Физика. Ч. II Основы электромагнетизма учебное пособие

ставляет собой собственный поток кольца Ф2 L I . Пол-

I BS / L . В дальнейшем этот ток с течением времени будет уменьшаться из-за наличия сопротивления и приближаться к нулю тем быстрее, чем больше величина R .

3.12. Явления при замыкании и размыкании тока. Энергия магнитного поля

Явления при замыкании и размыкании тока обусловлены индуктивностью цепи или самоиндукцией. Пусть, например, в цепь с аккумулятором включена катушка. Если каким-либо образом изменять ток в цепи, то собственный магнитный поток через катушку будет изменяться, и в цепи, помимо ЭДС аккумулятора, начнет действовать электродвижущая сила самоиндукции, которая по правилу Ленца будет препятствовать изменению питающего катушку тока. При этом удобно считать, что в дополнение к питающему току аккумулятора пойдет ток, вызванный ЭДС самоиндукции. Этот ток называется экстратоком или индукционным током. По правилу Ленца индукционный ток должен препятствовать причине (изменению начального тока в катушке), его вызвавшей. Следовательно, при увеличении тока в цепи индукционный ток потечет навстречу, а при уменьшении –

с нуля. Навстречу начинает течь индукционный ток (экстраток замыкания), который препятствует этому возрастанию. Поэтому ток в цепи достигает своего постоянного значения не сразу, а лишь через некоторое время, завися-

161

щее от величины индуктивности. Наоборот, при размыкании цепи ток исчезает не сразу, т.к. некоторое время течет экстраток размыкания, направленный так же, как и первичный ток. Отметим, что при резком размыкании цепи при определенных условиях величины ЭДС самоиндукции и экстратока размыкания могут быть велики и превышать величину ЭДС источника тока, текущего до размыкания цепи. Поэтому на предприятиях для того, чтобы не повредить электрооборудование, напряжение отключают не сразу, а понижают до нуля постепенно.

Теперь рассмотрим количественную оценку этого явления. Цепь, состоящая из источника постоянного тока с ЭДС , катушки с индуктивностью L и сопротивления, представлена на рис. 3.20. Полное

Учитывая формулу (3.26, а), получаем дифференциальное уравнение относительно функции I (t) :

162

Величина константы С определяется из начального условия, показывающего, что в момент замыкания (при t = 0) ток равен нулю. В итоге получим, что C ε/R и сила тока:

лы (3.27) видно, что полный ток состоит из двух слагаемых. Слагаемое R (exp( t / ) представляет собой экстраток

замыкания. По прошествии достаточно большого времени экстраток замыкания становится очень малым, т.е. при t остается лишь второе слагаемое / R , представляющее собой величину постоянного установившегося тока. Итак, ток в цепи устанавливается постепенно. Время установления определяется величиной , зависящей от индуктивности и сопротивления цепи. Величина по сути, представляет собой время, за которое экстраток замыкания уменьшается в å раз. В качестве упражнения предоставляем читателям самостоятельно построить графики зависимостей

I (t) по формулам (3.27), (3.29).

Исследуем процесс размыкания цепи, представленной на рис. 3.21. Общий ток в цепи распределяется между катушкой с сопротивлением и

тивление источника тока будем считать очень малым. При

При размыкании ключа ток в замкнутом контуре катушки и сопротивления падает до

163

нуля не сразу, поскольку в контуре начинает действовать поддерживающая ток ЭДС самоиндукции. Согласно закону Ома величина тока в контуре I s / R . Применяя форму-

лу (3.26, а), получим:

R

Отсюда следует дифференциальное уравнение

L ddIt R I 0 ,

которое решается с учетом начального условия (при t 0 сила тока I I0 / r ). В момент перед размыканием ключа через катушку идет ток r , а через сопротивление R

идет ток ε/R . Но поскольку резистор R обладает пренебрежимо малой индуктивностью, можно считать, что начальный ток в замкнутом контуре после размыкания ключа равен току через катушку. С учетом этого решение дифференциального уравнения имеет вид

собой время, за которое сила тока в контуре убывает в e раз. Дифференцируя выражение (3.28), найдем значение

ЭДС самоиндукции:

s L dI / dt LI0 exp t / Rr exp t / .

Видно, что при условии R r в начальный момент времени после размыкания цепи величина ЭДС самоиндукции во много раз может превзойти значение . Это можно показать на опыте, заменив сопротивление R лампочкой и соответствующим образом подобрав параметры цепи. Например, если 3 В, можно взять лампочку, рассчитанную

164

на 10 В. При замкнутом ключе лампочка будет гореть тускло. При размыкании ключа она на мгновение ярко вспыхивает. А если ЭДС индукции во много раз превысит значение ЭДС батареи, лампочка может даже перегореть.

Рассмотрим теперь явление размыкания цепи (рис. 3.21) с точки зрения закона сохранения энергии. Будем предполагать, что вместо резистора R в цепь включена лампочка. Откуда же берется энергия, затраченная на вспышку лампочки? Источник тока уже отключен и не отдает энергию в контур. Следовательно, запасом энергии обладает катушка с током. Эту энергию она получила от аккумулятора, когда ключ был замкнут. В процессе самоиндукции при исчезновении тока в катушке ее энергия и переходит в энергию вспышки.

Что собой представляет энергия катушки с током? В начальный момент времени по катушке идет ток I0 , ко-

торый создает магнитное поле. Исчезновение тока в катушке означает исчезновение магнитного поля. Значит, по сути, энергия катушки с током – это энергия ее магнитного поля. Таким образом, при размыкании цепи в процессе самоиндукции именно энергия магнитного поля катушки перехо-

дит в энергию вспышки. Магнитное поле – форма материи, обладающая энергией.

Рассчитаем энергию магнитного поля катушки с током. Преобразуем формулу (3.28): I R dt LdI . Помножим обе части последнего уравнения на I :

По закону Джоуля – Ленца левая часть (3.30) представляет собой количество теплоты dQ , выделившееся в резисторе

Rза время dt. Значит уравнение (3.30) можно переписать

ввиде:

165

Проинтегрируем обе части уравнения (3.30, а), учитывая, что начальный ток равен I0 , а конечный ток равен нулю:

dQ L 0 I dI Q LI 2 / 2 .

I0

Поскольку на сопротивлении R тепло выделяется за счет энергии магнитного поля катушки, правая часть полученного уравнения должна представлять собой энергию катушки. Таким образом, энергия магнитного поля катушки с током

Формула (3.31) остается справедливой и для энергии магнитного поля произвольного контура с индуктивностью L

итоком I .

Вдальнейшем будет выведено выражение для плотности энергии электромагнитного поля катушки с током

(пример 3.17).

3.13. Генераторы и электродвигатели

Принцип работы электродвигателя уже обсуждался

вподразделе 3.8. Катушка или рамка с током, потребляемым от внешнего источника, вращаются в поле магнита под действием сил Ампера. От катушки, например, приводится во вращение соединенное с ней колесо. Таким образом электрическая энергия, потребляемая от внешнего источника, переходит в механическую энергию.

Работа электродвигателя была рассмотрена при помощи простейшей модельной схемы, представленной на рис. 3.16. Подвижная перемычка CD (якорь), находящаяся

вмагнитном поле (магнитное поле создает индуктор), питается от внешнего источника тока. В результате перемычка движется под действием силы Ампера. Теперь исключим

166

из цепи источник тока (рис. 3.22). Тока в цепи не будет, сила Ампера равна нулю, и перемычка останется неподвижной. Заставим двигаться перемычку вправо за счет

контур ABCD будет расти из-за увеличения площади контура (для ясности изложения индуктивностью контура и собственным магнитным потоком здесь и далее в этом разделе пренебрегаем). Вследствие этого в контуре возникнет ЭДС индукции i , потечет ток Ii i / R ( R полное

сопротивление контура) и выделится тепло. Мы получили простейшую модель генератора электрического тока, в котором механическая работа или энергия превращается в электрическую энергию.

Работа генератора обратна работе электродвигателя. Клеммы двигателя подключаются к источнику электроэнергии, ЭДС создает ток, и в результате за счет силы Ампера движется якорь, т.е. на выходе мы получаем механическую энергию или работу. В генераторе, наоборот, за счет механической работы движется якорь, и на выходе мы получаем ЭДС, т.е. потребляем электроэнергию. В принципе, одно и то же устройство может работать и как двигатель, и как генератор.

Другой элементарной моделью генератора (переменного тока) является рамка или катушка (якорь) с проволочной обмоткой, вращающаяся между полюсами постоянного магнита (индуктора). При вращении катушки, состоящей

167

из N витков площадью S , в магнитном поле внешний магнитный поток Ф NBS cos через ее обмотку изменяется, т.к. изменяется угол между нормалью к плоскости витков и направлением вектора магнитной индукции B . В результате в обмотке якоря возникает ЭДС индукции, которая представляет собой напряжение на выходных клеммах катушки, т.е. напряжение, вырабатываемое генератором. Принципиально ничего не изменится, если, наоборот, вращать магнит внутри неподвижной обмотки. В этом случае индуктор будет ротором, а якорь статором.

Обычно в качестве индуктора, создающего магнитное поле, в технических генераторах применяются электромагниты, представляющие собой катушки с железными сердечниками. Магнитное поле создается током, текущим по обмотке электромагнита. Для питания электромагнитов применяются отдельные аккумуляторные батареи либо генераторы, укрепленные на одном валу с главным генератором. В качестве якоря применяются обмотки, в которых создается ЭДС индукции, используются рамки или катушки, вращающиеся в магнитном поле индуктора. Якорь приводится во вращение с помощью двигателей внутреннего сгорания, паровых турбин или водяных турбин гидроэлектростанций.

Пример 3.12. Вывести зависимость напряжения на выходных клеммах генератора от времени, если в качестве якоря используется катушка, состоящая из N витков площадью S . Якорь вращается равномерно с угловой скоростью в магнитном поле индуктора с индукцией B . Чему равно максимальное значение напряжения генератора?

Решение. Закон изменения угла при равномерном вращении имеет вид: t 0 , где угловая ско-

рость вращения якоря; 0 начальный угол между нормалью к плоскости витков и магнитной индукцией. Следова-

168

тельно, зависимость магнитного потока от времени имеет вид: Ф NBS cos( t 0 ) . По закону электромагнитной

индукции (см. формулу (3.25, а)), дифференцируя последнее выражение по времени, находим ЭДС индукции:

i ddФt NBS sin ( t 0 ) .

Таким образом, на выходных клеммах генератора получаем переменное напряжение, зависящее от времени

по синусоидальному закону. При подключении к клеммам такого генератора какой-либо нагрузки через нее потечет переменный синусоидальный ток.

Поскольку максимальное значение функции синус равно единице, максимальное значение напряжения (или ЭДС индукции): i max NBS .

Пример 3.13. Перемычка CD длиной l движется со скоростью v в однородном магнитном поле, индукция B которого перпендикулярна плоскости контура ABCD (см. рис. 3.22). Определить ЭДС индукции, возникающую в контуре ABCD. Какая сила необходима для того, чтобы перемещать перемычку с такой скоростью? Сопротивление контура ABCD постоянно и равно R .

Решение. При смещении перемычки вправо на величину dx площадь контура ABCD возрастает на величину dS l dx , а магнитный поток возрастает на величинуdФ B dS B l dx . Таким образом, в контуре индуцируется ЭДС

169

Определим силу тяги, необходимую для движения перемычки со скоростью v . Под действием ЭДС индукции в контуре ABCD возникает индукционный ток

Ii i / R B l v / R .

В результате, на перемычку со стороны магнитного поля действует сила Ампера:

FA Ii B l B2l2v ,

R

которая по правилу Ленца препятствует причине (силе тяги), вызвавшей индукционный ток, т.е. направлена в сторону, противоположную силе тяги (см. рис. 3.22). Таким образом, для движения перемычки CD с постоянной скоростью v необходимо преодолевать возникающую при этом силу Ампера, т.е. прикладывать к перемычке силу

F FA B2l2v .

R

3.14.Трансформаторы

Внастоящее время в технике наряду с постоянным током широко используется и переменный ток. Напряжение постоянного тока, применяемого в линиях электропередачи, для питания различных электронных схем, электродвигателей, научились преобразовывать в широких пределах. Важное преимущество переменного тока над постоянным током состоит в том, что напряжение переменного тока можно достаточно легко повышать или понижать практически без потерь энергии, для этого используют трансформаторы – это приборы, при помощи которых преобразуется напряжение переменного тока. Принцип работы трансформаторов, так же как и генераторов, основан на законе электромагнитной индукции.

170