Физика. Ч. II Основы электромагнетизма учебное пособие

ле, так же как и электрическое, изображается при помощи силовых линий. Силовые линии магнитного поля – это линии, в каждой точке которых касательная совпадает

с направлением вектора В. Силовые линии магнитного поля замкнуты и охватывают токи или линии движения зарядов, в отличие от линий электрического поля, имеющих начало на положительных зарядах и окончание на отрицательных. Магнитное поле не потенциально. Оно не имеет характеристики, подобной потенциалу электрического поля. Магнитное поле называют соленоидальным.

Изучение магнитных явлений мы начнем с рассмотрения сил, действующих со стороны магнитного поля на движущиеся заряды и токи. Далее будут обсуждаться источники магнитного поля и методы расчета вектора магнитной индукции.

Итак, сила, действующая со стороны магнитного поля на движущуюся заряженную частицу, называется силой Лоренца. Эта сила определяется следующим выражением:

где q заряд частицы, B векторное произведение

векторов скорости частицы и магнитной индукции. По правилу раскрытия векторного произведения сила Лоренца

перпендикулярна плоскости векторов и В, а ее величина, или модуль:

где угол между векторами скорости и магнитной индукции. Точно определить направление силы Лоренца можно, например, пользуясь правилом левой руки (так можно определить направление векторного произведения любых двух векторов): четыре пальца левой руки нужно расположить вдоль вектора скорости (первого вектора в век-

111

торном произведении) так, чтобы вектор магнитной индукции (второй вектор) входил в ладонь, тогда оттянутый на 900 большой палец укажет направление силы Лоренца (векторного произведения), если заряд положительный. Если же заряд отрицательный то сила Лоренца будет направлена в противоположную сторону, т.е. против векторного

произведения В , что прямо следует из формулы (3.1).

Вспомним, например, что работа гравитационных и кулоновских сил не зависит от формы траектории тел или пути перехода системы тел из одного состояния в другое. Этот факт дает возможность рассматривать важнейшую физическую величину, называемую потенциальной энергией. Сами же силы называют потенциальными.

К классу диссипативных сил относят силы, полная работа которых всегда отрицательна. Это силы трения, сопротивления. Результатом действия этих сил является переход механической энергии во внутреннюю, другими словами, выделение тепла. Причем количество выделившегося тепла по величине равно работе диссипативных сил.

112

Поскольку сила Лоренца перпендикулярна скорости заряженной частицы, ее работа всегда равна нулю, независимо от того, как эта частица движется в магнитном поле. Действительно, элементарная работа, совершаемая на небольшом участке траектории dL , определяется выражением

и скорость частицы. Поскольку скорость перпендикулярна силе, то 900 , а значит, элементарная работа равна нулю. Будет равна нулю и полная работа, совершаемая силой Лоренца на всей траектории движения частицы, т.к. полная работа есть сумма элементарных работ.

Обсуждаемое свойство силы Лоренца является уникальным. Подобных сил в природе больше не существует. Силы, работа которых всегда равна нулю, называют гироскопическими. В неинерциальных системах отсчета существуют и другие гироскопические силы, например центробежная сила и сила Кориолиса. Эти силы фиктивны в том смысле, что невозможно указать тело, со стороны которого они действуют. К этим силам неприменим третий закон Ньютона.

3.2.Движение заряженных частиц

вэлектрических и магнитных полях

Электромагнитная сила, действующая на заряженную частицу, складывается из сил, действующих со стороны электрического и магнитного полей:

Силу, определяемую формулой (3.2), называют обобщенной силой Лоренца. Учитывая действие двух полей, электрического и магнитного, говорят, что на заряженную частицу действует электромагнитное поле.

113

Рассмотрим движение заряженной частицы в одном только электрическом поле. При этом здесь и далее предполагается, что частица нерелятивистская, т.е. ее скорость существенно меньше скорости света. На частицу действует только электрическая составляющая обобщенной силы Ло-

ренца F qE . Согласно второму закону Ньютона частица движется с ускорением

а mF qEm , (3.3)

которое направленно вдоль вектора E , если заряд положи-

тельный, и против вектора E – если отрицательный. Разберем важный случай движения заряженной час-

тицы в однородном электрическом поле. В этом случае частица движется равноускоренно ( а const ). Траектория движения частицы зависит от направления ее начальной скорости. Если начальная скорость равна нулю или направ-

лена вдоль вектора Е , движение частицы прямолинейное и равноускоренное. Если же начальная скорость частицы

направлена под углом к вектору Е , то траекторией движения частицы будет парабола. Траектории движения заряженной частицы в однородном электрическом поле такие же, как и траектории свободно (без сопротивления воздуха) падающих тел в гравитационном поле Земли, которое вблизи поверхности Земли можно считать однородным.

Пример 3.1. Определить конечную скорость частицы массой m и зарядом q, пролетевшей в однородном электри-

ческом поле Е расстояние d. Начальная скорость частицы равна нулю.

Решение. Поле однородно, а начальная скорость частицы равна нулю, следовательно, движение частицы будет прямолинейным равноускоренным. Запишем урав-

114

нения прямолинейного равноускоренного движения с нулевой начальной скоростью:

Подставим величину ускорения из уравнения (3.3) и получим:

2qEd . m

В однородном поле Ed U (см. (1.21)). Величину U называют ускоряющей разностью потенциалов. Таким образом, скорость, которую набирает частица, проходя ускоряющую разность потенциалов U :

При движении в неоднородных электрических полях ускорение заряженных частиц переменное и траектории будут более сложными. Однако задачу о нахождении скорости частицы, прошедшей ускоряющую разность потенциалов U , можно решить исходя из закона сохранения энергии. Энергия движения заряженной частицы (кинетическая энергия) изменяется за счет работы электрического поля:

m 2 m 02

2 2

Здесь использована формула (1.5) для работы электрического поля по перемещению заряда Aэл qU . Если начальная

скорость частицы равна нулю ( 0 0 ) или мала по сравнению с конечной скоростью, получим: mv2 2 qU , откуда

следует формула (3.4). Таким образом, эта формула остается справедливой и в случае движения заряженной частицы в неоднородном поле. В этом примере показаны два способа

115

решения физических задач. Первый способ основан на непосредственном применении законов Ньютона. Если же действующие на тело силы переменны, бывает более целесообразным использование второго способа, основанного на законе сохранения энергии.

Теперь рассмотрим движение заряженных частиц в магнитных полях. Изменение кинетической энергии частицы в магнитном поле могло бы произойти только за счет работы силы Лоренца: Ек АЛ . Но работа силы Лоренца

всегда равна нулю, значит, кинетическая энергия частицы, а вместе с тем и модуль ее скорости не изменяются. Заряженные частицы движутся в магнитных полях с постоянными по модулю скоростями. Если электрическое поле может быть ускоряющим по отношению к заряженной частице, то магнитное поля может быть только отклоняющим, т. е. изменять лишь направление ее движения.

Рассмотрим варианты траекторий движения заряда

воднородном поле.

1.Вектор магнитной индукции параллелен или антипараллелен начальной скорости заряженной частицы. Тогда

из формулы (3.1) следует FЛ 0 . Следовательно, частица

будет двигаться прямолинейно и равномерно вдоль линий магнитного поля.

2. Вектор магнитной индукции перпендикулярен начальной скорости частицы (на рис. 3.2 вектор магнитной индукции направлен за плоскость чертежа). Второй закон

Ньютона для частицы имеет вид:

116

плоскости. Кроме того, из второго закона Ньютона следует, что и ускорение частицы будет постоянно по величине и перпендикулярно скорости. Это возможно только тогда, когда траектория частицы – окружность, а ускорение частицы центростремительное. Подставляя во второй закон Ньютона величину центростремительного ускорения

Отметим, что период вращения частицы не зависит от ее скорости:

3. В общем случае вектор магнитной индукции может быть направлен под некоторым углом к начальной скорости частицы (рис. 3.3). Отметим еще раз, что скорость час-

две составляющие: параллельную вектору магнитной индукции v// v0 cos и перпендикулярную вектору магнитной индукции v v0 sin .

Ясно, что если бы частица влетела в магнитное поле, имея только составляющую v// , то она в точности как в слу-

чае 1, двигалась бы равномерно по направлению вектора индукции.

117

Если бы частица влетела в магнитное поле, имея одну только составляющую скорости v , то она оказалась

бы в тех же условиях, что и в случае 2. И следовательно, двигалась бы по окружности, радиус которой определяется опять-таки из второго закона Ньютона:

Таким образом, результирующее движение частицы представляет собой одновременно равномерное движение вдоль вектора магнитной индукции со скоростью v// и рав-

номерное вращение в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции со скоростью v . Траектория тако-

го движения представляет собой винтовую линию, или спираль (см. рис. 3.3). Шаг спирали h – расстояние, пролетаемое частицей вдоль вектора индукции за время одного оборота:

h v//T v// 2 m 2 mv0 cos . qB qB

Откуда известны массы мельчайших заряженных частиц (электрона, протона, иона)? Каким образом удается их «взвесить» (ведь на весы их не положишь!)? Уравнение (3.5) показывает, что для определения массы заряженной частицы нужно знать радиус ее трека при движении в магнитном поле. Радиусы треков мельчайших заряженных частиц определяют с помощью камеры Вильсона, помещенной в магнитное поле, или с помощью более совершенной пузырьковой камеры. Принцип их работы прост. В камере Вильсона частица движется в пересыщенном водяном паре и является ядром конденсации пара. Микрокапельки, конденсирующиеся при пролете заряженной частицы, отмечают ее траекто-

118

рию. В пузырьковой камере (изобретенной лишь полвека назад американским физиком Д. Глейзером) частица движется в перегретой жидкости, т.е. нагретой выше точки ее кипения. Это состояние неустойчиво, и при пролете частицы происходит вскипание, вдоль ее следа образуется цепочка пузырьков. Подобную картину можно наблюдать, бросив в стакан с пивом крупинку поваренной соли: падая, она оставляет след из пузырьков газа. Пузырьковые камеры являются важнейшим инструментом для регистрации мельчайших заряженных частиц, являясь, по сути, основными информативными приборами экспериментальной ядерной физики.

3.3. Сила Ампера

Если магнитное поле действует на одну движущуюся заряженную частицу, то, естественно, оно будет действовать и на поток заряженных частиц, т. е. на электрический ток. Сила, действующая со стороны магнитного поля на проводник с током, называется силой Ампера.

Рассчитаем величину силы Ампера, действующую на элемент тока длины l . Эту длину следует выбрать настолько малой, чтобы считать, что поле в области элемента тока однородно. На каждый электрон в проводнике будет действовать сила Лоренца:

FЛ evBsin ,

где v средняя скорость упорядоченного движения электронов; угол между скоростью и вектором магнитной индукции. Тогда сумма всех сил Лоренца, действующих на электроны элемента тока, или сила Ампера:

FA N FЛ Ne Bsin .

119

Число свободных электронов в элементе тока

N n V nS l ,

где n концентрация свободных электронов в проводнике, 1/м3; V объем элемента тока; S площадь поперечного сечения проводника. Тогда

FA nS levBsin nevS B l sin .

Величина в скобках представляет собой произведение плотности тока j nev на площадь поперечного сечения

провода, т. е. равна силе тока (см. уравнение (2.23)). Следовательно, для силы Ампера, действующей на элемент тока, получим:

Угол можно рассматривать как угол между проводником и вектором магнитной индукции.

Ясно, что направление силы Ампера, так же как и направление силы Лоренца, определяется правилом левой руки: четыре пальца левой руки нужно расположить вдоль тока так, чтобы вектор магнитной индукции входил в ладонь, тогда оттянутый на 90° боль-

120