Физика. Ч. II Основы электромагнетизма учебное пособие

трического поля. Нельзя утверждать, что в пространстве имеется магнитное или электрическое поле, не указывая, относительно какой системы отсчета ведется наблюдение. Если для первого наблюдателя вихревое электрическое поле существует, то для второго наблюдателя его нет.

Относительность электрического и магнитного поля следует также из того факта, что в любой инерциальной системе отсчета ускорение заряда и электромагнитная сила (обобщенная сила Лоренца – см. формулу (3.2)) одни и те же.

3.16. Магнитное поле в веществе

До сих пор мы рассматривали магнитные поля, создаваемые движущимися зарядами или токами в вакууме или в воздухе, что почти то же самое. Магнитное поле может существенно измениться, если в него поместить какоето вещество.

Рассмотрим опыт на рис. 3.26. Первая катушка через ключ К подключена к источнику постоянного тока. В цепь второй катушки, витки которой намотаны на витки первой, включен гальванометр, по скачку стрелки которого можно судить о полном заряде, прошедшем по цепи второй катушки. Пусть первоначально сердечник в катушках отсутствует. При замкнутом ключе К через первую катуш-

ку течет некоторый постоянный ток, создающий в катушке магнитное поле. Витки второй катушки намотаны на витки первой, поэтому магнитное поле будет пронизывать также витки второй катушки. При размыкании ключа К магнитное поле в первой, а значит, и второй катушках начинает

181

убывать, т.к. убывает ток, текущий через первую катушку. В результате в цепи второй катушки возбуждается ЭДС индукции и потечет кратковременный ток. По скачку стрелки гальванометра G можно судить о полном заряде, протекшем через вторую катушку после размыкания ключа. Полный заряд, протекший по цепи второй катушки, можно найти по формуле (вывод см. в примере 3.9)

кам первой катушки до размыкания ключа. В результате получим q NB0 S R . Измеряя заряд при помощи гальванометра, можно определить начальное магнитное поле внутри катушек: B0 qR NS .

Теперь вставим внутрь катушек железный сердечник и установим тот же начальный ток, текущий по виткам первой катушки. При размыкании ключа отброс стрелки гальванометра, т.е. полный заряд, протекающий через вторую катушку, значительно увеличится. Пусть показание гальванометра увеличивается в раз. Анализ последней

формулы показывает, что магнитное поле внутри катушек в присутствии сердечника в раз больше, чем поле в от-

сутствие сердечника: B B0 . Увеличение магнитного

поля можно объяснить только наличием внутри катушек сердечника, поскольку в обоих случаях в начале опыта ток устанавливался одинаковый. Величину называют маг-

нитной проницаемостью среды. Она показывает, во сколь-

ко раз магнитное поле в среде изменяется по сравнению

182

с магнитным полем в вакууме. Магнитная проницаемость железа гораздо больше единицы и достигает значений5000 . Вещества, подобные железу, называются фер-

ромагнетиками. К ферромагнетикам относятся никель, кобальт, гадолиний и еще некоторые редкоземельные элементы. Кроме того, сильными ферромагнетиками являются различные сорта стали и некоторые сплавы металлов, магнитная проницаемость которых может достигать по-

рядка 106 ! Вещества, магнитная проницаемость кото-

рых немного превышает единицу, называются парамагнетиками. Например, парамагнитными свойствами обладает воздух ( 1,000038 ), алюминий ( 1,000023), платина

( 1,000253) . И наконец, вещества, магнитная проницае-

мость которых немного меньше единицы, называются диамагнетиками. Магнитное поле в диамагнетиках уменьшается по сравнению с полем в вакууме. Примерами диамагнетиков являются вода ( 0,999991 ), золото

( 0,999963 ), висмут ( 0,999824 ) и др.

Причины изменения магнитного поля в среде похожи на причины изменения электрического поля в среде (подразделы 1.7, 1.8). Любое вещество состоит из молекул или атомов, которые, в свою очередь, состоят из заряженных частиц. Движение электронов вокруг ядер можно рассматривать как элементарный электрический ток, и атом представлять себе в виде микроскопического витка с током. Виток с током имеет магнитный момент и создает магнитное поле. Суммарное магнитное поле всех атомов и представляет собой магнитное поле, возбуждаемое веществом. Движение электронов внутри атомов и молекул будем называть молекулярными токами в отличие от обычных токов проводимости, текущих по проводам.

183

Пример 3.14. В модели атома водорода Нильса Бора электрон вращается по круговой траектории вокруг положительно заряженного ядра (фактически протона). Пусть известны скорость электрона v и радиус орбиты R . Найти магнитный момент такого атома.

Решение. Атом представляет собой виток с током I , создаваемым движением одного электрона. Магнитный

витка. По определению сила тока есть заряд, протекающий через сечение проводника за единицу времени I q / t .

В нашем случае через данную точку траектории один раз за период обращения T 2 R / v пролетает один единственный электрон. Поэтому сила тока

I e /T ev / 2 R ,

где e заряд электрона. Тогда магнитный момент атома

pm ev R2 evR . 2 R 2

Отметим, что если боровский атом водорода поместить в магнитное поле с индукцией B , то на атом со стороны поля будет действовать вращательный момент

M pm Bsin ,

где угол между векторами pm и B (напомним, что вектор pm направлен перпендикулярно плоскости витка).

Таким образом, внешнее магнитное поле будет ориентировать атом в магнитном поле подобно тому, как оно ориентирует магнитную стрелку. В устойчивом положении рав-

новесия векторы pm и B параллельны, вращательный мо-

мент при этом будет равен нулю.

Микроскопические магнитные моменты отдельных атомов в отсутствие внешнего магнитного поля могут быть

184

ориентированы хаотически или отсутствовать совсем. В этом случае их суммарное магнитное поле будет равно нулю. Внешнее магнитное поле ориентирует магнитные моменты атомов параллельно вектору магнитной индукции. Действительно, на виток с током в магнитном поле действует вращательный момент, стремящийся повернуть виток в положение равновесия, при котором внешнее поле перпендикулярно плоскости витка или, другими словами, параллельно магнитному моменту витка (см. подраздел 3.4 и пример 3.14). Таким образом, во внешнем магнитном поле магнитные моменты атомов преимущественно направлены вдоль поля и их суммарное магнитное поле отлично от нуля. Суммарное магнитное поле представляет собой

сумму внешнего поля B0 и поля молекулярных токов ато-

мов вещества Bm :

B B0 Bm .

В ферромагнетиках и парамагнетиках векторы B0

иBm параллельны и внешнее поле усиливается полем молекулярных токов атомов; а в диамагнетиках вектора B0

иBm антипараллельны и внешнее поле ослабляется полем

молекулярных токов атомов.

Вещество, в котором магнитные моменты атомов упорядочены по направлению, называется намагниченным.

Намагниченностью вещества J называется величи-

на, равная отношению суммарного магнитного момента

в объеме V.

185

Важно отметить, что парамагнетики и диамагнетики могут быть намагниченными только будучи помещены во внешнее магнитное поле, тогда как ферромагнетики способны сохранять состояние намагниченности и в отсутствие внешнего поля.

На рис. 3.27 схематически показан намагниченный сердечник катушки с током. Внешнее магнитное поле B0 созда-

ется током, текущим по намотке сердечника (на рис. 3.27 намотка не показана). Под действием внешнего поля отдельные атомы (или витки) ориентируются так, что их магнитные моменты pm параллель-

ны внешнему полю. Молекулярные токи соседних атомов в местах их соприкосновения текут в разных на-

правлениях и взаимно компенсируют друг друга. Молекулярные токи, выходящие на наружную боковую поверхность сердечника, остаются некомпенсированными. Они складываются и дают некоторый суммарный ток Im . Таким обра-

зом, намагниченный сердечник можно представить как цилиндр, по боковой поверхности которого течет некоторый ток Im . Отметим, что в отличие от тока свободных электро-

нов текущих по обмотке, суммарный молекулярный ток Im

представляет собой ток связанных электронов, каждый из которых принадлежит определенному атому. Будем называть ток Im током намагничивания.

186

Ток намагничивания Im создает магнитное поле Bm , параллельное внешнему полю B0 , поэтому суммарное поле в сердечнике B B0 Bm . С другой стороны, наличие сердечника усиливает внешнее поле в раз: B B0 . Приравнивая левые части последних двух уравнений, получим:

B0 B0 Bm Bm B0 ( 1) .

В ферромагнетиках магнитное поле молекулярных токов во много раз превышает внешнее магнитное поле токов проводимости. В случае парамагнетиков, например для алюминия, получим:

Bm B0 (1,000023 1) 0,000023 B0 .

В этом случае магнитное поле молекулярных токов составляет очень малую часть от внешнего поля. Главной причиной малой величины Bm является тепловое движение ато-

мов алюминия, нарушающие порядок их расположения. Конечно, далеко не все атомы сориентированы так, как показано на рис. 3.27. Тепловое движение является также причиной полного разупорядочивания атомов парамагнетиков при выключении внешнего магнитного поля.

3.17.Теорема о циркуляции магнитного поля

ввеществе. Напряженность магнитного поля

В целях ясности изложения материала будем рассматривать только изотропные среды, свойства которых не зависят от направления. В этих средах магнитная проницаемость не зависит от направления внешнего поля.

И кроме того, вектор намагниченности в каждой точке параллелен вектору магнитной индукции поля.

Вновь обратимся к рис. 3.27. Полный магнитный момент сердечника, обусловленный током намагничивания

187

Pm Im S , где S площадь поперечного сечения сердеч-

ника. Тогда величина вектора намагниченности (см. фор-

мулу (3.41))

деле 3.6 (см. формулу (3.17)) было введено понятие линейной плотности поверхностного тока i . Величина Im / l

представляет собой как раз ток намагничивания, приходящийся на единицу длины сердечника, или линейную плотность тока намагничивания im . Таким образом, величина

вектора намагниченности сердечника равна линейной плотности тока намагничивания: J im . Заметим, что и размерность вектора намагниченности такая же, как и размерность линейной плотности тока А/м .

Полный ток намагничивания, текущий по боковой поверхности сердечника, можно выразить через величину вектора намагниченности:

Формулу (3.42) можно обобщить и доказать следующее утверждение. Полный ток намагничивания, пронизывающий произвольную поверхность S , натянутую на замкнутый контур L , представляет собой циркуляцию вектора намагничивания по контуру L :

Теперь перейдем к теореме о циркуляции магнитного поля. Ранее она уже была сформулирована в подразделе 3.7 для поля в вакууме (см. формулу (3.20)). Напомним, что циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру L определяется суммарным то-

188

ком I , пронизывающим произвольную поверхность S , натянутую на контур L :

B, dl 0 Ii 0 I .

Li

Ввеществе кроме токов проводимости текут молекулярные токи, или токи намагничивания. Поэтому теорему

оциркуляции нужно «поправить», учитывая, что поверхность S , кроме тока проводимости I , может пронизывать

и некоторый суммарный ток намагничивания Im :

Рассчитать суммарный ток намагничивания порой бывает достаточно сложно и в общем случае это можно сделать по формуле (3.42, а). Но наличие токов намагничивания и, как следствие, изменение магнитного поля в среде можно учесть и другим образом. В среде поле в раз

больше, чем в вакууме, поэтому теорему о циркуляции можно «поправить» и так:

B, dl 0 I

L

(еще раз подчеркнем, что наличие токов намагничивания учитывается домножением правой части уравнения на ).

Отсюда следует:

Для описания магнитного поля в веществе удобно ввести вспомогательный вектор

189

который называется напряженностью магнитного поля. Та-

ким образом определить напряженность магнитного поля

Формула (3.45) и выражает собой теорему о циркуляции для магнитного поля в веществе: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному контуру L равна суммарному току проводимости, пронизывающему произвольную поверхность S, натянутую на контур L.

Эта теорема показывает, что величина вектора напряженности определяется только токами проводимости, т.е. токами свободных зарядов, текущих по проводам, и не зависит от среды. Тот факт, что при определении вектора напряженности можно не обращать внимание на наличие вещества и не выполнять сложный расчет молекулярных токов, оправдывает целесообразность введения величины

H . Определив H и зная магнитную проницаемость среды , можно легко определить вектор индукции магнит-

ного поля

B 0 H .

Пример 3.15. Определить магнитное поле, создаваемое прямым бесконечным проводом с током I в среде с магнитной проницаемостью .

Решение. Решение данного примера напоминает решение примера 3.6, в котором было определено поле бес-

190