Строительная механика зданий и сооружений. Спецкурс

Благодаря симметрии рамы и действующих на нее сил P возможны две формы потери устойчивости – симметричная и обратно симметричная, которые можно рассматривать отдельно друг от друга. Каждой форме изгиба соответствует свое уравнение устойчивости и своя критическая сила.

а) симметричная форма потери устойчивости Изгибные деформации рамы, соответствующие симмет-

ричной форме потери устойчивости, симметричны, т.е.1 2, 3 4 и 1 2 0. Тогда полное число основных неизвестных n ny nл 2. Основная система показана

на рис. 2.14, б.

• Составление уравнения устойчивости Симметричной форме потери устойчивости соответствует

уравнение

r11 r22 r122 0.

Симметричные эпюры М и М2 показаны на рис. 2.15. По ним находим реакции r11, r12 r21 и r22 (рис. 2.16).

Рис. 2.15

51

Уточним значение параметра v0 при помощи линейной интерполяции:

v2кр v0кр 2,536; v1кр 1,414 v0кр 1,414 2,536 3,787.

Соответствующие значения критических нагрузок:

P2кр vn2,i 2,536n i 6,431ni .

P1кр 3P2кр 3 6,431 ni 19,294 ni ;

б) кососимметричная форма потери устойчивости Изгибные деформации в этом случае кососимметричные,

т.е. 1 2, 3 4 . Полное число неизвестных

n ny nл 2 2 4 т.е. 1, 3, 1 и 2 .

Число неизвестных сократим за счет того, что в симметричных рамах, имеющих две стойки, в случае кососимметричного изгиба поперечные силы в стойках равны нулю. Это дает возможность не включать линейные перемещения концов стоек 1 и 2 в состав основных неизвестных (это не означает, что

эти линейные перемещения равны нулю). Окончательное число основных неизвестных

n ny nл 2 1 и 3 .

При этом рассматривается одна половина рамы по схеме, показанной на рис. 2.17, а.

• Составление уравнения устойчивости Построим эпюры М3 и М4, имея в виду, что поперечные

силы в стойках равны нулю.

53

Уравнение устойчивости в общем виде

r33 r44 r342 0.

Реакции riк находим по эпюрам М3 и М4 (рис. 2.17, б).

Рис. 2.17

Подставляя соответствующие значения i и v в уравнения равновесия, найдем:

54

• Определение критической нагрузки Решаем уравнение устойчивости подбором v0. Результаты вычислений сводим в табл. 2.4.

Уточняем значение параметра v0 при помощи линейной

Соответствующие значения критических нагрузок:

• Определение «опасной» формы потери устойчивости Составляя критические значения нагрузки, видим, что ко-

сосимметричной форме потери устойчивости соответствует меньшая критическая нагрузка.

Следовательно, для данной рамы «опасной» является кососимметричная форма потери устойчивости.

P1кр 3P2кр 2,178 ni ;P2кр 0,726 ni .

Пример 2.6. Определить расчетные длины и критическую силу для симметричной рамы (рис. 2.18, а).

55

Левая стойка iлс EIh i.

Правая стойка iлс 0EI,5h 2i. Ригель iр 2EIl 2i.

r11 8i 4i 2(v), r12 r21 4i ,

Варьируя жесткостью одного из элементов, посмотрим, как меняется значение критической силы. При жесткости ригеля, равной бесконечности, узлы крепления ригеля с колонной закреплены от поворота [7], стойки работают, как стержни

57

с двумя жесткими концами. Устойчивость системы складывается из устойчивости двух отдельно взятых стоек:

что больше суммы критических сил расчета данной рамы

Pкр 0,7Pкр 1,7 1,547EI 2,63EI.

При изгибной жесткости ригеля, равной нулю, стойки работают, как консольные стержни. Устойчивость системы складывается из устойчивости двух отдельно взятых стоек.

что меньше суммы Pкр 0,7Pкр 1,7 1,547EI 2,63EI. Следова-

тельно, варьируя жесткость отдельных элементов, также легко определить границы, в которых лежит критическая сила.

§2.5. Упрощения при расчете на устойчивость однопролетных симметричных рам

Пусть задана симметричная П-образная рама с симметричной узловой нагрузкой (рис. 2.19, а).

Рис. 2.19

58

По методу перемещений в общем случае будем иметь три неизвестных. Основная система на рис. 2.20, б. Канонические уравнения будут

Вследствие симметрии рамы и нагрузки имеем равенства

r11 r22 и r31 r32 .

Тогда уравнение устойчивости можно представить в виде

Рис. 2.20

59

Второе уравнение соответствует случаю при Z3 0 Z2 Z1. Последнее справедливо для кососимметрич-

ной формы деформации рамы (рис. 2.20, б).

а) рассмотрим симметричную форму потери устойчивости. Эпюра моментов от угла поворота Z1 = 1 на рис. 2.21, а построена с использованием табл. 2 приложения.

б) рассмотрим кососимметричную форму потери устойчивости, при которой Z3 0 и Z1 Z2.

60