Физика. Ч. II Основы электромагнетизма учебное пособие

ния некоторой физической величины x называются гармоническими, если она изменяется со временем по закону косинуса или синуса, т.е.

где A амплитуда колебаний (максимальное отклонение смещения x от положения равновесия); 2 T 2

циклическая частота колебаний (T период, частота колебаний); t 0 фаза, 0 начальная фаза ко-

лебаний. Первая и вторая производные величины x по времени:

x A sin t 0 , x A 2cos t 0 .

Соотношение (4.2) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Мы показали, что если какая-либо физическая величина совершает гармонические колебания, т.е. изменяется по закону (4.1), то для нее справедливо дифференциальное уравнение (4.2). В курсе дифференциальных уравнений доказывается и обратное утверждение: если для какой-либо физической величины удалось (используя законы физики) написать дифференциальное уравнение (4.2), то единственным его решением будет уравнение (4.1), т.е. величина x совершает гармонические колебания. При этом амплитуда A и начальная фаза 0 определяются начальными усло-

виями, т.е. значениями величины x и ее первой производной x в начальный момент времени t 0 . Другими словами, определяются тем, каким образом экспериментатор запустит маятник.

221

Теперь рассмотрим задачу о колебаниях в LC-кон- туре. В контуре действует единственная электродвижущая сила – ЭДС самоиндукции S . Согласно закону Ома для

неоднородного участка цепи, начало которого – положительная обкладка конденсатора, а конец – отрицательная (рис. 4.1, б), можно записать: ( 1 2 ) S IR , где

( 1 2 ) UC разность потенциалов или напряжение ме-

жду обкладками конденсатора. Т.к. сопротивление контура R 0 , то:

UC S 0 Cq L ddIt 0 .

По определению сила тока – это заряд, протекающий через сечение проводника за единицу времени, т.е. производная заряда по времени (см. формулу (2.1)). Если q это заряд

положительной обкладки, то величина тока в контуре I dqdt q . Знак минус учитывает тот факт, что после

замыкания ключа заряд положительной обкладки убывает ( dq 0 ). Тогда производная тока по времени есть вторая

производная заряда по времени: dIdt I q . В результате получим:

Отметим, что в электротехнике величина ЭДС самоиндукции, взятая с обратным знаком, рассматривается как на-

пряжение на катушке (индуктивности): UL S LI Lq . Поэтому уравнение (4.3) можно записать в виде

Уравнение (4.4) представляет собой, по сути, обобщение второго правила Кирхгофа, сформулированного нами ранее

222

(см. подраздел 2.7) для замкнутых контуров с постоянными токами: сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна алгебраической сумме внешних ЭДС, действующих в контуре. Внешние ЭДС в LC-контуре не действуют (ЭДС самоиндукции – это напряжение на индуктивности, внутренняя ЭДС).

Разделив обе части уравнения (4.3) на величину L , получим:

Уравнение (4.5) по форме совпадает с уравнением (4.2), т.е. является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Роль физической величины x играет заряд на обкладках конденсатора q . Можно сделать два вывода:

во-первых, заряд на обкладках конденсатора изменяет по гармоническому закону

во-вторых, квадрат циклической частоты колебаний (коэффициент при q в уравнении (4.5)): 2 1 LC , откуда

Формула (4.8) для периода колебаний заряда в LC-контуре называется формулой Томсона.

По гармоническому закону будут изменяться и другие физические величины, характеризующие процесс коле-

223

баний в LC-контуре. Зависимость напряжения на обкладках конденсатора от времени:

где U0 максимальное напряжение или амплитуда напря-

жения на конденсаторе.

Зависимость от времени силы тока найдется дифференцированием заряда по времени:

I q q0 sin t 0 I0sin t 0 , (4.10)

где I0 q0 максимальный ток в контуре или амплитуда тока. Воспользовавшись известной формулой тригонометрии sin cos 2 (формулой приведения), колебания тока можно записать через функцию косинус:

I I0cos t 0 2 .

Сравнение последнего выражения с уравнением (4.6) показывает, что колебание тока отличается от колебания заряда (и напряжения) конденсатора по фазе на / 2 . Это означает, что в тот момент, когда заряд конденсатора и напряжение на нем максимальны, т.е. cos 1 (напомним,

ток максимален, заряд и напряжение на конденсаторе равны нулю. На рис. 4.2 показаны состояния LC-контура в моменты времени t 0, T / 4, T / 2, 3T / 4, T , где T период колебаний. Предполагается, что в начальный момент времени ( t 0 ) заряд конденсатора максимален.

Гармонические колебания будут совершать также величины ЭДС самоиндукции, энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки. Предлага-

224

W0 CU02 2 . В промежутке времени между t 0 и t T / 4

по цепи идет ток, но конденсатор еще полностью не разрядился. Поэтому энергия контура в конечный момент вре-

мени W1 CU12 2 LI12 2 . Таким образом,

19,4 10 3 (А) 19,4 (мА).

4.2.Колебательный контур с затуханием

Колебательный контур без сопротивления это идеальная модель. На самом деле LC-контур всегда обладает некоторым сопротивлением R, хотя бы за счет подводящих проводов. Рассмотрим LC-контур

ссопротивлением R (рис. 4.3). Такой контур называется контуром

сзатуханием или LCR-контуром. При замыкании обкладок заряженного конденсатора в контуре

начинаются колебания. Однако теперь при протекании электриче-

ского тока за счет сопротивления R контур нагревается. Энергия электрического поля, первоначально запасенная в конденсаторе, постепенно переходит во внутреннюю энергию провода, амплитуды колебаний всех электрических величин уменьшаются вплоть до полного прекращения колебаний.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний некоторой физической величины x имеет вид:

226

Оно отличается от дифференциального уравнения гармонических колебаний (4.2) слагаемым ( 2 x ), учитываю-

щим силы сопротивления, действующие на маятник. Коэф-

фициент называется коэффициентом затухания. Если величина x смещение, ее производная x скорость, тогда слагаемое (2 x) отражает тот факт, что сила сопро-

тивления пропорциональна скорости.

В случае, когда затухание не слишком велико (выполняется условие 0 ), решение дифференциального уравнения (4.10) имеет вид:

где A0e t A t амплитуда колебаний, уменьшающаяся со временем по экспоненциальному закону; A0 начальная

колебаний; 0 собственная циклическая частота колеба-

ний (частота, с которой колебался бы маятник, если бы сил сопротивления не было). Присутствие сил сопротивления уменьшает циклическую частоту колебаний и, соответственно, увеличивает период колебаний:

Вернемся к электромагнитным колебаниям в LCR- контуре. Поскольку внешние ЭДС в цепи не действуют, сумма падений напряжений на отдельных элементах контура равна нулю:

UL UR UC 0 LI IR Cq 0 .

Учитывая, что I q , получим:

227

Уравнение (4.12) по форме совпадает с дифференциальным уравнением (4.10). Отсюда можно сделать два основных вывода.

1. Процесс в LCR-контуре представляет собой затухающие колебания, зависимость заряда конденсатора от времени подобна (4.11):

уравнений (4.10) и(4.12) показывает, что собственная циклическая частота колебаний 0 1 LC , а коэффициент затухания R 2L .

Сформулируем несколько определений параметров затухающих колебаний.

Время , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e 2,72 раз, называется временем затухания

или временем релаксации.

Отметим, что уменьшение амплитуды почти в 3 раза существенно, однако не означает полного прекращения колебаний.

228

Время затухания есть величина, обратная коэффициенту затухания :

Докажем утверждение (4.14). Амплитуда колебаний в не-

Из формулы (4.14) следует, что 1/ . Таким обра-

зом, коэффициент затухания – это величина, обратная времени затухания, т.е. времени, за которое амплитуда уменьшается в e раз.

Декрементом затухания называется величина,

равная отношению амплитуд следующих друг за другом колебаний:

Декремент затухания связан с коэффициентом затухания и периодом колебаний T :

Докажем формулу (4.16). Пусть N-е колебание происходит

скольку (N + 1)-е и N-е колебания разделены временным отрезком, равным периоду колебаний T , то AN 1 q0e t T .

q e t

Тогда q0e0 t T e T .

229

Логарифмическим декрементом затухания называет-

ся величина ln . Из формулы (4.16) следует:

Пример 4.2. Определить число колебаний маятника за время затухания, если известен логарифмический декремент затухания .

Решение. Число колебаний можно найти, разделив полное время колебаний (в данном случае время затухания ) на время одного колебания, т.е. на период T : N T . Далее, используя формулу (4.14), получим ответ:

N 1 T 1 . Следствие: 1N , т.е. логарифмиче-

ский декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний за время затухания.

4.3. Вынужденные колебания в LCR-контуре

Для того чтобы поддерживать колебания в LCR- контуре, необходимо пополнять запасы энергии, непрерывно рассеиваемой в виде тепла на сопротивлении R . Это можно с помощью воздействия на контур внешней периодической электродвижущей силы (рис. 4.5).

При этом в контуре возникнут вынужденные колебания. Будем рассматривать синусоидальную ЭДС, т.е. ЭДС, зависящую от времени по закону синуса (или косинуса):

0sin t ,

где циклическая частота колебаний ЭДС.

230