4). Отсюда и следует правило векторного

сложения напряженностей электрических полей. Действительно, исходя из определения (1.3) напряженности электрического поля следует:

где E1 и E2 – напряженности полей

одного из зарядов в отсутствии другого. Аналогичные рассуждения, конечно, можно сделать не только для двух, но и для любого количества зарядов.

Пример 1.1. Определить потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2 .

Решение. Рассмотрим движение заряда q2 в поле заряда q1 . Пусть заряд q2 , первоначально находившийся

19

Работа кулоновских сил, как сил потенциальных, не зависит от способа перемещения зарядов q1 и q2 отно-

сительно друг друга и определяется выражением (1.8). Сравнение полученного результата и формулы (1.8) показывает, что потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов определяется выражением

в предположении, что при бесконечно большом расстоянии между зарядами r Wp 0 . Потенциальная энергия

взаимодействия зарядов положительна, если заряды отталкиваются, и отрицательна, если заряды притягиваются.

1.5. Графическое изображение электрических полей. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности.

Для большей наглядности электрическое поле часто изображается при помощи силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.

Силовые линии – это непрерывные линии, касательные к которым в каждой точке, через которую они проходят, совпадают с вектором напряженности электрического

20