Строительная механика зданий и сооружений. Спецкурс

iр 0,683ic. c l 1,5 EIр.

Подставляя в формулу (5.8) указанные данные, получим1 0,314, 2 0,114, соответственно

M1 (1 0,314)c 1,03iр; M 2 0,114 c 0,171iр.

При повороте узлов на безразмерную единицу в случае жесткого сопряжения Мж = 4iр, а при податливом Мп = 1,03iр. Как видно, в данном случае разница в 4 раза. Соответственно, эпюры, построенные при податливом соединении (рис. 5.13, б), аналогичны эпюрам, построенным при жестком соединении,

Рис 5.13

Поскольку эпюры моментов практически идентичны, то и перемещения точек приложения силы будут равны. С учетом вышесказанного формула (5.2) для определения перемещений в одноэтажной многопролетной раме при податливом соединении ригеля с колонной примет вид

151

Все остальные зависимости, свойственные рамам с жесткими узлами крепления, остаются без изменения – это

(5.3)–(5.7).

Пример 5.3. Найти частоту собственных колебаний промышленного двухпролетного здания с учетом податливости

ригеля с колонной (рис. 5.14). Жесткость соединения с 4EI,5,

высота колонн h = 9 м, EI = 0,4 Мт·м2, приведенная масса на уровне ригелей m = 4 т.

Рис. 5.14

1. Находим погонные жесткости элементов:

152

для ригеля первого пролета 1036EI 2,5i;

для ригеля второго пролета 1018EI 5i.

2. Находим углы поворота по (5.11) и моменты по краям ригелей, при повороте их концов на единичку.

а) для первого пролета cl1 4EI,536 8i, по формулам (5.11)

находим

б) для второго пролета cl2 4EI,518 4i, по формулам (5.11)

находим

3. Найдем коэффициенты приведения жесткостей, равные отношению момента M1 при жестком креплении к моменту

при податливом сопряжении ригеля с колонной n = Mж :

Mп

для первого пролета n 4 2,5i 2,41; 4,15i

для второго пролета n 4 5i 6,27. 3,19i

4. Приравнивая жесткость ригелей к нулю, строим эпюры моментов и находим максимально возможное перемещение для каждой колонны (рис. 5.15).

153

Вопросы для самоконтроля

1.К какой точке наиболее рационально приводить сосредоточенную массу?

2.Сколько степеней свободы будет иметь восьмиэтажное здание по предложенной методике?

3.В чем заключается принцип нахождения перемещений по предложенной методике?

4.Как изменяется частота собственных колебаний в зависимости от этажности здания?

5.Как учитывается масса сооружения при определении собственных частот?

ГЛАВА 6

§6.1. Вынужденные колебания систем

содной степенью свободы

Вынужденными называются колебания системы, на массу которой, кроме восстанавливающей силы и силы инерции, действует еще возмущающая сила, изменяющаяся во времени.

Наибольший практический интерес для расчета промышленных сооружений имеет вибрационная гармоническая нагрузка, т.е. нагрузка, изменяющаяся во времени по закону синуса или косинуса.

где P – амплитуда возмущающей силы;– частота возмущающей силы.

Вернемся к рассматриваемой балке с сосредоточенной массой на конце консоли (см. рис. 4.4). В точке, соответствующей массе, приложим еще и силу P(t), изменяющуюся по

гармоническому закону. В динамическом равновесии будут

155

участвовать три силы: R – сила восстанавливающей реакции балки, X – инерционная сила и P(t)

(см. рис. 6.1).

Дифференциальное уравнение колебаний при подстановке (6.1) в (4.8) будет

Первый член этого уравнения представляет собой свободные колебания, а второй – вынужденные.

Если учесть, что свободные колебания быстро затухают благодаря силам сопротивления системы, то тогда устанавливаются вынужденные колебания с частотой . Их называют иначе стационарными (установившимися).

где ycт – статический прогиб системы, вызванный статическим действием силы Р;

– динамический коэффициент, показывающий, во сколько раз динамическое действие силы P(t) превосходит статическое действие ее амплитуды Р,

156

Как видно, величина динамического коэффициента зависит от отношения частот возмущающей силы к частоте собственных колебаний системы. При равенстве этих частот, т.е. при резонансе, динамический коэффициент = .

Явление резонанса весьма опасно для сооружений, поскольку в области резонанса наблюдается значительное увеличение амплитуд колебаний. Поэтому, чтобы резонансная область не оказывала влияния на сооружение, должно выполняться равенство (6.4) [2].

Необходимо заметить, что при больших перемещениях, т.е. в околорезонансной области, уравнение, из которого получено решение, теряет силу и необходим учет затуханий.

Пример 6.1. Определить динамический коэффициент, амплитуду вынужденных колебаний и максимальный момент в балке, представленной на рис. 6.2. m = 200 кг – сосредоточена

157

4. Амплитуда вынужденных колебаний будет равна динамическому прогибу от силы P:

yдин yст P 100 9,81 0,459 10 6 2,422 1,09мм.

5. Полный прогиб балки под силой равен сумме статического прогиба от Q и динамического прогиба от P(t):

yст Q mg 200 9,81 0,459 10 6 0,9 мм; yполн yст yдин 0,9 1,09 1,99мм.

6. Максимальный момент в балке будет складываться из момента от динамического действия силы P и статического действия силы массы m.

M max L4 (m P ) 64(200 100 2,422)

663,3кг м 6,5кН м.

7.В случае, когда двигатели, создающие динамическую нагрузку в покое, т.е. стоят неподвижно

M max L4 (m P) 64(200 100) 450кг м 4,41кН м.

Таким образом, наличие динамической нагрузки, даже при отсутствии резонанса, может привести к сильному увеличению прогибов и изгибающих моментов.

158

§ 6.2. Определение амплитуд колебаний при помощи динамической нагрузки

Рассматривая случай установившихся вынужденных незатухающих колебаний, что позволит в уравнение (6.2) исключить собственные колебания системы, определяем отклонения при колебании, как результат действия возмущающей силы P(t) и силы инерции X. Так, для системы с одной степенью

yдин sin( t) 11 m 2 yдин sin( t) P sin( t) 1p

или

yдин 11 m 2 yдин P 1p.

В случае, если приложена вибрационная нагрузка в точку сосредоточенной массы, получим 11 1p , тогда

yдин 1 P2 m yст,

что соответствует результату, полученному в предыдущем параграфе.

§ 6.3. Вынужденные колебания систем со многими степенями свободы

При действии на упругую систему со многими степенями свободы вибрационной гармонической нагрузки изгибающие моменты, поперечные и продольные силы также будут изменяться во времени, а их наибольшее значение будет зависеть от частот возмущающих сил. Если все возмущающие силы имеют

159

одинаковую частоту, то силы инерции, а следовательно, и все внутренние усилия достигают наибольшего значения в один и тот же момент.

Для систем со многими степенями свободы возможны несколько случаев резонанса, которые наступают при совпадении частоты с теми или иными частотами свободных колебаний системы.

В задачу динамического расчета входит определение амплитуд внутренних усилий и напряжений, а также проверка системы на возникновение резонанса. При этой проверке в большинстве случаев достаточно определить частоту основного тона свободных колебаний системы.

Для построения эпюр динамических усилий необходимо определить наибольшее значение сил инерции из системы уравнений, полученных по методу инерционных нагрузок:

Неизвестными значениями являются силы инерции соответствующих масс, а точнее, их амплитудные значения. Главные перемещения вычисляются с учетом зависимости сил инерции от частоты. Обозначим

*ii ii mi 1 2 .

После нахождения наибольших значений сил инерции из решения уравнений эпюра динамических изгибающих моментов строится путем сложения единичных эпюр, умноженных на найденное значение соответствующих инерционных сил, с эпюрой грузового состояния.

160