Строительная механика зданий и сооружений. Спецкурс

Вследствие кососимметричного характера деформации рамы в момент потери устойчивости ее горизонтальные опорные реакции стоек равны по величине и должны быть направлены в одну сторону. Но сумма их должна равняться нулю, так как внешние силы Р вертикальные.

Из этого условия М1 = М2 = 0.

Для простоты рассматривается только половина рамы и принимается основная система, показанная на рис. 2.21, б. Узел 1 закреплен только от поворота. Для ригеля необходимо принять удвоенную погонную жесткость. Уравнение устойчивости r11 0, но для определения r11 и построения эпюры мо-

ментов на стойке от Z1 1 (рис. 2.23) необходимо пользоваться случаем 6 табл. 2 приложения (рис. 2.22).

r11 ic tgvv 6ip.

Уравнение устойчивости

ic tgvv 6ip 0 или ic tgvv 6n ic 0.

61

Pкрк с Pкрс .

Следовательно, для симметричной однопролетной рамы, обладающей линейной подвижностью узлов, наиболее «опасной» является кососимметричная форма потери устойчивости. Практически потеря устойчивости рамы всегда сопровождается линейным смещением ее узлов, т.е. происходит кососимметричное деформирование [5].

§2.6. Расчет рам на продольно-поперечный изгиб

вканонической форме

Этот расчет производится в том же порядке, как и обычный статический расчет рам методом перемещений, с той лишь разницей, что коэффициенты riк при неизвестных перемеще-

ний Zi и Zк и свободные члены Rio уравнений определяются

с учетом действия в стержнях продольных сил N.

Вид уравнений и их физический смысл остаются прежними, т.е.

Основная трудность расчета состоит в том, что окончательные продольные силы в стержнях заранее неизвестны, по-

62

этому в первом приближении их берут на основании проведенного заранее обычного статического расчета, а в качестве второго приближения – из результатов расчета на продольнопоперечный изгиб. Еще проще для первого приближения принять сжимающие силы в стойках исходя из узловых нагрузок, а в ригелях – не учитывать.

Пример 2.7. Выполнить расчет рамы на продольнопоперечный изгиб.

Построим эпюру изгибающих моментов в раме, показан-

ной на рис. 2.24, а, если q 2hP , а P 0,625Pэ.

В качестве первого приближения производится расчет рамы без учета продольных сил в ригеле, но с учетом продольных сил в стойках, равных

63

По табл. 2 приложения находятся соответствующие значения функций:

Эпюры M1 и M 0 показаны на рис. 2.24, е, ж. r11 2 4i 2 v1 4i 2 v2 2i 3 v2

2 2i(2 0,497 2 0,959 1,021) 2 3,782i.

M12 6 Phv 4i 2 v2 2i 3 v2 Z1 0,089Ph.

4 2

Эпюра изгибающих моментов второго приближения показана на рис. 2.24, з. По ней можно найти

эта величина отличается от полученной в результате первого приближения (0,194P) всего на 7 %. Поэтому эпюру, пока-

занную на рис. 2.24, з, можно считать окончательной. Для сравнения на рис 2.24, и показана эпюра без учета влияния продольных сил. Как видно, эти две эпюры очень сильно различаются.

66

§2.7. Стойка ступенчатого сечения

Впромышленном строительстве широкое распространение получили рамы со ступенчатыми стойками. На верхнюю – надкрановую – ветвь приходится вес конструкции покрытия,

ана подкрановую ветвь добавляется нагрузка, создаваемая вертикальным давлением колес мостовых кранов.

a) статический метод определения критической нагрузки

Рис. 2.25

Запишем дифференциальные уравнения изогнутой оси стержня по двум участкам с постоянной жесткостью:

EI1 y1 P y1 P 1;

EI2 y2 (1 )Py2 P 1 P 2.

Решением этих дифференциальных уравнений является

67

В точном определении свободных членов нет необходимости, в силу легкости исключения их из уравнений при взятии производных. Хотя для любопытного читателя напишем

Для определения шести неизвестных Аij составим шесть уравнений, вытекающих из граничных условий и условий совместности деформаций двух участков.

y2 ( l) y1 ( l) ; y1 (l) 1 ; y1 (l) 0.

Легко найти из граничных условий, что А21 = 0. Свободные члены уравнений исключаются, для определения остальных коэффициентов имеем три однородных уравнения.

Раскрывая определитель и приравнивая его к нулю, получим следующее уравнение, которое дает искомое значение критической силы.

Данным приемом (т.е. разбивая стержень на несколько прямолинейных участков, составляя уравнение изгиба для

68

каждого из них и накладывая граничные условия, нахождение неизвестных параметров Аij) можно найти критическую силу для стержня любого очертания с произвольным распределением продольной силы по длине элемента.

б) определение критической нагрузки методом перемеще-

ний

Задачу устойчивости той же двухступенчатой стойки (рис. 2.27) наиболее удобно решать методом перемещений, принимая основную систему, такую, что узел стыковки ветвей закреплен только от поворота (см. рис. 2.27, а).

69