Строительная механика зданий и сооружений. Спецкурс

Решение этого уравнения

n l 1 10,75ip . ic

Поскольку рама (см. рис. 3.5) будет состоять из г-образ- ных рам с жесткостью ригелей вдвое больше чем у нее самой (так как их длина вдвое меньше), то из любой многопролетной рамы с учетом вышесказанного получаем формулу для расчета критической силы:

где k – номер стойки или ригеля. Погонные жесткости ригеля суммируются только при жестком сопряжении ригеля с колонной;

ikс – погонная жесткость стойки;

ikp – погонная жесткость ригеля.

Проверим формулу (3.3), варьируя жесткость ригелей от нуля до бесконечности. Если жесткость ригеля равна бесконечности, то верхние узлы рамы закреплены от поворота, но имеют возможность перемещаться в горизонтальном направлении. Это соответствует стержню с двумя жесткими концами,

81

один из которых подвижен и для него справедлива формула Pкр 2 EIl2 . Если изгибная жесткость ригеля стремится к ну-

лю, то узлы рамы не воспринимают момент, стойка является консольной и для нее справедлива формула Pкр 14 2 EIl2 .

Подставляя жесткости ригеля в формулу (3.3), получим: при жесткости ригеля, равной бесконечности, Pкр 2 EIl2k , так

ветствует полученным ранее результатам для стержней с соответствующими концами.

Чтобы показать универсальность предложенной формулы (3.3) и метода, рассмотрим несколько примеров расчета многопролетных рам на устойчивость при действии вертикальной нагрузки. Значения погонных жесткостей элементов и распределение нагрузки примем произвольно.

Пример 3.1 (рис. 3.7)

iр1 = 1,5i, iр2 = 2i, i1 = 1i, i2 = 1,5i,

i3 = 2,5i, P1 = 0,15P, P2 = 0,3P, P3 = 0,55P.

Решая задачу методом перемещений и принимая высоту рамы равной единице, получим систему

уравнений: Рис. 3.7

82

3 ip1 4 ip2 4 i2 2 v2 Z1 + 2 ip2 Z2 + 6 i2 3 v2 Z3 = 0,2 ip2 Z1 + 4 ip2 4 i3 2 v3 Z2 + 6 i3 3 v3 Z3 = 0,

6 i2 3 v2 Z1+ 6 i3 3 v3 Z2 +

12 i2 2 v2 12 i3 2 v3 3 i1 1 v1 Z3 = 0,

где v PEIкр l .

Раскрыв определитель и приравняв его к нулю, получим v = 2,1798, P1 = 4,75, P2 = 9,05, P3 = 17,42, Pкр 31,68 EIl2 .

Теперь решим эту же задачу предложенным выше методом, используя формулу (3.3). Жесткость первого ригеля на 2 умножать не надо, так как он имеет шарнирное крепление.

32,45 EIl2 .

Как видно, результаты практически совпадают, погрешность составляет 2,4 %.

Необходимо отметить, что критическая сила, полученная в результате расчета, – это наименьшая сила, при которой рама примет новую форму равновесия. Но кроме того, существует местная потеря устойчивости, когда один или несколько сжатых элементов конструкции теряют устойчивость, а остальные остаются в первоначальном состоянии. Так, в примере 3.1 определим критическую силу из условия местной потери устойчивости левой сжатой стойки. В данном случае, поскольку остальная рама останется прямолинейной, то не будет происходить и линейное смещение ее верхних концов, значит,

83

стойка будет работать как стержень с одним жестким концом, а другим шарнирным. Поскольку по условию на левую стойку

приложено 0,15 от суммарной силы, то 0,15Pкр 2 (0,EI7l)2

20,14 EIl2 или Pкр 134,26 EIl2 . В данном примере критическая сила для рамы меньше, чем для стойки.

Пример 3.2. Найти силу, которую способна вынести рама до момента потери устойчивости (рис. 3.8).

iр1 = iр2 = iр3 = 2i, i1 = i2 = i3 = i4 = i.

Рис. 3.8

Решая задачу методом перемещений и принимая высоту рамы равной единице, получим

4 ip1 4 i1 2(v) Z1 + 2 ip1 Z2 + 0 + 6 i1 3(v) Z4 = 0,

2 ip1 Z1+ 4 ip1 4 ip2 4 i2 Z2 + 2 ip2 Z3+ 6 i2 Z4 = 0,

0 + 2 ip2 Z2 + 4 ip2 3 ip3 4 i3 Z3 + 6 i3 Z4 = 0,

6 i1 3(v) Z1 + 6 i2 Z2 + 6 i3 Z3 +

12 i1 1(v) 12 i2 12 i3 3 i4 Z4 = 0.

Раскрывая определитель и приравнивая его к нулю, полу-

чим v = 5,2949. Pкр 28,04 EIl2 .

Решая эту же задачу предложенным выше методом, используя формулу (3.3), получим

84

Результаты расчета по двум методам получились достаточно близкими, погрешность вычислений 2,3 %. Если распределить силу P1 более равномерно между узлами рамы, погрешность снизится.

Проверим местную устойчивость стержня.

Pкр 4 2 5lEI2 197,4 EIl2 , что больше критической силы

для рамы.

При расчете многоэтажных рам устойчивость всей конструкции определяется устойчивостью нижнего этажа. В случае, если на каждый этаж рамы действует одна и та же нагрузка, следует использовать следующую формулу для определения общей критической силы, которая аналогична формуле (3.3), но учитывает работу стоек вышележащих этажей, находящихся под нагрузкой.

85

Пример 3.3. Определить суммарную критическую силу, которую может вынести рама (рис. 3.9) до момента потери устойчивости. Посмотреть, как изменится критическая сила в случае 12-этажной рамы. Сечение стоек 30 45, сечение ри-

гелей 30 65.

Рис. 3.9

Имеем следующие значения относительных погонных жесткостей: для стоек i, для крайних ригелей 2,06i, для центрального ригеля 4,81i.

Пользуясь формулой (3.4) для одноэтажной рамы,

86

Как видно, с повышением этажности здания критическая нагрузка снижается, что говорит о более ранней возможности потери устойчивости. Но с каждым этажом (см. формулу (3.6)) снижение ее происходит все более незначительным образом. Также необходимо заметить, что разница между (3.5) и (3.7) составляет около 15 %. Сравнивая результаты расчета примера 3.3 с результатами расчета, выполненного в ПК «Лира», получено, что погрешность вычислений не превосходит 5 % по критической силе и соответственно 2 % по расчетной длине.

Как видно, предложенный метод расчета многопролетных многоэтажных рам на устойчивость обладает достаточно высокой точностью и малой трудоемкостью [9].

§ 3.2. Влияние податливости соединений на устойчивость рамы

В существующих методах расчета пока не в полной мере учитывается влияние податливости узловых сопряжений на совместную работу конструкций. Поэтому, как правило, расчет каркасных зданий производится по расчетным схемам с шарнирными или жесткими узлами сопряжения элементов, что не всегда адекватно отражает работу конструкции, в особенности для железобетона. Для стыков сборных элементов характерна повышенная деформативность вследствие смятия бетона по контактным поверхностям и трещинообразования, податливости сварных соединений арматуры и закладных деталей.

87

Рассмотрим П-образную железобетонную раму, длина пролета которой l = 6 м, высота колонн h = 3 м. Сечение ригеля и колонны возьмем из типового многоэтажного каркаса (рис. 3.10). Площадь сечения арматурного выпуска АN = 6 см2, рабочая высота сечения h0 = 42 см. Модуль упругости EN = = 21 МН/см2, жесткость опорной закладной детали при сдвиге

GZ =2,5 МН/см2.

Рис. 3.10

Для расчета рамы на устойчивость методом перемещений понадобится знать моменты по краям ригеля при повороте его конца на угол, равный единице.

Зададим угол поворота левого конца ригеля = 1. При этом левый конец его повернется на угол, отличный от единицы на какую-то величину, зависящую от жесткости стыка, которую обозначим 1 (рис. 3.11). Угол поворота правого конца обозначим 2.

88

Подставляя конкретные значения параметров, получим

EIp 0,0029154 3 1010 0,875 108 Н м2,

EIk 0,0021333 3 1010 0,64 108Н м2,

Решая задачу методом перемещений, т.е. составляя систему из трех трансцендентных уравнений, выражающих условие потери устойчивости, и приравнивая определитель к нулю, получаем

В случае абсолютно жесткого сопряжения ригеля с колонной имеем Pкр 13,3 EIl2k , т.е. результаты отличаются в 1,33 раза.

Решим данную задачу предложенным выше методом, т.е. используем для определения критической силы формулу (3.3). При абсолютно жестком соединении мы имеем

и, соответственно, М1 = 4iр, а при сопряжении ригеля с колонной с учетом податливости соединения М1 = 1,42iр.

Как видно, в данном случае моменты отличаются в 2,82 раза. Для того чтобы это учесть, в формуле (3.3) нужно жесткость ригеля уменьшить в 2,82 раза.

90