Физика. Ч. II Основы электромагнетизма учебное пособие

Уравнение (3.6) можно использовать для определения единицы измерения магнитного поля в СИ. Расположим проводник перпендикулярно вектору магнитной индукции. Тогда 1 Тесла – это индукция такого магнитного поля, в котором на проводник с током 1 А длиной 1 м действует сила 1 Н.

Для того чтобы найти результирующую силу, действующую на криволинейный участок проводника с током в магнитном поле, нужно разбить его на малые отрезки, которые можно считать прямолинейными, а поле в области каждого из отрезков – однородным, затем определить силы Ампера, действующие на каждый такой отрезок, и вычислить векторную сумму полученных сил, т.е. в пределе нуж-

но взять интеграл вдоль всей длины провода L :

FA I dl B .

L

Приведем пример, в котором обсудим важное свойство силы Ампера, действующей на проводник с током произвольной формы в однородном магнитном поле.

Пример 3.2. Определить результирующую силу Ампера, действующую на проводник ADC с током I , находя-

121

Результирующая сила Ампера, действующая на проводник

ADC:

Таким образом, результирующая сила равна силе Ампера, которая бы действовала на прямолинейный проводник AC с тем же током I , начало которого находится в начале первого отрезка с проводом, а конец – в конце второго отрезка с проводом. Фактически, при вычислении силы Ампера ломаный проводник ADC можно заменить прямолинейным проводником АС.

Совершенно ясно, что если ломаный проводник будет содержать большее число звеньев, то результат не изменится. При вычислении силы Ампера его заменяют прямолинейным проводником, начало которого находится в начале первого звена, а конец – в конце последнего.

Наконец, если проводник, представляет собой произвольный криволинейный участок провода, то его можно разделить на маленькие (элементарные) кусочки и представить в виде ломаной линии. Отсюда следует важный вывод:

сила Ампера, действующая на криволинейный участок проводника с током в однородном магнитном поле, не зависит от формы проводника, а зависит только от расстояния между началом и концом этого участка (т. е. фактически от координат начала и конца участка).

Результаты примера 3.2 позволяют сделать еще один вывод: сила Ампера, действующая на замкнутый проводник с током в однородном магнитном поле, равна нулю.

Замкнутый проводник с током мы будем сокращенно называть рамкой с током или витком с током.

122

3.4. Рамка с током в магнитном поле

На каждый элемент рамки с током, помещенной

вмагнитное поле, будет действовать сила Ампера. Суммируя все действия, можно определить результирующую силу Ампера и результирующий момент сил Ампера. Если магнитное поле однородно, то согласно выводу, сделанному

впредыдущем подразделе, результирующая сила равна нулю и на рамку будет действовать один только вращательный момент.

Рассмотрим рамку с током I прямоугольной формы со сторонами AC a и CD b , помещенную в однородное

(рис. 3.6). Нормальмагнитное поле с индукцией

к плоскости рамки составляет с вектором магнитной индукции угол . На рис. 3.6 по-

(они будут растягивать рамку).

Моменты сил Ампера, действующих на стороны CD

и AE :

MCD FA a2 sin IBb a2 sin , M AE FA a2 sin IBb a2 sin .

Суммарный вращательный момент, действующий на рамку:

M MCD M AE IBbasin .

123

Введем характеристику рамки с током, называемую магнитным моментом рамки pm , направленным вдоль нормали n :

Направление нормали к плоскости рамки определяется направлением движения буравчика при вращении его по току.

Момент сил, действующих на рамку с током, можно представить в виде:

Рамка будет находиться в равновесии, когда момент сил равен нулю. Это возможно, если 0 или 180° .

В первом случае момент рамки pm параллелен вектору B .

Это устойчивое положение равновесия рамки (при небольших отклонениях рамка будет стремиться вернуться в по-

ложение равновесия). Во втором случае векторы pm и B

антипараллельны. Это неустойчивое положение равновесия (малейшее отклонение от этого положения приведет к развороту рамки на 180°).

Отметим, что полученные выражения (3.8, а) и (3.8, б) справедливы и для катушки с током (соленоида) во внешнем магнитном поле. В этом случае pm NIS магнитный мо-

мент катушки, где N число витков катушки.

Поведение рамки с током в магнитном поле аналогично поведению магнитной стрелки компаса. Магнитное поле ориентирует северный полюс стрелки вдоль направ-

124

ления вектора магнитной индукции B . Это устойчивое положение равновесия стрелки. В случае рамки с током по

направлению B ориентируется магнитный момент pm (или

нормаль к плоскости рамки n ).

Если проводить параллели с электричеством, то свойства рамки с током во многом аналогичны свойствам электрического диполя (см. подраздел 1.8 и рис. 1.18 и 1.19). Напомним, что диполь – это система из двух точечных зарядов q и q , находящихся на расстоянии l друг

от друга. Дипольным моментом называется векторная величина p ql . Вектор l , а вместе с ним и p , направлены

от отрицательного заряда к положительному. Можно легко доказать, что на электрический диполь, находящийся в од-

нородном электрическом поле с напряженностью E , действует вращательный момент:

MqEl sin pE sin .

Вустойчивом положении равновесия дипольный момент p

параллелен вектору E , а в неустойчивом положении равновесия векторы p и E антипараллельны.

Аналогия между дипольным и магнитным моментом играет важную роль при описании диэлектрических и магнитных свойств вещества. При помещении диэлектрика в электрическое поле (см. подраздел 1.8) дипольные моменты молекул ориентируются в направлении поля. Этот процесс называется поляризацией диэлектрика и объясняет уменьшение напряженности электрического поля в диэлектрике по сравнению с полем в вакууме. Похожим образом происходит процесс намагничивания парамагнетиков, приводящий к усилению магнитного поля в веществе. Нужно немного воображения для того, чтобы молекулы или атомы представить маленькими рамками с токами. Токи создают-

125

ся движением электронов вокруг ядер. Таким образом, молекулы и атомы могут обладать собственными магнитными моментами, которые ориентируются по внешнему магнитному полю. Этот процесс и есть намагничивание. Мы еще будем рассматривать его в подразделах 3.16 – 3.18.

В неоднородном магнитном поле на виток с током помимо момента будет действовать еще и результирующая сила. Приведем выражение для этой силы без вывода:

Предполагается, что ось x направлена вдоль вектора pm .

3.5. Эффект Холла

Поместим проводник с током в магнитное поле B , перпендикулярное направлению тока. На движущиеся упорядоченно со средней скоростью v свободные электроны внутри проводника действуют силы Лоренца. Эти силы Лоренца, как нам уже известно, в совокупности дают силу Ампера. Внутри проводника, однако, возникает еще одно любопытное явление.

Поскольку на электроны действует сила Лоренца (рис. 3.7, а), они начинают смещаться к верхней границе проводника. В результате на верхней границе проводника

Рис. 3.7. Схема к эффекту Холла

126

накапливается отрицательный электрический заряд. Соответственно на нижней границе будет накапливаться положительный электрический заряд, поскольку проводник в целом электронейтрален. Процесс накопления зарядов быстро прекратится, так что очень малая часть всех свободных электронов успеет скопиться на границе. Действительно, накопление зарядов на границе проводника приводит к появлению внутри проводника поперечного электри-

ческого поля E (рис. 3.7, б). Со стороны этого поля на

электроны будет действовать сила Fэл , противоположная

по направлению силе Лоренца. Когда две силы станут равными по величине, движение электронов к границе проводника прекратится. Электроны будут двигаться вдоль проводника.

Итак, при помещении проводника с током в магнитное поле внутри проводника возникает электрическое поле, направленное перпендикулярно направлению тока и магнитному полю. Это явление и называется эффектом Холла. Отметим, что явление накопления электрических зарядов на границе проводника с током в магнитном поле, в сущности, объясняет происхождение, механизм действия силы Ампера на проводник с током. В подразделе 3.3 сила Ампера рассматривалась как сумма всех сил Лоренца, действующих на отдельные свободные электроны проводника. Но как эта сила передается самому проводнику, его кристаллической решетке? Ведь электроны свободные и не взаимодействуют с кристаллической решеткой, а значит, не могут оказать на нее никакого воздействия! По сути, «передатчиком» силы Ампера служит ничтожная доля электронов, скапливающихся на границе проводника.

Вычислим разность потенциалов, возникающую между боковыми границами проводника UХ , холловскую раз-

127

ность потенциалов. Процесс накопления зарядов прекращается, когда электрическая сила уравновесит силу Лоренца:

тронов (дрейфовую скорость) можно выразить через силу

Анализируя эту формулу, можно понять основные возможности применения эффекта Холла.

Эффект Холла можно использовать для измерения индукции магнитного поля. В этом случае изготавливают проводник небольшого размера, который называется датчиком Холла. Измеряют зависимость между UХ и произве-

дением IB для какого-то известного (эталонного) магнитного поля, определяя тем самым коэффициент пропорциональности d enS между этими величинами для дан-

ного датчика. Затем, помещая датчик Холла в различные точки исследуемого поля, измеряют ток, холловскую разность потенциалов UХ , и по этим данным вычисляют ин-

дукцию магнитного поля B .

Важнейшую роль эффект Холла играет при исследовании физических свойств проводящих материалов. Измеряя величины UХ , B и I , можно вычислить такую важную

характеристику, как концентрация свободных зарядов n .

128

Оказалось, что у металлических проводников примерно на один атом приходится один электрон проводимости. У полупроводников концентрация свободных зарядов значительно меньше – примерно на миллион атомов приходится один свободный электрон. Кроме того, оказалось, что заряд свободных носителей некоторых полупроводников положительный. Такое впечатление, что в таких полупроводниках ток обусловлен движением «положительно заряженных электронов». Эффект Холла в таких полупроводниках называется аномальным. На самом деле, оказалось, что аномальный эффект Холла соответствует случаю дырочной проводимости.

Каким образом удается определить знак свободных носителей? Если бы все носители тока были бы положительно заряженными (см. рис. 3.7, в), то при том же направлении силы тока I на верхней грани проводника скапливался бы не отрицательный, а положительный заряд, и величина UХ оказалась противоположного знака. Это и есть

аномальный эффект Холла. Отметим, что многие другие проявления электрического тока (тепловое, магнитное) не позволяют определить знак заряда свободных носителей, поскольку не зависят от него, а определяются только величиной тока.

3.6.Вычисление магнитной индукции. Закон Био – Савара – Лапласа

Итак, мы научились рассчитывать силы, действующие на заряженные частицы и токи, находящиеся в магнитном поле. Сами магнитные поля тоже создаются какими-то движущимися зарядами. В этом параграфе мы начинаем обсуждение методов вычисления индукции магнитного поля.

Начнем с магнитного поля, создаваемого в пространстве единственным движущимся со скоростью v заря-

129

дом q . Этот закон является обобщением опытных фактов и

нитной постоянной.

Движущийся заряд создает магнитное поле во всем окружающем пространстве. Направление и модуль векто-

ра B зависят от точки наблюдения. Если заряд положи-

где угол между направлением движения заряда и вектором r .

Для магнитного поля, как и для поля электрического, справедлив принцип суперпозиции. Зная магнитное поле, создаваемое одним движущимся точечным зарядом, можно определить магнитное поле, создаваемое произвольным количеством движущихся зарядов, или поле, создаваемое элементом тока. Для этого поля, создаваемые каждым заря-

дом в отдельности, нужно сложить векторно:

B B1 B2 B3 ... .

130